正弦定理(要点归纳夯实基础练)

第一节正弦定理

【要点归纳】

一、正弦定理

1.正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等。即：急=益=^

2.正弦定理的常用变形：

⑴a：b：c=sinA:sinB:sinC；

asin八asin/\bsinB

(sin3'sinC*c-sinC:

ab___c________a+b+c

()siiL4-sinB-sinLsin>4+sin8+sinC；

⑷a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；

4•Aa.口b.c

(5)sinA=/，sinB=诙，smC=诙;

(6)AvB0，v/?<=fiRsirL4v2RsinBGinA<sinB.

3.正弦定理的推广：由正弦定理的推导过程可以得到如下面积公式：5A=^sinC=5

acsinB=2bcsinA.

4.三角形的面积公式

(1)S=^a-ha=^b-hb=^chc(h(nhb,瓦■分别表示小b,c边上的高)；

(2)S=；a加inC=^?csin4=JcsinB；

(3)S=；(a+力+c>r(r为内切圆半径).

二、解三角形

1.解三角形：一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边小h,c叫做三角形

的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

2.利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题

(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和

角.

3.讨论三角形解的个数

在△ABC中，已知小b,4,以点。为圆心，以边长a为半径画弧，与除去顶点A的

射线AB交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表:

=1,一解;③sinBvl,两解.

4.在解三角形时，常用到以下结论：

(1)在△ABC中，A>B=a>businA>sinB；(即大边对大角).

(2)a+b>c,b+c>a,a+c>h\(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)

⑶内角和定理：A+8+C=mA+8=7C—C,”8=尹苧

sin(4+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC；

A+3CA+8.C

sin-2-=cosy,cos~~=sin,

jrjr

(4)在锐角5c中，A+8>5=4>]—4=sin4>cos8=cosA<sinB.

【夯实基础练】

1.(2022•重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)《数书九章》是中国南宋时期杰出

数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》

中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,h,

c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幕并大斜哥减中斜

幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜鼎减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积

M+八叫2

若把以上这段文字写成公式，即5=现在有周长为

10+2"的4人8。满足出114”皿8：5①。=2:3:近，则用以上给出的公式求得,ABC

的面积为（）

A.6^3B.4疗C.8不D.12

【解析】由题意结合正弦定理可得：a:Z?:c=sinA:sinB:sinC=2:3：V7,

・・"ABC周长为10+2近，即4+6+c=10+2x/7,:.a=4,b=6,c=2近.所以

62+42-(2>/，7)2

S62X42-6\/3,故选：A.

42

【答案】A

2.（2022•河北省衡水中学高三一模）设..A/C的内角A,B,C的对边分别为。，b,

c,若。=»sinB=—»C=—>则边c=()

26

A.2B.&C.y/2D.1

因为sinB=］1且571所以5=C,A=^-B-C=—.又

【解析】

2663

a=6由正弦定理，得,即---r—=--------,解得C=1.故选：D.

sinAsinC.2%.71

sin——sin—

36

【答案】D

3.（2U22•江西师大附中三模）滕王阁，位于江西省南昌巾西北部沿江路赣江东岸，始建

于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色''而流芳后世.如

图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到•座建筑物A8,高为12m,

在它们的地面上的点M（B,M,力三点共线）测得楼顶A,滕王阁顶部C的仰角分别为15。和

60。，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30。，则小明估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）

A.42mB.45mC.51mD.57m

Afi

【解析】由题意得，在MuABM中，AM二—"七，在"CW中，

sin15

NC4M=30°+15°=45°,Z/WC=180°-15°-60°=105°,所以NACM=30°,由正

2AEAMCM4"4M4

弦定理-------得又

sinZ.ACMsinZCAMsinNACMsin15

加5。=.45。一30。）二去冬孝十丹也

在Rt.CDM中

CD=CMsin60°=""=—厂=36+126。57.故选：D.

2sinl5)V6-V2

2x-------

4

【答案】D

4.（2022•黑龙江省哈九中模拟）记AAAC的内角4,R,C的定边分别为〃,h,c

ZoT

sinC=---,c=2,6=3,则cosB的值为()

7

A.-EB,且C.士且D.±也

1414147

3x@

【解析】根据正弦定理得一也=-^,得§皿8=竺叱=?=士"，所

sinBsinCc214

前万=±m=±器•故选：c

以cosB=±71-

【答案】C

5.（2022•高考浙江卷）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公

式，就是S=J；c2a2一，2+；一,,其中小也。是三角形的三边，s是三角形的

面积.设某三角形的三边。=血,6=J5,C=2,则该三角形的面积S=

1「(r2-i-n2-h2V

-c2a2-,所以

J4[12〃

c1dc<4+2-3?V23…1V23

S=l-4x2---------=--.故答案为：--.

丫4[I2JJ44

-V23

【答案】--.

4

6.（2022•重庆市第八中学高三第六次调研检测）在z_A3C中，已知28scosA=l,

则叫8s人

忸c

【解析】因为2cos28-cosA=1,所以cosA=2cos28-l=cos23,因为

A、BG(O,^),故2BC(0,2;T),所以A=28或A+25=2万.因为3VA+8V4,故

故A=2B.则由正弦定理得sin2B=sinA,2bcosB=a,_£巴0=」

4+25<2几,

a2

故答案为：-

2

【答案】-##0.5

2

7.（2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三（上）期末）已知函数/（X）=sin(26J在

2/7—CCCSC

二45c中，角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足—一=生上，则/（A）的取

bcosB

值范围是________

__,2a-ccosCp十计…e/口2sinA-sinCcosC

【解析ir】由------=-----及正弦定理，得--------------=------,即

bcosBsinBcosB

2sinAcos5-sinCeosB=sinBcosC即

2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC=sinA,所以cosB,即所以

2

71Tl（1、

,所以.故答案为:

127

8.（2022•河北省衡水中学高三二模）在4ABe中，内角A,B,C的对边分别为a,b,

qinA

。且b8sA-2c8s3=2Z?8sC-a8s3,则-----=____________.

sinC

【解析】因为Z?cosA-2c8sN=2/?cosC-48s4,由正弦定理可得：

sinficosA-2sinCcos^=2sinBcosC-sinAcosA即

sinBcosA-bsinAcosB=2sinBcosC+2sinCcosB,所以sin（A+6）=2sin（6+C）,

在AABC中，因为A+B+C=7i,所以sin（兀一C）=2sin（兀一A）,即sinC=2sinA,

所以任4=L,故答案为：1

sinC22

【答案】-

2

9.（2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试）在△A8C中，A=-,

3

cosB=—,BC=6则AC的长为___________.

3

【解析】因为cosB=*，所以sinB=Jl-cos?8=[6=且，由正弦定理

193

BCAC6AC.乂林3d4

可知：-----=-----n一尸=一尸=>AC=4,故答案为：4

sinAsinBJ313

TT

【答案】4

10.(2022•山西省长治市第二中学高三(上)第三次练考)如图，A是两条平行直线小右之

间的一个定点，且点A到直线/「4的距离分别为AM=1，AN二=6设4ABC的另两个

ADAr

顶点C、B分别在4、4上运动，且满足ABCAC,------=—r

cosBcos(・

c

MB2

(1)试判断AABC的形状，并证明结论；

(2)求;+唯的最大值.

.ABAC口―口sinCsinB

【解析】(I)由----=-----及正弦定理得-----=-----=>sin2B=sin2c..

cosBcosCcosBcosC

冗

因为ABcAC,所以，/。</8.于是2/3+2/。=乃二>N8+NC=—.

2

故AABC为直角三角形，且乙4二工.

2

(2)设ZBAM=<6<工］.则NCAN=--0.

I2；2

于是，在RtZ\AMB中，AB=-----；

cos。

在RiZXANC中，AC=—二.故」一+工^=cos9+sin9=2sin0+—.

sin。ABAC(4)

从而，当6=巳时，----F■取得最大值为.

4ABAC

【答案】⑴工；(2)&

2

11.(2022•河北省衡水中学高三一模)已知：-ABC中，角A,8,C所对的边分别为

a,b,c,KbsinA=—asin2B.

3

(1)求知B的大小及cos2B的值：

(2)若cosA='，求sinC的值.

3

【解析】(IWABC中，由正弦定理/一二」一,又由asin23=JJbsinA得

sinAsinB

所以cos3=立，

2sinAsinBcosB=>/3sin5sinA,sinAw0,sinBwO

2

V0<B<TT,/.B=—./.cos2B=cos—=—.

632

(2)由cosA=-及0vAv；r得sinA=,则

33

sinC=sin[%-(A+B)]=sin(A4-B),

•小•(A万)旧.A1A2>j6+1

所以sinC=sinA+—=——sinAH■—cosA=-----------

6)226

【答案】(1)B=2；COS2B=-(2)2池+1

626

12.(2022•安徽省六安一中高三第四次月考)已知在A4BC中，角4,B,C所对的边分别

为a,b,c,且c=l,cosBsinC-t-(2sinA-sinB)cos(^-C)=0.

(1)求角C的大小；

(2)若力=-a,求lan6的值.

3

【解析】(1)因为cos8sinC+(2sinA-sin3)8s(乃一C)=0.

所以cosBsinC+sinBcosC-2sinAcosC=0,

所以sinA-2sinAcosC=0,而4为三角形内角，所以sinA>0,

17T

所以cosC=—，・・・