【名师一号】2020-2021学年高中数学人教B版必修2模块检测试题二

模块检测试题二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间直角坐标系中，点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点的坐标是()A．(－10,2,8) B．(－10,3，－8)C．(5,2，－8) D．(－10,2，－8)答案D2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析与同始终线垂直的两个平面平行，故D正确．答案D3．四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，PN＝eq\f(1,3)PB，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为()A．1:2 B．1:3C．1:6 D．1:8解析PN＝eq\f(1,3)PB，∴VP－ANC＝eq\f(1,2)VB－ANC＝eq\f(1,2)VN－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)VP－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)VP－ABCD.∴VP－ANC:VP－ABCD＝1:6.答案C4．下图是一个几何体的三视图，依据图中的数据，计算该几何体的表面积为()A．15πB．18πC．22πD．33π解析该几何体上面是一个半球，下面是一个圆锥．S＝eq\f(1,2)×4π×32＋π×3×5＝33π.答案D5．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆半径为1，则该几何体体积为()A．24－eq\f(3,2)π B．24－eq\f(π,3)C．24－π D．24－eq\f(π,2)解析V＝3×(1＋2＋1)×2－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).答案A6．在x轴和y轴上截距分别为－2,3的直线方程为()A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0解析eq\f(x,－2)＋eq\f(y,3)＝1，即3x－2y＋6＝0.答案C7．一个圆锥的母线长20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为()A．10eq\r(3)cm B．20eq\r(3)cmC．20cm D．10cm解析h＝20·cos30°＝10eq\答案A8．假如直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0垂直，那么a的值为()A．－eq\f(3,2)B．－6C．－3D.eq\f(2,3)解析3a＋2×(－1)＝0，∴a＝eq\f(2,3).答案D9．点M在(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离()A．9B．8解析圆心为(5,3)，M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为圆心到该直线的距离减去圆的半径．∴dmin＝eq\f(|3×5＋4×3－2|,5)－3＝2.答案D10．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3)D.eq\f(5\r(3),3)解析如图，设球心为O，由OS＝OA＝OC得∠SAC＝90°，又∠ASC＝45°，所以AS＝AC＝eq\f(\r(2),2)SC，同理BS＝BC＝eq\f(\r(2),2)SC，可得SC⊥面AOB，则VS－ABC＝eq\f(1,3)S△AOB·SC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×4＝eq\f(4\r(3),3)，故选C.答案C11．过A(－1,1)，B(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10解析∵圆过A、B两点，∴圆心在AB的中垂线上，AB的中垂线为x＋y－2＝0.∵圆心在x轴上，∴圆心为(2,0)，半径＝eq\r(2＋12＋0－12)＝eq\r(10).∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案D12．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r2，则()A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离解析kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f(a,b)，∴直线m：y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by＝a2＋b2.∵P点在圆O内，∴a2＋b2<r2，∴O到直线n的距离eq\f(|－r2|,\r(a2＋b2))>r，∴m∥n，且n与圆O相离．答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线为________________________________．解析AB中点M(2，eq\f(3,2))，kAB＝－eq\f(1,2)，∴直线AB的垂直平分线方程为y－eq\f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.答案4x－2y－5＝014．已知直线l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1平行，则m的值为________．解析eq\f(2,3)＝eq\f(m,－1)≠eq\f(1,－1)⇒m＝－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)15．已知三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P－ABC的体积为________．解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)S△PBC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×2＝4.答案416．已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．解析圆O：圆心O(0,0)，半径r＝eq\r(2)；圆O′：圆心O′(4,0)，半径r′＝eq\r(6).设P(x，y)，由切线长相等得x2＋y2－2＝x2＋y2－8x＋10，即x＝eq\f(3,2).答案x＝eq\f(3,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，直线l平行于BC，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ的面积是△ABC面积的eq\f(1,9)，求直线l的方程．解过A点作BC边的高AE，交PQ于点F，∵l∥BC，∴kl＝kBC＝eq\f(2,3).∵eq\f(S△APQ,S△ABC)＝eq\f(1,9)，∴eq\f(AF,AE)＝eq\f(1,3).直线BC的方程为2x－3y－1＝0，∴|AE|＝eq\f(|2×1－3×3－1|,\r(4＋9))＝eq\f(8\r(13),13).∴|AF|＝eq\f(8\r(13),39)，∴|EF|＝|AE|－|AF|＝eq\f(16\r(13),39).设直线l的方程为2x－3y＋b＝0，∵两条平行线间的距离为eq\f(16\r(13),39)，∴eq\f(|b－－1|,\r(4＋9))＝eq\f(16\r(13),39)，解得b＝eq\f(13,3)，或b＝－eq\f(19,3)(舍去)，∴直线l的方程是6x－9y＋13＝0.18．(12分)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)求实数m的取值范围；(2)若直线l：x＋2y－4＝0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．解(1)配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以5－m>0，即m<5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))得5y2－16y＋m＋8＝0.由于直线与圆相交于M、N两点，所以Δ＝162－20(m＋8)>0，即m<eq\f(24,5)，所以y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(m＋8,5)，x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝eq\f(4m－16,5).所以eq\f(4m－16,5)＋eq\f(m＋8,5)＝0，所以m＝eq\f(8,5).满足m<5且m<eq\f(24,5).综上所述，m＝eq\f(8,5).19．(12分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点．(1)求圆A的方程；(2)当MN＝2eq\r(19)时，求直线l的方程．解(1)设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5).∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，取MN中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝2eq\r(19)，∴|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，则由|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4).∴直线l：3x－4y＋6＝0，故直线l的方程为x＝－2，或3x－4y＋6＝0.20.(12分)一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个高为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如下图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).21．(12分)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥面ABC，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且CM⊥AC1(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)求证：CM⊥C1D.解(1)连接A1C交AC1于点O，连接OD∵O，D分别是A1C、BC∴OD为△A1CB的中位线，OD∥A1B.又∵OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.(2)∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C∴平面BB1C1C⊥∵平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，AD∴AD⊥平面BB1C1C，CM⊂平面∴AD⊥CM.又∵CM⊥AC1，AC1∩AD＝A，∴CM⊥平面AC1D，∴CM⊥C1D.22.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.证明(1)取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，∴MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD.由已知AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，∴MN∥AB，且MN