【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章-教材解读：双曲线

双曲线教材解读一、学问精讲1、正确理解双曲线的定义一要留意不要将“确定值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要留意“常数”的条件，即常数2a<|F1F2|，由于当2a=|F1F2|时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a>|F1F2、精确     把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）两种双曲线的异同：①相同点：外形、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b；②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）推断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。（4）与椭圆标准方程的不同：①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号；②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其推断方法不同：对于双曲线和来说，假如x项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；假如y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不愿定大于b，这和椭圆有明显的不同。③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆标准方程中a=b+c，而双曲线中c=a+b。3、对双曲线的简洁几何性质的加强理解（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e从接近1渐渐增大时，的值就从接近于0渐渐增大，双曲线的“张口”渐渐增大。（2）要把握依据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。由于y=±x±＝0－＝0，所以把标准方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①渐近线方程为mx±ny＝0的双曲线的方程为：mx－ny＝（≠0且为常数）。②与双曲线－＝1（a>0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝（≠0且为常数）。（4）实轴与虚轴相等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=±x，离心率e=。二、方法点拨1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应留意：（1）动点是否满足双曲线的精确     定义。（2）条件“2a<|F1F2|”是否成立。（3）是否使|PF1|-|PF2|=2a与|PF1|-|PF2|=-2a同时成立。（2、求双曲线标准方程的方法（1）求双曲线的标准方程包括“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程，就要求出和这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出方程关于和的方程组。解得和的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，推断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了和在方程中的位置。（2）求双曲线方程一般可用待定系数法，其解题方法是先定型，再定量。解题步骤分为：首先推断曲线的类型，其次求出关键数据（即待定系数），最终写出曲线方程。（3）假如已知渐近线方程y=±x，双曲线方程可设为，通过求出确定双曲线方程。三、高考考情分析与应试策略双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，高考中主要以选择题、填空题为主，其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主。高考会从以下几个方面来命题：（1）运用双曲线的定义解决到焦点的距离，焦点弦等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点。（2）机敏运用双曲线的性质，解决离心率、渐近线问题，也是今后考查的重点。有关离心率的问题将会是一个热点。（3）以双曲线为载体的开放题、争辩性问题，将逐步取代繁冗的解答题，成为高考的热点。在学习中把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质时，要留意数形结合。一是结合图形理解标准方程中的参数a、b、c、e的几何意义及相互关系；二是结合图形理解双曲线的简洁几何性质。四、高考热点题型呈现1、有关基本概念的考查双曲线的定义及标准方程是双曲线的基础学问，高考中多为基础性题目。例1．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的()（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k－3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=－4是可以的，这不在k>3里．故应当选A．2、双曲线的几何性质的考查双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目毁灭上升趋势。例2．(陕西卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2)=1(a>eq\r(2))的两条渐近线的夹角为eq\f(π,3),则双曲线的离心率为A.2B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(6),3)D.eq\f(2\r(3),3)解法1：双曲线(a>eq\r(2))的两条渐近线的夹角为eq\f(π,3)，则，所以a2=6，双曲线的离心率为eq\f(2\r(3),3)，选D．解法2：生疏两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有,选D;3、双曲线有关的综合问题以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。例3．（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。假如，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等学问及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的力气。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得