2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷446考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y=x2-2x+3的顶点为（b；c）则ad=（）

A.3

B.2

C.1

D.-2

2、已知则f（3）为（）A.2B.3C.4D.53、【题文】若直线与直线平行，则A.-2或6B.6C.-2D.0或-44、【题文】下列各式运算错误的是A.B.C.D.5、若P(2,-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.2x-y-5=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.x-y-3=06、已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是（）A.（）B.（）C.（）D.（﹣∞，）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、若t是方程x2-3x+1=0的一个根，则t2-2t+=____．8、已知函数y=sin（ωx+1）的最小正周期是则正数ω=____．9、平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是____．10、设D为△ABC的边AB上一点,P为△ABC内一点,且满足:则=.11、若f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=______．12、在下列四个命题中：

①函数的定义域是

②已知且α∈[0，2π]，则α的取值集合是

③函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线对称；则a的值等于-1；

④函数y=cos2x+sinx的最小值为-1．

把你认为正确的命题的序号都填在横线上______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出函数y=的图象．16、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

17、请画出如图几何体的三视图．

18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、综合题(共4题，共24分)21、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．22、如图；以A为顶点的抛物线与y轴交于点B；已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m；n）是抛物线上的一点（m；n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．23、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．24、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2；

∴抛物线y=x2-2x+3的顶点为（1；2）；

∴b=1；c=2；

又∵a，b；c，d成等比数列；

∴ad=bc=2；

故选B．

【解析】【答案】通过配方，可得抛物线y=x2-2x+3的顶点为（1，2），即b=1，c=2，由等比数列的性质可得ad=bc；故问题可求．

2、A【分析】【解析】试题分析：∵3＜6，∴f（3）＝f（3＋2）＝f（5），5＜6，∴f（5）＝f（5＋2）＝f（7）＝7－2＝5，∴f（3）＝2，故选A．考点：考查了分段函数求函数值．【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】是两直线不平行；则两直线平行的条件是解得故选B【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、D【分析】【分析】由圆的方程可知圆心为C(1,0)，所以因为点P是弦AB的中点，所以从而可得由直线的点斜式可得直线AB的方程：y+1=x-2y即x-y-3=0，选D.6、C【分析】【解答】解：由Sn+Sn﹣1=3n2+2n+4（n≥2），可以得到Sn+1+Sn=3（n+1）2+2（n+1）+4，两式相减得an+1+an=6n+5；

故an+2+an+1=6n+11，两式再相减得an+2﹣an=6；

由n=2得a1+a2+a1=20，a2=20﹣2a；

故偶数项为以20﹣2a为首项；以6为公差的等差数列；

从而a2n=6n+14﹣2a；

n=3得a1+a2+a3+a1+a2=37，a3=2a﹣3；

从而a2n+1=6n﹣9+2a；

由条件得

解得＜a＜

故选：C．

【分析】根据条件求出与an的有关的关系式，利用条件an＜an+1恒成立，建立条件，即可得到结论二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【分析】先根据t是方程x2-3x+1=0的一个根，得出t2-3t+1=0，t2-3t=-1，再代入t2-2t+，然后进行整理，即可求出答案．【解析】【解答】解：∵t是方程x2-3x+1=0的一个根；

∴t2-3t+1=0；

∴t2-3t=-1；

∴t2-2t+=-1+t+=-1+t+====2；

故答案为：2．8、略

【分析】

∵y=sin（ωx+1）的最小正周期是ω＞0；

∴=

∴ω=4．

故答案为：4．

【解析】【答案】由正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式T=即可求得答案．

9、略

【分析】

设所求直线方程为2x-y+b=0，平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切；

所以所以b=±5；所以所求直线方程为：2x-y+5=0或2x-y-5=0

故答案为：2x-y+5=0或2x-y-5=0

【解析】【答案】设出所求直线方程；利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，1求出直线方程．

10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】解：∵f（a+b）=f（a）•f（b）；

∴=f（a）；

又f（1）=2；f（1+1）=f（1）•f（1）；

∴=f（1）=2；

同理可得，=2，=2，，=2；

∴+++=2×（2012）=4024．

故答案为：4024．

f（a+b）=f（a）•f（b）⇒=f（a），又f（1）=2，于是可求得+++的值．

本题考查抽象函数及其应用，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．【解析】402412、略

【分析】解：根据正切函数的定义得：故①正确；

由且或故②不正确；

函数f（x）的图象关于直线对称故③正确；故④正确．

所以正确的序号有：①③④

故答案为①③④

①根据正切函数的定义可知定义域为x+≠kπ+解出x的范围即可判断；

②因为sinα=且α∈[0，2π]，根据特殊角的三角函数值可得α的值即可判断；

③由函数关于直线x=-对称得到f（0）=f（-）；代入求出a即可判断；

④利用同角三角函数间的基本关系化简y；并利用二次函数求最值的方法得到y的最小值即可判断．

本题考查学生知识比较多，考查了正切函数的定义域，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的对称性，利用同角三角函数间的基本关系化简求值，二次函数求最值的方法．【解析】①③④三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可16、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．17、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．18、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、综合题(共4题，共24分)21、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=122、略

【分析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标；可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；

（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=（m-3）2；由于m；n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；

（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长，进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．【解析】【解答】解：（1）设y=a（x-3）2；

把B（0；4）代入；

得a=；

∴y=（x-3）2；

（2）解法一：

∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数；其中有3；4；

∴可能的情况有三种：1；2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6；

∵M点位于对称轴右侧；且m，n为正整数；

∴m是大于或等于4的正整数；

∴MB≥4；

∵AO=3；OB=4；

∴MB只有两种可能；∴MB=5或MB=6；

当m=4时，n=（4-3）2=（不是整数；舍去）；

当m=5时，n=（不是整数；舍去）；

当m=6时；n=4，MB=6；

当m≥7时；MB＞6；

因此；只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5；

四边形OAMB的四条边长分别为3；4、5、6．

解法二：

∵m，n为正整数，n=（m-3）2；

∴（m-3）2应该是9的倍数；

∴m是3的倍数；

又∵m＞3；

∴m=6；9，12；

当m=6时；n=4；

此时；MA=5，MB=6；

∴当m≥9时；MB＞6；

∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数；

∴点M的坐标只有一种可能（6；4）．

（3）设P（3；t），MB与对称轴交点为D；

则PA=|t|，PD=|4-t|，PM2=PB2=（4-t）2+9；

∴PA2+PB2+PM2=t2+2[（4-t）2+9]

=3t2-16t+50

=3（t-）2+；

∴当t=时，PA2+PB2+PM2有最小值；

∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立．23、略

【分析】【分析】（1）把y=2代入反比例函数y=可得x=3；即可求得点A的坐标；

（2）把点A（3，2）、点B（2，0）代入一次函数y=kx+b；利用待定系数法即可求得函数解析式；

（3）根据与x轴平行的直线的特点线，可求得此直线为y=2，过点O作AB的平行线，则此直线为y=2x，从而可得点P的坐标为（1，2）．【解析】【解答】解：（1）把y=2代入反比例函数y=；得：x=3；

∴点A的坐标为（3；2）；

（2）∵点A（3，2），点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上；

∴；

解得；

∴一次函数y=kx+b的解析式为y=2x-4；

（3）过点A（3；2）作x轴的平行线，则此直线为y=2；

过点O作AB的平行线；则此直线为y=2x；

∵两线交于点P；

∴点P的坐标为（1，2）．24、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（x-1）2+c-1-a得抛物线的顶点为

A（1；c-1-a）．

∵点A在直线y=-x+8上；

∴c-1-a=-×1+