【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学必修4双基限时练22

双基限时练(二十二)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CE,\s\up16(→)) B.eq\o(BD,\s\up16(→))与eq\o(CE,\s\up16(→))共线C.eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) D.eq\o(DE,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))共线解析由题意知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴eq\o(DE,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))共线．答案D2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))－2eq\o(DA,\s\up16(→)))·(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝0，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))－2eq\o(DA,\s\up16(→))＝(eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋(eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))，∴(eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))－2eq\o(DA,\s\up16(→)))·(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))·(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))2－eq\o(AC,\s\up16(→))2＝0.即eq\o(AB,\s\up16(→))2＝eq\o(AC,\s\up16(→))2，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|.故选B.答案B3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值肯定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积解析如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c||cosθ|＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值肯定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案A4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，则与直线AB平行的向量的坐标可以是()①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3))；④(－7,9)．A．① B．①②C．①②③ D．①②③④解析∵A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(9,2)))，易知①、②、③与eq\o(AB,\s\up16(→))平行，故选C.答案C5．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，若eq\o(OP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))≥eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))，则实数λ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1＋\f(\r(2),2)))解析设P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up16(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq\o(PA,\s\up16(→))＝(1－x，－y)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－x,1－y)，∵eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，∴(x－1，y)＝(－λ，λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－λ，,y＝λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－λ，,y＝λ，))①又∵eq\o(OP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(x，y)·(－1,1)＝－x＋y，eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))＝(1－x，－y)·(－x,1－y)＝－x(1－x)－y(1－y)，∴－x＋y≥－x(1－x)－y(1－y)，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)，又P是线段AB上的动点，∴λ≤1，∴1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1，故选B.答案B6．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2 B．4C．5 D．10解析∵eq\o(PA,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))－eq\o(CP,\s\up16(→))，∴|eq\o(PA,\s\up16(→))|2＝eq\o(CA,\s\up16(→))2－2eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CP,\s\up16(→))2.∵eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CP,\s\up16(→))，∴|eq\o(PB,\s\up16(→))|2＝eq\o(CB,\s\up16(→))2－2eq\o(CP,\s\up16(→))·eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(CP,\s\up16(→))2.∴|eq\o(PA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up16(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up16(→))2＋eq\o(CB,\s\up16(→))2)－2eq\o(CP,\s\up16(→))·(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＋2eq\o(CP,\s\up16(→))2＝eq\o(AB,\s\up16(→))2－2eq\o(CP,\s\up16(→))·2eq\o(CD,\s\up16(→))＋2eq\o(CP,\s\up16(→))2.又eq\o(AB,\s\up16(→))2＝16eq\o(CP,\s\up16(→))2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2eq\o(CP,\s\up16(→))，代入上式整理得|eq\o(PA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up16(→))|2＝10eq\o(CP,\s\up16(→))2，故所求值为10.答案D7．在△ABC所在平面上有一点P，满足eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，则△PAB与△ABC的面积之比为________．解析∵eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→))－eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))＝2eq\o(AP,\s\up16(→))，∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，故eq\f(S△PAB,S△ABC)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)8．质量m＝2.0kg的物体，在4N的水平力作用下，由静止开头在光滑水平面上运动了3s，则水平力在3s内对物体所做的功为__________．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，则eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝________.解析如图，∵AB＝eq\r(3)，取D为AB的中点，又OA＝1，∴∠AOD＝eq\f(π,3).∴∠AOB＝eq\f(2π,3).∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)9.如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))的值是________．解析以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B(eq\r(2)，0)，点E(eq\r(2)，1)，设点F(a,2)，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AF,\s\up16(→))＝(a,2)．由条件解得点F(1,2)，所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up16(→))＝(1－eq\r(2)，2)．所以eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\r(2).答案eq\r(2)10．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，则m＋n的值为________．解析如下图，过B作BD∥MN，易知m＝eq\f(AB,AM)＝eq\f(AD,AN)，n＝eq\f(AC,AN)，∴m＋n＝eq\f(AD＋AC,AN).∵eq\f(BO,OC)＝eq\f(DN,NC)＝1，∴AD＋AC＝2AN.∴m＋n＝2.答案211.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC.分析解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝e，eq\o(DB,\s\up16(→))＝c，eq\o(DC,\s\up16(→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝d－c，∴eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝e·(d－c)＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AD⊥BC.12．已知点A、B的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且eq\o(OC,\s\up16(→))＝3eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))＝3eq\o(OB,\s\up16(→))，求证：AB∥CD.证明∵eq\o(OC,\s\up16(→))＝3eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))＝3eq\o(OB,\s\up16(→))，∴C(－12,9)，D(6,15)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(6,2)，eq\o(CD,\s\up16(→))＝(18,6)．∴eq\o(CD,\s\up16(→))＝3eq\o(AB,\s\