解三角形满分通关10讲学生版

解三角形满分通关10讲专题一三角形中基本量的计算问题 2考点一计算三角形中的角或角的三角函数值 3考点二计算三角形中的边或周长 6专题二三角形的三线两圆及面积问题 10考点一三角形的三线两圆问题 11考点二计算三角形的面积 14专题三三角形形状的判定问题 16专题四三角形中的最值(范围)问题 20考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 20考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围) 22考点三三角形中与面积有关的最值(范围) 24专题五三角形中边角的计算问题 26专题六三角形中面积的计算问题 32专题七三角形中的结构不良题型 34专题八多三角形问题 35专题九三角形中的最值(范围)问题 38考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 39考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围) 40考点三三角形中与面积有关的最值(范围) 41专题十解三角形综合问题 43考点一正、余弦定理与三角函数结合的问题 43考点二正、余弦定理与与向量结合的问题 46专题一 三角形中基本量的计算问题1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccosA；内容＝＝＝2Rb2＝c2＋a2－2cacosB；sinAsinCsinBc2＝a2＋b2－2abcosC．bsinAasinBasinC(1)a＝，b＝，c＝；sinBsinAsinAasinBbsinAcsinAb2＋c2－a2(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；cosA＝；baa2bc(3)a2RsinC变形2RsinAb2RsinBccosB＝；abc2ac(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；a2＋b2－c22R2R2RcosC＝．(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；2ab(6)a＋b＋c＝2R．sinA＋sinB＋sinC2．三角形面积公式(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，111abc1S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝2224R2并可由此计算R、r．3．解三角形有关的二级结论(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋BπC＝－．222(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠π)；④sinA＋B＝cosC；⑤cosA＋B2222＝sinC．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π)．22(3)三角形中的不等关系①在三角形中大边对大角，大角对大边．π222．③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a＋b>c．若△ABC为钝角三角形(假2如C为钝角)，则A＋B<π，sinA<cosB，cosA>sinB．⇔abc2④c2＝a2＋b2C为直角；c2>a2＋b2C为钝角；c2<a2＋b2C为锐角．⑤＋＞，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈0，π，则sinx＜x＜tanx．若x∈0，π，则1＜sinx＋cosx≤2．22(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．考点一 计算三角形中的角或角的三角函数值【方法总结】计算三角形中的角或角的三角函数值的解题技巧此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【例题选讲】[例1](1)(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()A．πB．πC．πD．π12643(2)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________．在中，角，，所对的边分别是，，．已知＝，＝，则cosC等于()(3)ABC7abc78b5cC2B24A．B．－C．±D．25252525(4)(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A．πB．πC．πD．π12643(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c2，则C4＝()A．πB．πC．πD．π2346(6)(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A．3πB．πC．πD．π4346(7)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝________．(8)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝1a，2sinB＝3sinC，4则cosA的值为________．(9)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，()的值为13C．A．B．2D．24443(10)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＋a＝6cosC，则tanC＋tanC的值tanAabtanB是________．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba＝，则cosB等于()3cosBsinAA．－1B．1C．－3D．322222．在ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于________．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB＝()52A．5△B．5C．5D．534564．已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1)D．3∶25．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝1b，且a2＞b，则B等于()A．πB．πC．2πD．5π63366．如图，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cosA等于( )A．232 B．42 C．46 D．367．在ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为________．8．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝π，则cos5B＝()36A．－3B．1C．1或－1D．－3或022229．已知△在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于________．10．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的大小为( )A．πB．πC．π或5π636611．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则12．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则cosB等于(

D．π3或2π3tan∠CAD的值为________．)A．1B．1C．1D．2932313．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tanA＝________．14．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．15．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝()A．3B．4C．－4△D．－3)344317．在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2， ABC面积的最大值为3，则角B的值为A．2πB．πC．πD．π336418．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－23bcsinA，则C＝________．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB，则角B＝________．20．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则＝()A．60°B．120°C．30°D．150°21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝( )A．πB．πC．5πD．2π636322．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB－sinA＝3a＋c，则角B＝_______．sinCa＋b23．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b＋a＝2asinB－c，则A＝________．sinCsinB－sinA24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则角A为()A．30°B．60°C．120°D．150°25．设的内角，，所对边的长分别为，，．若＋＝，＝5sinB，则角C＝________．ABCabcbc2a3sinA126．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为2()A．22B．3C．7D．14343sin2A27．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，则等于________．sinC考点二计算三角形中的边或周长【方法总结】计算三角形中的边长的解题技巧此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【例题选讲】[例2](1)在△ABC中，若A＝60°，a＝2a＋b＋c3，则等于________．sinA＋sinB＋sinC45(2)(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝5，cosC＝13，a＝1，则b＝________．(3)在△ABC中，C＝2π，AB＝3，则△ABC的周长为()3A．6sinA＋π＋3B．6sinA＋π＋3C．23sinA＋π＋3363(4)(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝

D．23sinA＋π＋365，c＝2，cosA＝23，则b＝()A．2B．3C．2D．3C(5)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos＝5，BC＝1，AC＝5，则AB＝()25A．42B．30C．29D．25(6)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝5，cosB＝12，13ac则a＋c的值为________△．(7)如图，在 ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为_____．(8)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．(9)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋bcosAc＝2cosC，则c等于()A．27B．4C．23D．333(10)已知△ABC中，AC＝2，BC＝6，△ABC的面积为．若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC2＝π，则CD＝________．4【对点训练】1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．2∶3∶12．在△ABC中，若b＝5，B＝π，tanA＝2，则a＝________．43．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝1π3，sinB＝，C＝，则b＝________．26b4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则等于()aA．23B．22C．3D．25．(2019浙江)在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD___________，cosABD___________．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝3，cosB＝5，b＝3，则c＝________．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝51345，cosC＝，a＝1，则b＝()513A．21B．7C．12D．2313513128．(2017·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，sin2C＝1，B＝π，则a的值为()1－cos2C6A．3－1B．23＋2C．23－2D．2＋610．在ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()D4B2C3．．．．711．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，则a＝()8A．2B．5C．3D．72212．(2013·福建)在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝22，AB＝32，AD＝3，则3BD的长为()A．3B．3C．2D．213．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则a＝____．b14．(2014·全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是1，AB＝1，BC＝2，则AC等于()2A．5B．5C．2D．1π3sin2C15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()3cosCA．2B．3C．4D．6316．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A＋3sin2A＝2，b＝1，S＝，2A＝________，b＋c＝________．sinB＋sinC17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面积为33，则△ABC的周长为()2A．1＋7B．2＋7C．4＋7D．5＋718．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，b＝26，sin2A＝sinB，则边c的长为A．2B．3C．4D．2或419．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝1a，则＝()4cA．2B．3C．3D．4220．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则a＝()bA．2B．3C．2D．321．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝1b－，则＝()4cA．6B．5C．4D．322．在△ABC中，已知B＝π，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为________．4A＋B23．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos2－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，2则c的值为()A．13B．7C．37D．6→3－1→24．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且BD＝BC，则AD的长为_______．225．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，则AB＝________．10，DC＝226．如图，在△ABC中，AB＝2，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝31010，cos∠C＝255，则AC＝________．27．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，则BD的长等于________．28．在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，则AB的长为______．29．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若sinA＝5c，sinB＝7，S△ABC＝57，4sinB2b4则b的值为________．π3＋330．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，b＝6，△ABC的面积为，42则c＝________，B＝________．331．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为，且sinA＋sinC2＝2sinB，则b的值为________．△32．在ABC中，B＝30°，AC＝2ACD的面积为5，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，BC＝________．，则，△ABC的面积为．若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC33．已知△ABC中，AC＝，BC＝3262＝π，则CD＝________．434．在ABC中，A＝60°，BC＝，BCD的面积为10，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝2AC()，则的长为A．2B．C．3D．233333专题二 三角形的三线两圆及面积问题一．中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ABC中，D为BC中点，则AB2AC212BC22AD2．证明在ABD中，cosBAB2BD2AD2，在ABC中，cosBAB2BC2AC2．2ABBD2ABBCAB2AC212BC22AD2．另外已知两边及其夹角也可表述为：4AD2AB2AC22ABACcosA．121212121证明由AD(ABAC)，AD(ABAC)ABACABACcosA，244424AD2AB2AC22ABACcosA．二．角平分线角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，则ABBD．ACCD证法1在ABD中，ABBD，在ACD中，ACCD，ABBD．sinADBsinBADsinADCsinCADACCD证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即SABDABBD．SACDACCD三．高高的性质：h，h，h分别为ABC边a，b，c上的高，则h:h:h1:1:11:1:1123123abcsinAsinBsinC求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．四．外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R＝abc＝＝．2sinA2sinB2sinCabc外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)．4R五．内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r．考点一三角形的三线两圆问题【例题选讲】[例1](1)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()3C．＋＋A．3B．336D．33942227(2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________．2(3)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________．(4)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝125，a＝b＝13，BC边上的中点为D，则sin△∠BAC＝________，AD＝________．(5)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为22，高线长为3，且btanA＝(2c－b)tanB，则bc的值为________．(6)已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．(7)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为()A．4πB．2πC．πD．π2(8)设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R，且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________；当BC＝1时，△ABC的面积为________．(9)在ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____．△△答案36解析解法1如图1，设ABC的外心为O，连结AO，则AO是∠BAC的平分线，所BOAB33→→3→→→2→3→→＝＝，→＝→＋→＝→＋＝＋－，＝＋，AB5(ADAB)5AD以ODAD2所以AOABBOAB5BD即AO5AB两边同时点乘AB得→→2→3→→23136＋36－2×62×1AO·AB＝(AB)2＋AB·AD，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以cos∠BAC＝，则BC＝455554＝3→6．(说明：两边同时点乘AD也是一样的)图1图2图311解法2·6Rsinα＋·4Rsinα221·6·4sin2α，化简得24cosα＝5R．在Rt△AFO65＝中，Rcosα＝3，联立解得R＝10，cosα＝，所以sinα2583，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×3＝3＝6．88解法3如图3，延长AO交BC于点E，过点D作BC的垂线，垂足为F，则BO＝AB＝3，OE＝BO＝ODAD2DFBD3．又DF∥AE，则DFCD1OE1．设OE＝x，则AE＝5x，所以OB＝OA＝4x，所以BE＝＝＝，所以＝15x．又5AECA3AE51因为25x2＋15x2＝36，所以x＝3，所以BC＝2BE＝36．10(10)已知△ABC的外接圆半径为R，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，则△ABC面积的最大值为________．【对点训练】1．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为________．2．如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝473，则BC边上的高AD的长为_____．π13．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()433101010310A．B．C．－D．－101010104．在锐角ABC中，内角，所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝23，D为BC的中点，则AD的长为________．5．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于________．6．在 ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________，AC＝________．7．在△ABC中，已知AB＝436，cos∠ABC＝66，AC边上的中线BD＝5，则sinA的值________．８．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝26，则B的角平分线的长是________．9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝7，则cos∠ADB的值为()C．2A．－21B．217D．±21777710．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为________．12．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为1，则其外接圆的直径为________．313．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝2，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接23圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π15．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为________．16．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________．17．在外接圆半径为12的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．32218．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为63a，则bc＋bc取得最大值时，内角A的值为()A．πB．πC．2πD．π2633考点二 计算三角形的面积【方法总结】三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．【例题选讲】[例2](1)(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．答案23解析在△ABC中，由正弦定理得sin60°23＝sin4B，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝12×AB×23＝12×42－232×23＝23．(2)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△BDC的面积是________．答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB，所以(2c)2c222cc162，即32c212，解得c23,c23（舍去），所以a2c43，S△ABC12acsinB1243232363．(3)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__________．答案23解析已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC⇒2sinBsinC＝4sinA·sinBsinC，所以sinA＝1，由b2322228＋c2－a2＝8>0知A为锐角，所以cosA＝3，所以3＝b＋c－a＝4，所以bc＝＝83，所以S△ABC＝222bcbc331bcsinA＝1×83×1＝23．23232(4)(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．(5)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝4，cosC＝5，a＝1，则△ABC的面积S135＝________．→→(6)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，BA·BC＝2，则△ABC的面积为________．(7)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，且c＝6，C3()，则的面积是A．3B．33C．3或1D．3或33(8)已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．【对点训练】 △1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC三个内角A，B，1a2＋c2－b2C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝a2c2－22．若a2sinC4＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()C．3△A．3B．2D．6π2．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝22，且C＝，则△ABC的面积4为()A．3＋1B．3－1C．4D．23．(2013·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π，C＝π，则△ABC的64面积为()A．23＋2B．3＋1C．23－2D．3－14．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2bcosA，B＝π3，c＝1，则△ABC的面积为________．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，则△ABC的面积为________．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－a)cosC＝ccosA，c＝3，sinA＋sinB＝26sinAsinB，则△ABC的面积为()33333A．B．2C．D．8247．在△ABC中，c＝22，a>b，tanA＋tanB＝5，tanAtanB＝6，则△ABC的面积为________．38．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－3c＝2acosC，sinC＝，则2△ABC的面积为()33333A．B．C．或D．3或242429．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．10．(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2＝(a－的面积是()A．3B．93C．3322

b)2＋6，C＝π3，则△ABCD．3311．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝22，cosA＝34，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是________．12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，cosB＝1，则c＝________；△ABC4的面积S＝________．713．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，a＝3，cos(B－A)＝，则△ABC的面积为9()1552A．B．C．52D．222314．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．专题三 三角形形状的判定问题【方法总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．正(余)弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因△式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖△掘隐含条件，重视角的范围对三角函数△值的限制．特别地，在ABC中，c是最大△的边，若c2<a2＋b2，则ABC是锐角三角形；若c2＝a2＋b2，则ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，则ABC是钝角三角形．【例题选讲】[例1](1)在△ABC中，cos2B＝a＋c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )2 2cABCDA．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(2)在ABC中，若tanAtanB>1，则ABC是()．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．无法确定(3)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形△BCDC．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形(4) ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，则 ABC的形状为( )．等边三角形

．锐角三角形

．钝角三角形

．直角三角形(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 C 解析 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋

B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a2＝b2aa2＋c2－b2，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，2bc 2ac∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tanA∶tanB＝a2∶b2，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形abc答案D解析法一：由＝＝＝2R，则条件化为：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝sinAsinBsinC8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．a2＋b2－c2法二：将已知等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即b2＋c2－b2·2ab2－a2＋c2－b222222222222224c2·2ac2＝2bc·a＋c－b·a＋b－c，即b2＋c2＝[a＋b－c＋a＋c－b]＝4a＝a2，∴A＝90°，2ac2ab4a24a2∴△ABC为直角三角形．(8)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得sinC＝c，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC＝c．又由余sinBb2sinB2b弦定理得cosA＝b2＋c2－a2，所以c＝b2＋c2－a2，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．又因为(a2bc2bc2b＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2．所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC为等边三角形．法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0．又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC222ab1＝a＋b－c＝＝，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC为等边三角形．2ab2ab2(9)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2C＋1，则△ABC为()22A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形a2＋c2－b2C答案B解析由2acosB＝c⇒2a·＝c⇒a2＝b2，所以a＝b．因为sinAsinB(2－cosC)＝sin22ac212，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2C2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因为cosC≠2，所以sinAsinB＝12，因为a＝b，所以sin2A＝12，所以A＝B＝π4，所以△ABC是等腰直角三角形，故选B．(10)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边．下列四个命题：①若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；②若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形；④若cosaA＝cosbB＝coscC，则△ABC是等边三角形．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)【对点训练】1．在△ABC中，sin2A＝c－b，则△ABC的形状为()22cA．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，cos，则△ABC一定是(A1＋cosB)＝22A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定c3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为()bA．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形4．在ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为()D△ABBCC．等腰三角形．等腰直角三角形．等腰三角形或直角三角形．直角三角形5．在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2sinAcosB＝sinC，则 ABC的形状为( ) △．直角三角形6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，则 ABC的形状为(

)

．等腰直角三角形A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形7．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形sinAcosBcosC，则△ABC是()８．若＝＝abcA．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知三个向量m＝a，cosA，n＝b，cosB，p．在9△c，cosCABC的形状为()222共线，则＝A．等边三角形△B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形10．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()△()B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形A．等腰三角形12．在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则 ABC的形状为A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是(

)A．锐角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰或者直角三角形14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsinAB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形15．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，则△ABC的形状为( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形bcosC1＋cos2C16．在△ABC中，若＝，则△ABC为()ccosB1＋cos2B()C．直角三角形D．等腰或者直角三角形A．锐角三角形B．等腰三角形17．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝3cosC，则下列结论中正确的是D．△ABC是等边三角形A．A＝πB．c＝2aC．C＝π62cosAb18．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝2，则该三角形的形状是()＝cosBa19．已知△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为()20A．等腰三角形B．等边三角形△C．直角三角形D．钝角三角形A．和A2B2C2都是锐角三角形A2B2C2的三个内角的正弦值，则()．如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形D．△A1B1C1是钝角三角形，是锐角三角形是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形专题四 三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()π，ππ，ππ，π0，πB．42C．32D．2A．2(2)在ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是()A．0，πB．0，ππ，ππ，π62C．62D．62(3)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠π，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则角A的2取值范围为()A．0，πB．0，πC．π，πD．π，π646463BπCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sinBcosA答案解析法一：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝22sinAcosA，因为A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a，所以A为锐角，2π0，20，又sinB＝2sinA∈(0,1]，所以sinA∈2，所以A∈4．△ABC法二：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝2sinAcosA，πCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sin2A2sinBcosA2b2＋c2－a2因为A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝22bc122212·c2π2b＋c2b220，≥＝224．2bc2bc(4)(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．(5)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则tanC＝_____；tanB的最tanA大值为________．(6)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．4B．33C．8D．63【对点训练】1．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A．0，ππ，ππ，ππ，π2B．42C．63D．322．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是()π，2ππ，πC．0，ππ，πA．63B．646D．633．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsin(B，则C的最大值为________．)4．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝2a2，则cosA的最小值为________．5ABCABCabccos2Acos2B2cos2CcosC．已知的内角，，的对边分别为，，，且＋＝，则的最小值为B．C．1D．－1A．32()22226．在钝角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为B．9D．7A．2C．1887．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝12c，当tan(A－B)取最大值时，角△B的值为________．8．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－2asinB，则sin2Atan2B的△最大值是__________．9．在 ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosC＋b＝0，则tanB的最大值是________．11．(2016江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则tan1A－tan1B的取值范围是________．13．在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则tan1A＋tan1B＋tan1C的最小值为________．考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例2](1)已知△ABC中，角A，32B，C成等差数列，且△ABC的面积为1＋2，则AC边的长的最小值是________．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依题意作出四边形ABCD，连结BD．令BD＝x，AB＝y，∠CDB＝α，∠CBD＝β．在△BCD中，由正弦定理得2x＝．由题意可知，∠ADC＝135°，则∠ADBsinαsin75＝135°－α．在△ABD中，由正弦定理得xyy2，即y＝2sin(135°－α)＝．所以＝sin75°sin(135°－α)sin(135°－α)sinαsinα＝2sin[90°－(α－45°)]＝2cos(α－45°)＝2(cosα＋sinα)．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，sinαsinαsinα1＋1．又tan30°＝当α＝90°时，易得y＝；当α≠90°时，y＝2(cosα＋sinα)3，tan105°＝tan(60°2＝2tanαsinα3tan60°＋tan45°11＋45°)＝＝－2－3，结合正切函数的性质知，∈(3－2，3)，且≠0，所以y＝1－tan60°tan45°tanαtanα1＋12tanα∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD，延长CD，BA，探求出AB的取值范围．如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE．在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BEBE22＝CE，BC＝2，，∴BE＝×6＋2＝＝6＋2．∴6－2<AB<6＋2．sin75°sin30°142(3)在△ABC中，若C＝2B，则bc的取值范围为________．答案(1，2)解析因为A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0<B<π3，所以12<cosB<1．因为bc＝sinsinCB＝sinsin2BB＝2cosB，所以1<2cosB<2，故1<bc<2．(2018·北京)若△ABC的面积为43(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝__________；ac的取值范围是__________．sinBsinCcosA，则ab的C)(5)在c2最大值为__________．(6)在△ABC中，若＝60°，＝，则＋的取值范围为________．Cc2ab222→→3(7)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b＋c－a＝bc，AB·BC＞0，a＝2，则b＋c的取值范围是()331313A．1，3，，，2B．22C．22D．22(2018·江苏)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．(9)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝3bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．(10)在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>1，AC＝AB＋12，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．【对点训练】1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋2，则b的最小值为()A．2B．3C．2D．32．已知△ABC中，AB＋2AC＝6，BC＝4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为________．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，C为钝角，则c的取值范围是________．b4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则a的取值范围是()bA．(0，3)B．(1，3)C．(0，1]D．(1，2]5．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝1a2，则c的最大值为()4bA．2－11cB．2sinBC．2＋1sinCD．2＋2________．2sinAsinAsinBab中，已知＝，若2＋2－＝2，则＋的取值范围为7．在外接圆半径为2的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．3228．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则2a＋c的最大值为________．9．在△ABC中，AB＝2，C＝π，则3a＋b的最大值为()6A．7B．27C．37D．4710．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c．若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为( )22135A．3B．C．32D．3211．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为3a，则c＋b取得最大值6bc时，内角A的值为()A．πB．πC．2πD．π263312．在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)·sinC．若a＝bc()，则2＋2的取值范围是A．(5，6]B．(3，5)C．(3，6]D．[5，6]13．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则△ABC的周长的最大值为________．14．凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a，b)上的函数f(x)是凸函数，则对任意的xi∈(a，x1＋x2＋…＋xnb)(i＝1，2，…，n)，必有f≥f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)成立．已知y＝sinx是(0，π)上的凸函数，nn利用凸函数的性质，当△ABC的外接圆半径为R时，其周长的最大值为________．考点三三角形中与面积有关的最值(范围)【例题选讲】[例3](1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA＝4，a＝4，则△ABC的面积的最3大值为()A．4B．6C．8D．12答案C解析因为tanA＝4，所以sinA＝4．又sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝9，解得cosA＝3或3cosA3255cosA＝－3(舍去)，故sinA＝4．又16＝b2＋c2－2bc×3≥2bc－6bc，所以bc≤20，当且仅当b＝c＝2时55555取等号，故△ABC的面积的最大值为1×20×4＝8．251b－sinCcosA＝sinAcosC，且a＝23，(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2则△ABC面积的最大值为________．1b－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA答案33解析因为2221cosAsinBsinBsinAcosAsinA3，所以＝sin(A＋C)，所以bcosA＝sinB，所以＝，又＝，a＝2＝，得tanA22bba223＝3，又A∈(0，π)，则A＝π3，由余弦定理得(23)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝23时取等号，从而△ABC面积的最大值为12×12×23＝33．(3)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________．答案8解析由题意得，4×1bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得，2A＋π＝1，又0＜A＜π，∴π＜A＋π5π，∴A＋π2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，2sin4＜＝44443π4，∴A＝π2，S＝12bcsinA＝12bc，又b＋c＝8≥2bc，当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8．(4)若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，则△ABC面积的最大值为________．答案 4解析S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝172abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)．∵S＝12absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cosC＋15＝0，解得cosC＝1517或cosC＝1(舍去)，∴sinC＝178，∴S＝12absinC＝174a(2－a)＝－174(a－1)2＋174．∵a＋b＝2，∴0<a<2，∴当a＝1，b＝1时，Smax＝174．(5)已知△ABC的外接圆半径为R，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，则△ABC面积的最大值为________．2＋1R2解析由正弦定理得a2－c2＝(ab．由余弦定理得cosC答案2a－b)b，即a2＋b2－c2＝22a2＋b2－c22ab2π1122R2sinAsinB＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．∴S＝absinC＝×2RsinA·2RsinB·＝2ab2ab242223π11－cos2A2cosA＋2sinA＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2sin2A＋－AR2sinA＝2R2sinAsin4＝22222＝2A－π3ππ5ππ＋sin4，∵A∈0，π∈－，2A－∈－，1，∴S∈0，RR2224，∴2A－44，∴sin422，R2．4∴面积S的最大值为2＋12(6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝c，b1－cosB．若点O是△ABC＝acosA外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OB＝1，如图所示，则四边形OACB面积的最大值是()A．4＋53B．8＋53C．3D．4＋5442答案B解析由b＝1－cosB及正弦定理得sinBcosA＝sinA－sinAcosB，所以sin(A＋B)＝sinA，所acosA以sinC＝，因为A，C∈(0，π)，所以C＝A，又b＝c，所以A＝B＝C，ABC为等边三角形．设ABCsinA△△2221323的边长为k，则k＝1＋2－2×1×2×cosθ＝5－4cosθ，则S四边形OACB＝2×1×2sinθ＋4k＝sinθ＋4(5－4cosθ)＝2sinθ－π＋53≤2＋53＝8＋53，所以当θ－π＝π，即θ＝5π时，四边形OACB的面积取得最大值，3464432且最大值为8＋53．4【对点训练】1．(2014·全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为()A．2B．2C．3D．3→→→→)3．在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，则△ABC的面积的最大值为(321214．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c＝8，则的最大值为________．5．若AB＝2，AC＝2BC，则SABC的最大值为()B．A．23C．2D．322326．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA－sinB＝1sinC，3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，3设△ABC的面积为S，p＝2a