2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷179考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知公差为d（d≠0）的等差数列{an}满足：a2，a4，a7成等比数列，若Sn是{an}的前n项和，则的值为（）

A.

B.

C.3

D.2

2、已知直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（）A.B.C.D.3、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60°角4、设集合则满足的集合B的个数是（）A.1B.3C.4D.85、【题文】函数的单调递减区间是()A.B.C.D.6、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A.πB.2πC.3πD.4π7、数列{an}

中，对所有的正整数n

都有a1?a2?a3an=n2

则a3+a5=(

)

A.6116

B.259

C.2519

D.3115

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、根据表格中的数据，若函数f（x）=lnx-x+2在区间（k，k+1）（k∈N*）内有一个零点，则k的值为____．

。x12345lnx0.691.101.391.619、用绳子围成一块矩形场地，若绳长为40米，则围成矩形的最大面积是____平方米．10、已知＝2，则的值为的值为_____．11、函数的单调减区间为_______________.12、【题文】一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时元.当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元.若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.13、【题文】给出定义：若m－(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；②函数y＝f(x)在[－]上是增函数；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称．其中正确命题的序号是________．14、【题文】函数则等于：评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)15、10本不同的语文书；2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率有多大？

16、已知数列的前n项和（1）令求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和（3）试比较与的大小（不需证明）．17、【题文】如图,四棱柱的底面ABCD是正方形,O为底面中心,⊥平面ABCD,．

（1）证明://平面

（2）求三棱柱的体积．

18、已知集合P={x|-2≤x≤10}；Q={x|1-m≤x≤1+m}．

（1）求集合∁RP；

（2）若P⊆Q；求实数m的取值范围；

（3）若P∩Q=Q，求实数m的取值范围．19、已知且．

（1）求sinα+cosα的值；

（2）若且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．20、己知圆C：（x-x0）2+（y-y0）2=R2（R＞0）与y轴相切。

（1）求x0与R的关系式。

（2）圆心C在直线l：x-3y=0上，且圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2求圆C方程．21、已知圆x2+y2=r2，点P（x0，y0）是圆上一点，自点P向圆作切线，P是切点，求切线的方程．22、已知点M（1，m），圆C：x2+y2=4．

（1）若过点M的圆C的切线只有一条；求m的值及切线方程；

（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2求m的值．评卷人得分四、作图题(共4题，共40分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出函数y=的图象．25、画出计算1++++的程序框图．26、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、综合题(共1题，共9分)27、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵{an}是等差数列a2，a4，a7成等比数列；

∴a42=a2a7

即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+6d）

整理得：a1d-3d2=0

∵d≠0

∴a1=3d

∴====3

故选：C

【解析】【答案】首先根据等差数列的通项公式和等比数列的性质求得a1和d的关系，然后将所求的式子化简，并将a1和d的关系代入即可得出答案．

2、A【分析】由当时,所以应选A.【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】

原正方体如图所示：由于AB∥MC且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角．由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．故答案为：60°【解析】【答案】D4、C【分析】试题分析：因为共4个.考点：子集的概念.【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】

试题分析：函数的定义域为（0，+）。

由=0得，在区间<0；函数为减函数，故选C。

考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性。

点评：简单题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。【解析】【答案】C6、C【分析】【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2；

且两圆同圆心；即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形；

由题意⊙O1的半径为r=1；

∴△ABC的边长为2

∴圆锥的底面半径为高为3；

∴V=．

故选：C．

【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．7、A【分析】解：由条件可知a3=a1a2a3a1a2=3222=94a5=5242=2516

．

隆脿a3+a5=6116

．

故选：A

利用a1?a2?a3an=n2

求出a3a5

即可求出a3+a5

．

本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

由于函数f（x）=lnx-x+2在区间（k，k+1）（k∈N*）内有一个零点；

f（3）=ln3-1=1.1-1=0.1＞0；f（4）=ln4-2=1.39-2=-0.61＜0；

∴f（3）f（4）＜0；故函数在（3，4）上有一个零点，故k=3；

故答案为3．

【解析】【答案】由函数的解析式求得f（3）f（4）＜0；根据函数的零点的判定定理可得函数在（3，4）上有一个零点，由此可得k值。

9、略

【分析】

要使围成的矩形的面积最大；则绳子没有剩余．

设矩形的一个边长为x，则两外一个边长为由20-x＞0；

得0＜x＜20．

所以矩形的面积为S=x（20-x）=-x2+20x=-（x-10）2+100；

所以当x=10米时；矩形面积的最大值为100平方米．

故答案为：100．

【解析】【答案】设矩形的一个边长为x；建立函数关系，然后利用函数的性质求最大值．

10、略

【分析】试题分析：又考点：（1）二倍角正切公式的应用，（2）同角三角函数基本关系式的应用。【解析】【答案】11、略

【分析】由得所以其减区间为【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】设每小时的燃料费因为速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元，所以费用总和为当且仅当时取等号.

考点:基本不等式求最值【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】m＝1时，x∈(]，f(x)＝|x－1|＝f1(x)，m＝2时，x∈(]，f(x)＝|x－2|＝f2(x)，显然，f2(x)的图象是由f1(x)的图象右移1个单位而得，一般地，m＝k时，x∈(]，f(x)＝|x－k|＝fk(x)，m＝k＋1时，x∈(]，f(x)＝|x－k－1|＝fk＋1(x)，fk＋1(x)的图象是由fk(x)的图象右移1个单位而得；于是可画出f(x)的图象如下：

【解析】【答案】①③④14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】2三、解答题(共8题，共16分)15、略

【分析】

根据题意；记取出数学书为事件A，则其对立事件为取出的全部为语文书；

从10本不同的语文书，2本不同的数学书，共12本书中任意取出2本，有C122=66种情况；

若取出的全是语文书，则有C102=45种情况；

则P（）==

P（A）=1-=．

故能取出数学书的概率为．

【解析】【答案】根据题意，记取出数学书为事件A，则其对立事件为取出的全部为语文书，进而分别计算从12本书中任意取出2本与从10本不同的语文书中任取两本的情况数目，由等可能事件的概率公式，可得P（）；根据对立事件的概率性质，可得答案．

16、略

【分析】【解析】

（1）①令得当时，②①-②得∵即当时又∴数列是首项为1公差为1的等差数列。。。。。。。。。。。。。。。。。3分∴4分（2）由错位相减法可得9分（3）当时，当时，12分【解析】【答案】（1）（2）（3）当时，当时，17、略

【分析】【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，所以得到四边形为平行四边形，所以利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法得到三棱柱的体积.

试题解析：（1）设线段的中点为

∵BD和是的对应棱，∴

同理，∵AO和是棱柱的对应线段；

∴且且四边形为平行四边形。

且面面

（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高；

在正方形ABCD中，在中，

所以，

考点：线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.【解析】【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.18、略

【分析】

（1）由全集为R；以及P，求出P的补集即可；

（2）根据P为Q的子集；列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；

（3）根据P与Q的交集为Q；分Q为空集与Q不为空集时两种情况，求出m的范围即可．

此题考查了补集及其运算，交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【解析】解：（1）∵P={x|-2≤x≤10}；

∴∁RP={x|x＜-2或x＞10}；

（2）∵P⊆Q；P={x|-2≤x≤10}，Q={x|1-m≤x≤1+m}；

∴

解得：m≥9；

则实数m的取值范围是[9；+∞）；

（3）由P∩Q=Q；得到Q⊆P；

分两种情况考虑：

①当1-m＞1+m；即m＜0时，Q=∅，符合题意；

②当1-m≤1+m，即m≥0时，需

解得：0≤m≤3；

综上得：m≤3；

则实数m的取值范围为（-∞，3]．19、略

【分析】

（1）利用二倍角的余弦公式；直接求出sinα，cosα，即可求得sinα+cosα的值．

（2）根据求出sin2α，利用两角和的正弦函数展开5sin（2α+β）=sinβ，化简可得tanβ=-1，即可求出角β的大小．

本题是基础题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数，二倍角公式的应用，根据角的范围，确定三角函数的值，是本题的难点，需要仔细体会解题方法．【解析】解：（1）由得

所以又

所以．

因为cos2α=1-sin2α；

所以

又

所以

所以．

（2）因为

所以2α∈（0；π）；

由已知

所以

由5sin（2α+β）=sinβ；得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ；

所以即3cosβ=-3sinβ；

所以tanβ=-1；

因为

所以．20、略

【分析】

（1）由圆C方程找出圆心C坐标与半径R，根据圆C与y轴相切，得到圆心横坐标的绝对值等于R，即可列出x0与R的关系式；

（2）由圆心C在直线l上，设圆心C（3yo，yo），再由圆C与y轴相切，表示出R，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，由R与d，利用垂径定理及勾股定理列出关于y0的方程；进而确定出圆心C坐标与半径R，写出圆C方程即可．

此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．【解析】解：（1）根据题意得：|x0|=R；

（2）由圆心C在l：x-3y=0上，可设圆心C（3yo，yo）；

∵圆C与y轴相切，∴R=3|yo|；

∵圆心C到直线m的距离d==|yo|；

∴弦长=2=2

∴2=2

解得：y0=±1；

∴圆C（3；1）或（-3，-1），R=3；

则圆C方程为（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．21、略

【分析】

分两种情况考虑：当切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为x=x0；当切线方程的斜率存在时；要求过P的切线方程，就要求直线的斜率，先根据O和P的坐标求出直线OP的斜率，根据直线与圆相切时切线垂直与经过切点的半径得到直线OP与切线垂直，即可求出切线的斜率，得到切线方程．

考查学生灵活运用圆切线的性质定理，掌握两直线垂直时所满足的条件，会根据一点坐标与斜率写出直线的方程．【解析】解：当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=x0；

当切线方程的斜率存在时；

由x2+y2=r2，可知圆心为原点（0，0），所以直线OP的斜率k=

根据所求切线与直线OP垂直得到切线的斜率k′=-

则切线方程为y-y0=-（x-x0）；

即x0x+y0y-x02-y02=0；

综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2．22、略

【分析】

（1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x2+y2=4上；将点A坐标代入圆的方程，解出m．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；

（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y-a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出m的值．

本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．【解析】解：（1）圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r=2．

∵过点A的圆的切线只有一条；

∴点A（1，m）是圆x2+y2=4上的点，可得12+m2=4，解之得m=±．

当m=时，点A坐标为（1，），可得OA的斜率k=．

∴经过点A的切线斜率k'=-

因此可得经过点A的切线方程为y-=-（x-1），化简得x+y-4=0；

同理可得当m=-时，点A坐标为（1，-），经过点A的切线方程为x-y-4=0．

∴若过点A的圆的切线只有一条，则m的值为±相应的切线方程方程为x±y-4=0．

（2）由题意；直线不过原点，设方程为x+y-a=0；

∵直线被圆C截得的弦长为2

∴圆心到直线的距离为1；

∴=1；

∴a=±

∴所求直线方程为x+y±=0；

∴m=-1±．四、作图题(共4题，共40分)23、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．24、【解答】图象如图所示。

【分析】