经济数学课件-寻找效益最大化的方法路径

寻找效益最大化的方法路径名言毕达哥拉斯在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.故事1973年比尔·盖茨进入哈佛大学法律系学习，他不喜欢法律，但对计算机十分感兴趣。因此他面临两种选择：是继续学习，还是辍学创办软件公司？19岁时比尔·盖茨选择了辍学并创办了自己的软件公司。他终于成功了，以净资产850亿美元荣登世界亿万富翁的榜首。当比尔·盖茨应邀回母校哈佛大学参加募捐会时，记者问他是否愿意继续学习以拿到哈佛大学的毕业证，他笑了笑，没有回答。看来比尔·盖茨是不愿意回到哈佛大学继续学习了，因为那样的话机会成本太大——失去世界首富的地位。机会成本是决策者进行正确决策所必须考虑的现实因素，忽视了机会成本，往往有可能使投资决策发生失误。目录机会成本计算问题及解决方案1.对偶问题典型案例2.进一步学习的数学知识：对偶单纯形法3.一、问题引入第一节安排生产问题及解决方案引例：某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、资源限量及价值系数如表10-1所示：

那么该企业如何组织生产才能获利最大？假如企业的决策者决策者如何对每一种资源进行定价呢？决定不生产产品，而将其所有资源出租或外售，此时，【问题分析】第一节安排生产问题及解决方案第一问是典型的线性规划问题，设分别表示产品的产量，可建立如下线性规划模型：（1）【问题分析】第一节安排生产问题及解决方案对于第二问，资源售价由单位成本和增值价格两部分构成，增值价格又可以理解为机会成本(也称为影子价格)。决策者要考虑的核心问题就是增值价格的确定，因为价格太高对方不愿意接受，价格太低自己收益又太少。合理的价格应该是使对方用最少的资金购买自己的全部资源，而自己所获得的利润不应低于自己用于生产时的获利。例如，若用9个单位的资源Ⅰ、5个单位的资源Ⅱ、8个单位的资源Ⅲ和7个单位的资源Ⅳ生产1件产品A可获利100，则用于生产1件A的这四种资源出租和出让的获利应不低于自己生产的获利100。第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案继续讨论引例的第二问，设分别表示四种资源的

单位增殖价格(售价＝成本＋增殖价格)，

则决策者将所有资源出租或出让的总增值为企业生产一件产品所用四种资源的数量分别是9，5，8和7个单位，利润是100,那么企业出售这些资源的获利应不少于100，即同理，对产品

和有同时，资源增值价格不可能小于零，即有综上所述，企业的资源增值价格模型为：（2）第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案上述两个模型（1）和（2）是对同一问题的两种不同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，具体表现为：（1）两个问题的系数矩阵互为转置；（2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；（3）一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；（4）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类型，另一个问题的目标函数为极小化，约束条件为“≥”。第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案概念

称（1）式为原始线性规划问题或原问题，（2）式为对偶线性规划问题或对偶问题。这种对应关系称为对偶关系。一般地，原问题与对偶问题的关系，其变化形式可归纳为：第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案例如

其目标函数为，根据关系表可知对偶问题的目标函数为件。原问题的约束条件个数为2，对偶问题的变量个数也为2，设；原问题中含有4个变量，故对偶问题中应该含有4个约束条为，因此原问题的对偶问题为：第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案影子价格(ShadowPrice)

对偶问题的最优解机会成本又称“择一成本”。指把已放弃的方案可能获取的收益，作为评价优选方案即被选取方案所付出的代价。它是指一笔投资在专注于某一方面后所失去的在另外其它方面的投资获利机会。

对于原问题与对偶问题，我们有如下定理：定理1

对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2

对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案

案例1

某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙、丙三种产品，要劳动力、原材料两种资源，已知每件产品所消耗的资源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如表10-3所示：（1）确定获得总收入最大的生产计划；（2）如果劳动力数量不变，材料不足可以从市场购买，每单位0.4元，那么该单位要不要购进原材料扩大生产？二、典型问题解决方案第一节安排生产问题及解决方案【解决方案】决策变量：设分别为生产甲、乙、丙三种产品的数量目标函数：约束条件：材料约束非负约束劳动力约束第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案综上可得数学规划模型为：利用Excel求解该线性规划问题，可得到图10-1所示的规划求解结果.

第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案这说明工厂的最佳生产方案为甲产品生产5个，丙产品生产3个，不生产乙产品，总收入可以达到27。

为了得到原材料的影子价格，我们需要得到上述模型的对偶模型。由表10-2的对应关系，我们得到对偶数学规划模型为：利用Excel求解该对偶规划模型，可得规划求解结果如图.

第一节安排生产问题及解决方案二、典型问题解决方案从上图中我们很容易看出：劳动力的影子价格为0.2元，原材料的影子价格为0.6元。因为市场上购买每单位原材料的价格为0.4元，而0.6>0.4，所以工厂可以考虑购进原材料扩大生产来获取更大的利润。第二节对偶问题典型案例案例1

某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，要消耗钢材、煤炭、设备台时三种资源，已知每件产品所消费的资源数、每种资源的数量限制以及每件产品的售价如表10-4所示，

（1）如何安排生产计划，才能充分利用现有资源，使获得的总收入最大？

（2）现有两种新产品A和B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表10-5所示，试决定他们是否值得投产。表10-4表10-5第二节对偶问题典型案例本问题首先是要制定一个安排生产计划，根据第九章知识，我们知道这是一个典型的线性规划问题，求解线性规划问题就可以得到最优安排生产计划。问题2是一个决定新产品是否值得投资的问题，根据前面影子价格的定义，我们知道，判断某一产品是否值得投资，需求出该产品的影子价格，然后与单位价格比较，如果产品的影子价格大于相应的单位价格，则不值得投产；如果影子价格小于相应的单位价格，则值得投资。【问题分析】第二节对偶问题典型案例【解决方案】决策变量：设生产甲产品件，生产乙产品件。

单位价格为10万元，乙产品的单位价格为18万元，则获得的总目标函数：设最大总收入为万元，由表1可知，甲产品的收入为：，约束条件：钢材资源限制，生产一件甲产品消耗5单位的钢材，生产一件乙产品消耗2单位的钢材，而钢材资源的总量为170单位，则：第二节对偶问题典型案例同理可得，煤炭资源限制为：设备台时限制为：非负约束为：综上所述，我们可得问题的数学规划模型为：（3）第二节对偶问题典型案例

第一步：根据模型（3），在Excel工作表中输入数据，如图10-3所示。下面用Excel求解模型(3)：第二步：计算约束条件左端的值和目标函数值，其中：E4=$B$2*B4+$C$2*C4，然后，利用Excel中的句柄填充功能，计算出约束条件左端其他值；其中目标函数值为：D9=B1*B2+C1*C2+D1*D2。第二节对偶问题典型案例第三步：设置决策变量区域，添加约束条件；第四步：单击【规划求解】按钮，得到如图10-4所示规划求解结果：从图10-4中我们可以看出当甲产品生产7.14件，乙产品生产28.57件时，获得的最大利润为585.71万元。第二节对偶问题典型案例对于问题2，要判断某种产品是否值得投资，我们必须要得到生产这种产品的各种资源的影子价格，而要求影子价格，只需求生产计划问题的对偶问题即可。利用第一节对偶问题的相关知识，我们得到模型（3）的对偶问题为：利用Excel求解上述对偶规划问题，可得图10-5所示结果：第二节对偶问题典型案例从图10-5可以看出：（1）钢材的影子价格为0，即再增加1吨钢材，利润不会增加；（2）煤炭的影子价格为4.571，即再增加1吨煤炭，利润增加4.571万元；（3）设备台时的影子价格为0.857，即再增加1个台时，利润增加0.857万元。产品的隐含成本为：（万元）产品的隐含成本为：（万元）因为产品的隐含成本大于单位成本，所以该产品不生产；因为产品的隐含成本大于单位成本，所以该产品生产。第二节对偶问题典型案例三类产品，各工段开工一天生产三类产品的数量、费用以及合同对三类产品的最低需求量见下表。那么每吨产品的合理成本是多少？案例2

某工厂有甲、乙两个车间工段可生产第二节对偶问题典型案例【问题分析】。由第一节的知识我们知道要求影子价格，首先需要求出原问的机会成本，也就是题的对偶问题，然后通过求解该对偶问题得到原问题受到的限制条件只有一个：生产合同最低需求量。本问题是要计算的影子价格的影子价格。第二节对偶问题典型案例【解决方案】决策变量：设分别为工段甲、乙开工的天数。

目标函数：设满足生产合同的最低费用为甲的费用1000元/天，工段乙的费用为2000元/天，则目标函数为：元，因为工段约束条件：生产合同最低需求量，生产合同对求量为20吨，甲、乙两个工段开工一天生产2,7，所以有如下约束条件：的最低需的产品数量分别为第二节对偶问题典型案例同理，对产品和有：

非负约束，因为开工的天数不可能为负数，所以有综上所述，我们可得问题的数学规划模型为：第二节对偶问题典型案例利用对偶理论，我们得到原问题的对偶线性规划模型为：利用Excel求解对偶线性规划问题，得到的答案如图所示即每吨产品的合理成本分别为200元、600元。第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法线性规划的对偶单纯形法是根据对偶问题求解的特点和对称性设计出的一种解法。本节将简要介绍对偶单纯形法的基本理论以及如何运用对偶单纯形法求解线性规划问题。对偶单纯形法和单纯形法的主要区别在于：单纯形法在整个迭代过程中，始终保持原问题的可行性，即常数列大于等于0;对偶单纯形法则是在整个迭代过程中，始终保持对偶问题的可行性，即全部检验数大于等于0。在运用对偶单纯形法求解线性规划问题时,不需要引进人工变量，但是必须先给定原问题的一个对偶可行的基本解。第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法下面介绍对偶单纯形法的求解步骤：

第一步：给定一个初始对偶可行的基本解.把原问题引入附加变量化为标准型。为了得到对偶可行的基本解，不需要引入人工变量，只要将每个约束方程两端同时乘以-1即可，并实现所有检验数大于等于0，但常数列中含有负元素。例：利用对偶单纯形法求解下列规划模型第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法将上述模型化为标准型，得解：然后分别将每个约束方程两端同乘以-1，得到：第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法从而可得下表第二步：最优性检验若线性常数列的基本解即是最优解。否则，转下一步。从上表可知，从而线性对偶可行的基本解不是最优解。

，则停止计算，现行对偶可行第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法第三步：确定换出变量将现行常数列中最小的负元素所在行的基变量换出，即第行约束式的基变量为换出变量。从表中我们知道，故为换出变量。即第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法第四步：确定换入变量系数为负的那些元素，用相应的检验数在换出变量所在的第行约束式中，找出各非基变量列中

分别除以这些负元素，

所得个负比值中最大者所在列即为换入列。令在表4.1中，由第3步可知，第2行为换出变量所在行，从而即所在列为换入变量列，故为换入变量。第三节进一步学习的数学知识：对偶单纯形法在对偶单纯形法中，确定换入变量的规则称为最大负比值规则。选取新的基变量为

，根据第九章求基本可行解的方法，令各非

基变量等于0，可以得到一