【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：D5单元综合

D5单元综合【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】21.（本题满分12分）如图，、、…、是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.【学问点】单元综合D5【答案解析】（1）（2）（1）（2）依题意，得，由此及得，即．由（Ⅰ）可猜想：．下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题明显成立；（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及得，即，解之得（不合题意，舍去），即当时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立．【思路点拨】构造新数列求出表达式，利用数学归纳法证明结论。【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】15.若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则=时，数列也是等比数列.【学问点】单元综合D5【答案解析】在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn=（a1+a2+..+an），时，数列{dn}也是等差数列．类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{dn}也是等比数列．故答案为【思路点拨】本题考查的学问点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn=（a1+a2+..+an），时，数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{bn}也是等比数列．【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】20.（本小题满分13分）若数列的前项和为，对任意正整数都有.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【学问点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合．B7D4D5【答案】【解析】（1）；（2）解析：(1)由，得，解得．…………2分由……=1\*GB3①，当时，有……=2\*GB3②，…………3分=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，…………4分数列是首项，公比的等比数列…………5分，…………6分（2）由（1）知．…………7分所以…………9分当为偶数时，…………11分当为奇数时，所以…………13分【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）依据条件得到的通项，然后对n分类争辩即可得到.【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】19、（本小题满分12分）设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。（1）式，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有成立。【学问点】数列的应用.D5【答案】【解析】(1)25(2)10n+5(3)略解析：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an==10n+5．（6分）（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】20.（本小题满分13分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；（1）求数列的通项公式；（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。【学问点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3D4D5【答案】【解析】(1)；(2)解析：（1）…………4分（2），………10分若对于恒成立，则，，，令，所以为减函数，…………13分【思路点拨】(1)设出等比数列的公比，利用对于任意的有，，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求；(2)把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入后分别变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；(2)若函数求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值；数列综合.D1D5【答案】【解析】(1)(2)(3)略解析：（1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.∴，=1也满足，∴（2）由（1）知，则，∴∴是的增函数，∴函数的最小值是；（3）∵，∴即，∴，∴∴，∴.故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立.法二：先由n=2,n=3的状况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；（2）推断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式，然后用累加法求得结论.【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；(2)若函数,求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和.试求出关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立.(不用证明)【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值；数列综合.D1D5【答案】【解析】解析：（1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.∴，=1也满足，∴（2）由（1）知，则，∴∴是的增函数，∴函数的最小值是；（3）∵