【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-拓展资料：导数在证明恒等式中的应用

拓展资料：导数在证明恒等式中的应用一、预备学问定理1若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．证明在区间I上取定一点x0及x∈I．明显，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．已知f′(ξ)＝0，从f(x)－f(x0)＝0或f(x)＝f(x0)设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．定理2若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．二、应用例题证法f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．证明设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′由定理1知，f(x)＝c，即arcsinx＋arccosx＝c其中c是常数．证明设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．例3证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．证明设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，于是f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，于是arccos(－x)＋arccosx＝π．x∈(1，＋∞)有例5证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]证明设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．令x＝－1，则c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0于是，x∈[－1，1]，有sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．于是，x∈[0，1]，有证明x∈R，有即x∈R，有与g′(x)＝0．从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c与g′(x)＝－1．从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．从而，c＝0．于是，解设F(x)＝f1(x)－f2(x)由定理1知，x∈R(x≠±1)，有(2)x∈(－1，1)，令x＝0，则于是，例11求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．证明将a，y看作固定常数，x看作变量，设f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．则x∈(0，＋∞)，有由定理1知，(x)＝c或logaxy－logax－logay＝c．令x＝1，则c＝logay－logay＝0，从而logaxy－logax－logay＝0，即logaxy＝logax＋logay．例12求x∈R，满足等式acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2的全部实数对(a，b)全体，解设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则依据定理1，x∈R，应有f′(x)＝0，即f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)(1)a＝0，由题设等式知，－cosb2＝－1－b2或cosb2＝1＋b2．解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．(a－1)x＋b2＝2kπ或(a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，即2＋b2＝0，明显，这样的b不存在．综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．例14证明：x，y∈Rsin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny证明设f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．用反证法．假设f(x，y)≠0，由于f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，则df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)，(3)同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)．(4)由(3)与(4)，得或－g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，从而f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0冲突．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．例15已知x≠2kπ，k∈Z．求证：证明已知对上式两端同时求导，有类似可证：已知x≠2kπ，k∈Z，求证：例16证明：2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝证明已知对上式两端求导，得2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx注欲证等式的左端2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx恰为sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开头应用了公式例17已知证明对已知等式取自然对数，有对上式两端求导，有对上式两端求导，得令x＝1，则