【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-向量的有关概念及运算

1．(2022·山东高考)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3)B.eq\r(3)C．0D．－eq\r(3)【解析】∵cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，|a|＝2，|b|＝eq\r(m2＋9)∴eq\f(3＋\r(3)m,2·\r(m2＋9))＝eq\f(\r(3),2).解得m＝eq\r(3)，故选B.【答案】B2．(2022·全国新课标Ⅰ高考)eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i【解析】eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i21＋i,1－i2)＝－1－i，故选D.【答案】D3．(2022·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．34B．55C．78D．89【解析】由题中程序框图知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，y＝55，跳出循环．故输出结果是55.【答案】B4．(2022·陕西高考)观看分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．【解析】∵5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2，归纳：F＋V－E＝2.【答案】F＋V－E＝25．(2022·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】“至少一个实根”的对立大事为“一个实根也没有”，故选A.【答案】A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．向量的有关概念及运算①该考向在近几年的高考中年年都会消灭．该类问题多数是单独命题，考查向量的有关概念及基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他学问交汇在一起考查．②多以选择、填空题的形式消灭，有时会渗透在解答题中，一般难度不大，消灭的频率较高．2．复数的概念及运算①复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，每套高考试卷都有一个小题，并且一般在前两题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算．②猜测2021年高考以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，重点考查运算力量及转化与化归思想、方程思想．3．程序框图①循环结构与条件结构是高考考查的热点，题型以选择题、填空题为主，属简洁题．高考试题分两种形式考查：一种是给出框图与初始数据，求输出结果，本类题目相对简洁；一种是给出框图与输出结果，推理输入的数据，本类题目难度相对较高．②猜测2021年高考对本章内容的考查形式和难度都不会发生大的变化．4．合情推理①近几年高考题主要以考查归纳推理为主，考查同学的观看、归纳和类比力量．②题型主要以选择题或填空题的形式呈现，属中档题．

eq\a\vs4\al(向量的有关概念及运算)【例1】(1)(2022·全国新课标Ⅰ高考)已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．(2)(2022·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)(3)(2022·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC，若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)【解析】(1)由已知条件，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))得O为线段BC的中点，故BC是⊙O的直径．∴∠BAC＝90°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90°.(2)由于2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.(3)如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，同理：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→)))(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→)))＝1，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos120°＝－2，整理得4(λ＋μ)－2λμ＝3①，又eq\o(CE,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(DC,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(λ－1)eq\o(AD,\s\up6(→))·(μ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，整理得(λ＋μ)－λμ＝eq\f(2,3)②解①②得λ＋μ＝eq\f(5,6)，故选C.【答案】(1)90°(2)C(3)C【规律方法】1.平面对量的线性运算应留意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.2．求平面对量的数量积的方法(1)定义法：a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；(2)坐标法：当a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.[创新猜测]1．(1)(2022·全国大纲高考)已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|cos60°－|b|2＝2×1×1×eq\f(1,2)－12＝0.【答案】B(2)(2022·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))C.eq\o(EO,\s\up6(→))D.eq\o(FO,\s\up6(→))【解析】以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x轴，y轴建系，假设一个方格长为单位长度，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(3,2)，而eq\o(FO,\s\up6(→))＝(3,2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→)).【答案】Deq\a\vs4\al(复数的概念及运算)【例2】(1)(2021·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2022·重庆高考)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限(3)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i【解析】(1)先利用复数的运算法则将复数化为x＋yi(x，y∈R)的形式，再由纯虚数的定义求a.由于a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，对应点(2,1)．(3)∵a－i与2＋bi互为共轭复数，∴a＝2，b＝1.∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，故选D.【答案】(1)D(2)A(3)D【规律方法】复数的概念与运算问题的解题思路：(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再依据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数eq\x\to(z)有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．(3)在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解，也可把z看成自变量直接求解．[创新猜测]2．(1)(2022·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i【解析】z＝eq\f(25,3－4i)＝eq\f(25×3＋4i,25)＝3＋4