【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第9章-第6节-抛物线

第九章第六节一、选择题1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[答案]D[解析]把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义．2．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的焦点，则a＝()A．1 B．4C．8 D．16[答案]C[解析]依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，eq\f(a,4))，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有eq\f(a,4)＝2，解得a＝8.3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝±12y[答案]D[解析]由题意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.4．(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18 B．24C．36 D．48[答案]C[解析]本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．设抛物线为y2＝2px，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线x＝－eq\f(p,2)，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝eq\f(1,2)×12×6＝36.(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x[答案]B[解析]本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．由已知得抛物线焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴AF所在直线方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4))).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，∴S△OAF＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))·eq\f(|a|,4)＝eq\f(a2,16)＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.5．(2022·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)[答案]C[解析]考查了直线与抛物线的有关学问．把A(－2,3)代入y2＝2px的准线方程，得p＝4.∴F为(2,0)∴kAF＝eq\f(0－3,2＋2)＝－eq\f(3,4).正确求出焦点F是关键．6．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于()A．－4p2 B．－3p2C．－2p2 D．－p2[答案]A[解析]∵OA⊥OB，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.①∴x1x2＋y1y2＝0.∵A、B都在抛物线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(y\o\al(2,1),2p)，,x2＝\f(y\o\al(2,2),2p).))代入①得eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.二、填空题7．(文)(2021·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．[答案]2x＝－1[解析]本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由eq\f(p,2)＝1知p＝2，则准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，－2)到点F的距离为4，则k的值为________．[答案]4或－4[解析]由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则eq\f(p,2)＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.[答案]2eq\r(6)[解析]本题考查了抛物线的标准方程与数学建模力气．如图建立直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±eq\r(6)，则此时水面宽为2eq\r(6)9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________[答案]y2＝4x[解析]设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝ax,y＝x))得交点A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.三、解答题10．(2022·江西高考)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作始终线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．[解析](1)∵直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率确定存在．∴可设直线AB的方程为y＝kx＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,x2＝4y))，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－8.又直线AO的方程为y＝eq\f(y1,x1)x，BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2,y＝\f(y1,x1)x))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2,y＝\f(y1x2,x1)))又∵x1x2＝－8，xeq\o\al(2,1)＝4y1.∴y＝eq\f(y1·－8,x1x1)＝eq\f(－8y1,x\o\al(2,1))＝eq\f(－8y1,4y1)＝－2.∴点D在定直线y＝－2(x≠0)上(2)由题意分析可知，切线l的斜率存在且不为0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4y并化简得x2－4ax－4b＝0.∵l为切线，∴△＝(4a)2＋16b＝0，化简得b＝－a2∴切线方程为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1、N2点的坐标为N1(eq\f(2,a)＋a,2)，N2(－eq\f(2,a)＋a，－2)，则|MN2|2－|MN1|2＝(eq\f(2,a)－a)2＋42－(eq\f(2,a)＋a)2＝8∴|MN2|2－|MN1|2为定值8.一、选择题1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．16[答案]B[解析]如图，kAF＝－eq\r(3)，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4eq\r(3)，即P点的纵坐标为4eq\r(3)，∴(4eq\r(3))2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B．2．(文)已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝eq\f(OF＋CM,2)＝eq\f(ON＋CM,2)＝eq\f(DM,2)＝eq\f(MF,2)，∴这个圆与y轴相切．(理)(2022·台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不愿定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不愿定与抛物线相切．其中正确的命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④[答案]A[解析]由于|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋eq\f(p,2)，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．二、填空题3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF＝eq\f(\r(3),2)MN，则∠NMF＝________.[答案]eq\f(π,6)[解析]过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝eq\f(\r(3),2)MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝eq\f(\r(3),2)，∴∠MNP＝eq\f(π,6)，即∠NMF＝eq\f(π,6).4．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．[答案](1,1)[解析]解法1：设P点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|2x0－x\o\al(2,0)－4|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)|xeq\o\al(2,0)－2x0＋4|＝eq\f(\r(5),5)|(x0－1)2＋3|≥eq\f(3\r(5),5).由上式可知当x0＝1时，dmin＝eq\f(3\r(5),5).∴点P的坐标为(1,1)．解法2：如图，平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．设P(x0，y0)，∵y′＝2x.∴过P点的切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.∴x0＝1，y0＝xeq\o\al(2,0)＝1，故P点坐标为(1,1)．三、解答题5．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．[解析]由题意得kOD＝eq\f(1,2)，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB为直径的圆过点O，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋5,y2＝2px))得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝eq\f(p＋10,2)，x1x2＝eq\f(25,4)，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴eq\f(25,4)＋(－5p)＝0，∴p＝eq\f(5,4)，∴抛物线方程为y2＝eq\f(5,2)x.6．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．[分析](1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率．[解析](1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－1,x2－1)(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB．由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1 ①yeq\o\al(2,2)＝4x2 ②∴eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得直线AB的斜率kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠