《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分62-排列与组合

开卷速查(六十二)排列与组合A级基础巩固练1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484解析：由题意可知，抽取的三张卡片可以分为两类，一类为不含红色的卡片，一类是含一张红色的卡片，第一类抽取法的种数为Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝208，其次类抽取法的种数为Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,12)＝264，故而总的种数为208＋264＝472.答案：C2．将2名老师，4名同学分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名同学组成，不同的支配方案共有()A．12种 B．10种C．9种 D．8种解析：由于2名老师和4名同学按要求分成两组共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)种分法，再分到甲、乙两地有eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12种，所以选A.答案：A3．两人进行乒乓球竞赛，先赢3局者获胜，决出胜败为止，则全部可能毁灭的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有()A．10种 B．15种C．20种 D．30种解析：分三种状况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6(种)情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12(种)情形．全部可能毁灭的情形共有2＋6＋12＝20(种)．答案：C4．新学期开头，某校接受6名师大毕业生到校学习，学校要把他们支配到三个班级，每个班级2人，其中甲必需在高一班级，乙和丙均不能在高三班级，则不同的支配种数为()A．18 B．15C．12 D．9解析：先支配高三班级，从除甲、乙、丙的3人中选2人，有Ceq\o\al(2,3)种选法；再支配高一班级，有Ceq\o\al(1,3)种方法，最终支配高二班级，有Ceq\o\al(2,2)种方法，由分步乘法计数原理，得共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝9(种)支配方法．答案：D5．三位数中，假如十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有()A．72个 B．120个C．240个 D．360个解析：从0～9这10个数字中任选3个，有Ceq\o\al(3,10)种，这三个数字组成的凹数有Aeq\o\al(2,2)个，故共有Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(2,2)＝240(个)．答案：C6．用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字毁灭两次的四位数的个数为()A．144 B．120C．108 D．72解析：若四位数中不含0，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝36(种)；若四位数中含有一个0，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＝54(种)；若四位数中含有两个0，则有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,3)＝18(种)，∴共有36＋54＋18＝108(种)，选C.答案：C7．某工厂将甲、乙等五名新聘请员工支配到三个不同的车间，每个车间至少支配一名员工，且甲、乙两名员工必需分到同一个车间，则不同分法的种数为__________．解析：若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,3)＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×Aeq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,3)＝18(种)．所以满足题意的分法共有18＋18＝36(种)．答案：368．从5名外语系高校生中选派4名同学参与广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有两人参与，交通和礼仪各有1人参与，则不同的选派方法共有__________种．解析：本题可分三步完成．第一步：先从5人中选出2名翻译，共Ceq\o\al(2,5)种选法，其次步：从剩余3人中选1名交通义工，共Ceq\o\al(1,3)种选法，第三步：从剩余两人中选1名礼仪义工，共Ceq\o\al(1,2)种选法，所以不同的选派方法共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60(种)．答案：609．有一个不规章的六面体盒子(六个面大小不同)，现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有__________种．解析：可先分组后支配，即将6个面分成3,2,1三组共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)种分组方法，然后每一组用三种颜色去刷，各有Aeq\o\al(3,3)种，由分步计数原理可知共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(3,3)＝360(种)刷法．答案：36010．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个五位数？(2)能组成多少个正整数？(3)能组成多少个六位奇数？(4)能组成多少个能被25整除的四位数？解析：(1)由于万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有Aeq\o\al(1,5)种，其余四位上的排法有Aeq\o\al(4,5)种，所以共可组成Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(4,5)＝600(个)五位数．(2)组成的正整数，可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为Aeq\o\al(1,5)，Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)，Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)，Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)，Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)，所以可组成Aeq\o\al(1,5)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝1630(个)正整数．(3)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有Aeq\o\al(1,3)种不同的选法；再考虑首位，有Aeq\o\al(1,4)种不同的选法，其余四个位置的排法有Aeq\o\al(4,4)种．所以能组成Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(个)六位奇数．(4)能被25整除的四位数的特征是最终两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,3)和Aeq\o\al(2,4)个，所以，能组成Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,4)＝21(个)能被25整除的四位数．B级力气提升练11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．9个 B．10个C．18个 D．20个解析：记基本大事为(a，b)，则基本大事空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本大事，而lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，其中基本大事(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lgeq\f(a,b)的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C项．答案：C12．[2021·江西景德镇质检]工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先任凭拧一个螺丝，接着拧它对角线上(距离它最远的，下同)螺丝，再任凭拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死；其次阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝，则不同的固定方式有__________种．解析：第一阶段，先任凭拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有Ceq\o\al(1,6)种方法，再任凭拧第三个螺丝，和其对角线上的，有Ceq\o\al(1,4)种方法，然后任凭拧第五个螺丝，和其对角线上的，有Ceq\o\al(1,2)种方法；其次阶段：先任凭拧一个螺丝，有Ceq\o\al(1,6)种方法，再任凭拧不相邻的，若拧的是对角线上的，则还有4种拧法，若拧的是不相邻斜对角上的，则还有6种拧法．完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,6)×(4＋6)＝2880种．答案：288013．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：如图六个位置eq\x(1)eq\x(2)eq\x(3)eq\x(4)eq\x(5)eq\x(6).若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有Aeq\o\al(5,5)种状况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法或在4,5,6，共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种排法；若C放在第4个位置，则有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种排法；若C放在第5个位置，则有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种排法；若C放在第6个位置，则有Aeq\o\al(5,5)种排法．综上，共有2(Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝480(种)排法．答案：48014．有6本不同的书按下列支配方式支配，问共有多少种不同的支配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解析：(1)分三步：先选一本有Ceq\o\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本有Ceq\o\al(2,5)种选法；对于余下的三本全选有Ceq\o\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)选法．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再支配的问题，因此共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(种)选法．(3)先分三步，则应是Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种选法，但是这里面毁灭了重复，不妨记6本书分别为A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、A