2022届《创新设计》数学一轮(文科)浙江专用配套练习-3-1-任意角、弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案C2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝α·r，∴α＝eq\r(3).答案C3．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)解析由sineq\f(3π,4)＞0，coseq\f(3π,4)＜0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).答案D4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则可排解A，C，D，故选B.答案B5．给出下列命题：①其次象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或其次象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是其次或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②错；③正确；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)与eq\f(5π,6)的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案A二、填空题6．已知α是其次象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析由α是其次象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝______.解析由于sinθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－88．函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域为________．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)三、解答题9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a,4a)，其中a≠0，求sinα，costanα.解r＝eq\r(3a2＋4a2)＝5|a|.当a＞0时，r＝5a∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3)；当a＜0时，r＝－5a，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).10．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圆心角α＝eq\f(l,r)＝2弧度．如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．力气提升题组(建议用时：35分钟)11．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在其次象限或y轴的正半轴上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.答案A12．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动eq\f(π,2)弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝()A．－1B．1C．－2D．2解析圆的半径为2，eq\f(π,2)的弧长对应的圆心角为eq\f(π,4)，故以ON为终边的角为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))，故tanα＝1.答案B13．(2021·金华联考)函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定义域为________．解析要使原函数有意义，必需有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1＞0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2).))如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)14．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)终边所在的象限；(3)试推断taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符号．解(1)由sinα＜0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＋1π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z)).(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)终边在其次、四象限．(3)当eq\f(α,2)在其次象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号；当eq\f(α,2)在第四象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正号．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号．15．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)e