经济数学-线性代数课件：线性空间与线性变换

线性空间与线性变换第一节线性空间本节内容线性空间的定义线性空间的性质子空间一.线性空间的定义那么，就称为（实数域上的）向量空间（或线性空间）．注1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，

称为线性运算．2．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定

义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不

满足八条性质的某一条，则此集合就不能

构成线性空间．例1.实数域对于通常数的加法与乘法(作为数乘)运算，容易验证构成上的线性空间．

例2.实数域上的

维列向量的全体构成的集合记为

，于是它对于向量加法、数乘运算构成实数域上的线性空间．

例3.仅含

维零向量

的集合

按照向量的加法和数与向量的乘法构成线性空间.这是只有一个元素的线性空间.称之为零空间.

练习.

实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．

例4.闭区间

上的连续实函数的全体，按照函数的加法和函数与数的乘法作为数乘构成实线性空间，记作

.二、线性空间的性质定理设

是实数域上的线性空间，则

1.

中零元素唯一；

2.

中任一元素的负元素惟一；4．如果，则或

.三、子空间定义2设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．注意：子空间是线性空间的一部分而其本身又构

成一个线性空间.

例5.例6.函数集合

是线性空间

的子空间.是

的子空间.线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.四、小结

线性空间是二维、三维几何空间及维向量空间的推广，在理论上它具有高度的概括性.5.2

基、维数与坐标本节内容线性空间的基与维数的定义元素在给定基下的坐标小结一、线性空间的基与维数

已知：在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向量都是线性相关的．

问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间中，最多能有多少线性无关的向量？定义1.设是实数域上的线性空间，若是中的个向量，满足（1）

线性无关；（2）设

是

中的任一向量，存在一组实数

，使得

，则称

为

的一组基，基中向量的个数称为线性空间的维数。

注意

（1）线性空间中任一向量由基表示的方法是唯一的；

（2）线性空间的基(只要存在)并不一定是唯一的；

（3）有限维线性空间的维数是固定的．

定义２二、元素在给定基下的坐标例1.

求线性空间

的维数和一组基．解取单位坐标向量

于是（1）

线性无关；（2）对任一向量，显然可以由上述单位坐标向量组表出．由定义可知上述单位坐标向量组为一组基，因此维数为3．注意

线性空间的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．练习：所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间．对于中的矩阵证明可以构成线性空间的一组基。１．线性空间的基与维数；２．线性空间的元素在给定基下的坐标。

三、小结5.3

基变换与坐标变换公式本节内容基变换与过渡矩阵坐标变换公式小结一、基变换公式与过渡矩阵

那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？

引入：在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．称之为基变换公式．由于基变换公式矩阵称为由基到基的过渡矩阵．

过渡矩阵是可逆的。若两个基满足关系式二、坐标变换公式则有坐标变换公式或例1.在线性空间中，求出由基到基的变换公式，并求向量在基下的坐标。解：首先容易得到由基到基的变换公式为其中可求得于是，由基到基的变换公式为又因为向量在基下的坐标为，由坐标变换公式便有=例2.对于实数域上的线性空间，证明是一组基，并求在该基下的坐标．解：取基，则有即过渡矩阵故是一组基．因为在下的坐标为，于是在基下的坐标为练习：已知线性空间的一组基求向量在上述基下的坐标。１．基变换公式三、小结２．坐标变换公式或5.4

线性变换及其矩阵本节内容线性变换及其性质线性变换的矩阵表示小结

线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，而线性变换则研究线性空间中元素之间的最基本联系．１．变换一、线性变换的概念定义1设是实数域上的线性空间，若存在一个到自身的映射，则称

为

上的一个变换.2.线性变换定义2.为线性空间的一个变换，如果对于中任意的元素和实数域中的任意数都有则称

为

的线性变换.说明(2)一般用

表示线性空间上的线性变

换.证明设则有所以零变换是线性变换．

例1

线性空间中的零变换：是线性变换．证明则有设

例2

线性空间中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换．所以恒等变换是线性变换．例3.在全体一元实系数多项式组成的实线性空间

上定义变换D，即称之为微分变换，则它是线性变换.事实上，对任意的，及，有于是D为线性变换.二、线性变换的性质三、线性变换的矩阵表示对于线性空间上的线性变换，取定

的一组基，若在

下的像为，于是对中任意向量由于线性变换保持线性关系不变，因此上式表明

是完全确定的．因此线性变换

是完全确定的．另一方面，

是

中的向量，可以由基

唯一线性表示出来，不妨设为若记于是若用记号表示此时称矩阵

为线性变换在基

下的矩阵．显然，当线性变换

确定，则它在给定基下的矩阵是由

唯一确定．反过来，假设给定实数域上一个阶矩阵，可以证明上存在唯一的线性变换，使得在基

下的矩阵恰为．例4.对于线性空间，若为求导数的线性变换，即．在基下，因为因此

在基

下的矩阵为练习：求

中的线性变换在基下的矩阵.解因为因此，在基

下线性变换

的矩阵由线性变换

在一组基下的矩阵，很容易得出中任意向量的坐标和它的象的坐标之间的的关系.定理设是线性空间的一组基，线性变换在该基下的矩阵为．如果中向量在这组基下的坐标为，则在该基下的坐标为.

线性变换的矩阵由线性空间的基决定.一般说来，一个线性变换在两组不同基下的矩阵是不相同的，下面的定理给出了它们之间的关系.

定理同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的．四.小结

1.