2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）（A）（B）（C）（D）2、已知则角所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是()A.B.C.D.4、【题文】已知集合A＝{x∈R|2x＋1<0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－2)<0}，则A∩B＝()A.(－∞，－1)B.C.D.(2，＋∞)5、【题文】设圆心为C1的方程为(x-5)2+(y-3)2=9,圆心为C2的方程为x2+y2-4x+2y-9=0,则圆心距等于。

()A.5B.25C.10D.6、【题文】三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1,则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是()A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶87、“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）A.5，15，10B.5，10，15C.10，10，10D.5，5，208、在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=则实数λ等于（）A.4B.3C.2D.1评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、【题文】若多面体的三视图如图所示，此多面体的体积是____10、【题文】已知猜想的表达式为____11、若2cos（θ﹣）=3cosθ，则tan2θ=____．12、若α=3，则α的终边落在第______象限．13、△ABC中，若=1，则B=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共3题，共12分)21、已知函数(1)求函数的定义域；(2)求的值；22、把长为10cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。23、【题文】（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的定义域；（2）证明：是偶函数；

（3）若求的取值范围。评卷人得分五、计算题(共2题，共12分)24、已知：x=，y=，则+=____．25、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】由图可知所以由图象经过验证即可。【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】【答案】A3、B【分析】试题分析：因为函数的图像与轴有公共点，即等价于方程及等价于函数与函数由公共点.因为通过作出函数然后通过向右平移一个单位即可得所以故选B.考点：1.函数与方程的相互转化关系.2.含绝对值的指数函数图像的画法.3.数形结合的数学系想.【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】A＝B＝所以A∩B＝【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】由已知,圆C1、C2的圆心坐标分别是(5,3)；(2,-1).

.【解析】【答案】A6、B【分析】【解析】中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为1∶4,将三棱锥A—A1BC更换为三棱锥A1—ABC,这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等,底面积之比为1∶4,于是其体积之比为1∶4.【解析】【答案】B7、A【分析】【解答】解：抽取人数与女职工总数的比是30：300=1：10

∵年龄在40岁以上的有50人；年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人；

∴在分层抽样时；各年龄段抽取的人数分别为5人；15人和10人．

故选：A．

【分析】本题是一个分层抽样，根据该单位有女职工300人，要取一个容量为30的样本，得到本单位每个女职工被抽到的概率，即可得到答案．8、C【分析】解：∵在平行四边形ABCD中；对角线AC与BD交于点O；

∴

∵+=

∴λ=2．

故选：C．

利用向量的平行四边形法则；向量共线定理即可得出．

本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】【解析】

试题分析：该几何体是如图所示的拟柱体；经割补后可得到一长方体，底面正方形边长为2，高为1，所以几何体体积为4.

考点：本题主要考查三视图；几何体特征，几何体体积计算。

点评：基础题，认识几何体的特征是解答此类题的关键。“割补法”是计算体积的常用方法，往往会化难为易。【解析】【答案】４.10、略

【分析】【解析】解：根据题意，f（1）=1，依次求出f（2）=f（3）=f（4）=进而可以发现规律，分子都是2，分母和变量之间相差1，这样就可以设出函数解析式【解析】【答案】11、﹣4【分析】【解答】解：∵2cos（θ﹣）=3cosθ；

∴2（cosθ+sinθ）=3cosθ，求得tanθ=

则tan2θ==﹣4

故答案为：﹣4．

【分析】利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值、再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．12、略

【分析】解：＜3＜π；

∴α的终边落在第二象限．

故答案为：二。

直接根据＜3＜π；即可得到答案．

本题考查象限角和轴线角，是基础的会考题型．【解析】二13、略

【分析】解：∵△ABC中=1；

∴sin2A=sin2B+sin2C；

∴2sinAcosA=sin[（B+C）+（B-C）]+sin[（B+C）-（B-C）]

=sin（B+C）cos（B-C）+cos（B+C）sin（B-C）+sin（B+C）cos（B-C）-cos（B+C）sin（B-C）

=2sin（B+C）cos（B-C）；

∴sinAcosA=sin（B+C）cos（B-C）=sinAcos（B-C）；

∴cosA=cos（B-C）；∴A=B-C；

∴A+C=B；又A+B+C=π；

∴2B=π，∴B=

故答案为：

由正弦定理和和差角的三角函数可得cosA=cos（B-C）；可得A=B-C，结合三角形的内角和可得．

本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和与差的三角函数公式，属基础题．【解析】三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共3题，共12分)21、略

【分析】试题分析：（1）函数要想有意思对数的真数应大于0.（2）由奇函数的定义可判断此函数是奇函数，即所以所求值为0.试题解析：（1）由题意得解得所以函数的定义域为（2）在的定义域为内恒有即所以时奇函数，且所以考点：函数的定义域，奇偶性【解析】【答案】（1）（2）022、略

【分析】试题分析：设出其中一段的长为表示出另一段的长，从而得正方形面积表示式为二次函数即可求解，但要注意自变量得取值范围，即函数定义域。试题解析：设铁丝一段长两正方形面积之和为3分则另一段铁丝长5分依题意，10分当时，取最大值13分答：（略）14分考点：二次函数最值.【解析】【答案】23、略

【分析】