【名师伴你行】2021届高考文科数学二轮复习提能专训18-圆锥曲线的方程与性质

提能专训(十八)圆锥曲线的方程与性质一、选择题1．已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案：B解析：抛物线的准线为y＝－1，设点P到x轴的距离为d，则d＋1＝3d，d＝eq\f(1,2).选B.2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.eq\r(6) B.eq\r(3)C.eq\r(4) D.eq\f(\r(3),3)答案：B解析：由条件令|MF2|＝m，|MF1|＝2m，则|F1F2|＝eq\r(3)m，即2c＝eq\r(3)m,2a＝|MF1|－|MF2|＝2m－m＝m，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)m,m)＝eq\r(3).3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案：B解析：由已知设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且有离心率0<e<1，F1(c,0)，F2(－c,0)，c2＝a2－b2，设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x－c，y)·(x＋c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2，与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)联立方程组，得x2＝(2c2－a2)eq\f(a2,c2)≥0，解得e≥eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，所以有eq\f(\r(2),2)≤e<1.4.(2022·湖南十三校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．3答案：C解析：由e＝eq\f(c,a)＝2，得eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，当x＝－eq\f(p,2)时，y＝±eq\f(\r(3),2)p.∴S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)p×eq\f(p,2)＝eq\r(3).∴p＝2.5．(2022·山东临沂三月质检)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的交点为A，B.A，B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B．2C．3D.eq\r(2)＋1答案：C解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由双曲线与抛物线的对称性知，AB⊥x轴，于是得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).由|AB|＝2b，知p＝b.∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，b)).∵点A在双曲线上，∴eq\f(b2,4a2)－eq\f(b2,b2)＝1，∴8a2＝b2又∵b2＝c2－a2，∴9a2＝c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝9，∴e＝3.6．(2022·广西四市二次联考)已知O为坐标原点，P1，P2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP，P1P2的斜率分别为k1，k2，若2≤k1≤4，则k2的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(2,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,9)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(2,3)))答案：B解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).∵点P1，P2在双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,1),9)－eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),9)－eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1.二式相减并整理，得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,9)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2).∵k1＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，且2≤k1≤4，∴k2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,9)×eq\f(1,k1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(2,9))).7．(2022·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，则|BC|＝()A.eq\f(9,2)B．6C.eq\f(13,2)D．8答案：A解析：不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<eq\f(π,2)，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，eq\f(|AF|,|AB|)＝eq\f(p,|BB1|)，由此得p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，cosθ＝eq\f(p,|AF|)＝eq\f(p,6)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝2eq\r(2)，直线l：y＝2eq\r(2)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝eq\f(5,2)，|BC|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)＋2＝eq\f(9,2)，故选A.8．(2022·唐山二模)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))答案：C解析：由椭圆上长轴端点向圆作切线PA，PB，则两切线形成的角∠APB最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需∠APB≤90°，即∠APO≤45°，∴sin∠APO＝eq\f(b,a)≤sin45°＝eq\f(\r(2),2)，解得a2≤2c2，∴e2≥eq\f(1,2)，即e≥eq\f(\r(2),2)，而0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1，即e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).9．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)，其前n项和Sn＝eq\f(9,10)，则双曲线eq\f(x2,n＋1)－eq\f(y2,n)＝1的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(2\r(2),3)x B．y＝±eq\f(3\r(2),4)xC．y＝±eq\f(3\r(10),10)x D．y＝±eq\f(\r(10),3)x答案：C解析：依题意得an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，因此Sn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)＝eq\f(9,10)，n＝9，故双曲线方程是eq\f(x2,10)－eq\f(y2,9)＝1，该双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(3,\r(10))x＝±eq\f(3\r(10),10)x，故选C.10．过顶点在原点、焦点在x轴正半轴上的抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|BF|＝2|AF|＝6，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案：A解析：如图，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，分别过A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C，D，分别过点A，F作AM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，依据抛物线的定义知|AC|＝|AF|＝3，|BD|＝|BF|＝6，所以|BM|＝3，|BN|＝6－p.易知△AMB∽△FNB，故eq\f(|BM|,|BN|)＝eq\f(|AB|,|BF|)，即eq\f(3,6－p)＝eq\f(9,6)，解得p＝4，故抛物线C的方程为y2＝8x，故选A.11.如图，F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.eq\r(13)B.eq\r(7)C.eq\r(5)D.eq\r(2)答案：B解析：由题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|BF2|－|BF1|＝2a，,|AF1|－|AF2|＝2a，,|AF1|＝|BF1|＝|AB|，))解得|AB|＝4a，|AF2|＝2所以|BF2|＝6a，|BF1|＝4在△BF1F2eq\f(4a2＋6a2－2c2,2×4a×6a)＝cos60°，化简得eq\f(13,6)－eq\f(c2,6a2)＝1，所以e＝eq\r(7)，故选B.12．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，如图，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(5),4)答案：C解析：由题意，可得△EF1F2为直角三角形，且∠F1EF2＝90°，|F1F2|＝2c，|EF2由椭圆的定义知|EF1|＝2a－b又|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2即(2a－b)2＋b2＝(2c)2，整理得b＝eq\f(2,3)a，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(5,9)，故e＝eq\f(\r(5),3)，故选C.二、填空题13．(2022·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线物的方程是________．答案：y2＝3x解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，依据题意得p＝eq\f(3,2)，∴抛物线的方程是y2＝3x.14．(2022·上海六校二次联考)已知点F为椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．答案：(0，－1)解析：如图，椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，依据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|由三角形的性质，知|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝5eq\r(2).15．(2022·石家庄调研)设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，则该双曲线的离心率为________．答案：eq\r(3)＋1解析：∵(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．又O是F1F2∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|－|PF2|＝2a，又∵|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，∴|PF2|＝(eq\r(3)＋1)a，|PF1|＝(eq\r(3)＋3)a，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2(12＋6eq\r(3))a2＋(4＋2eq\r(3))a2＝4c2，∴e2＝4＋2eq\r(3)，∴e＝eq\r(3)＋1.三、解答题16．(2022·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为eq\f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB的面积的最大值．解：(1)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.①又椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②由①②解得a2＝8，b2＝2.故椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))得x2＋2mx＋2m2－4＝0.Δ＝4m2－解得|m|<2.x1＋x2＝－2m，x1x2＝2则|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5),2)×eq\r(－2m2－42m2－4)＝eq\r(54－m2).点P到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(2|m|,\r(5))，∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝eq\f(1,2)×eq\f(2|m|,\r(5))×eq\r(54－m2)＝eq\r(m24－m2)≤eq\f(m2＋4－m2,2)＝2，当且仅当m2＝2，即m＝±eq\r(2)时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2.17．(2022·内蒙古评估测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面积为8eq\r(3)，求p的值及圆F的方程；(2)在(1)的条件下，若A，B，F三点在同始终线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．解：(1)由于∠BFD＝120°，|BF|＝|FD|，所以∠FBD＝∠FDB＝30°，在Rt△BRF中，由于|FR|＝p，所以|BF|＝2p，|BR|＝eq\r(3)p.同理，在Rt△DRF中，有|DF|＝2p，|DR|＝eq\r(3)p，所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2eq\r(3)p，圆F的半径|FA|＝|FB|＝2p.由抛物线定义可知，A到l的距离d＝|FA|＝2p，由于△ABD的面积为8eq\r(3)，所以eq\f(1,2)|BD|·d＝8eq\r(3)，即eq\f(1,2)×2eq\r(3)p×2p＝8eq\r(3)，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以F(1,0)，圆F的方程为(x－1)2＋y2＝16.(2)由于A，B，F三点在同始终线上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°，如图．由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝eq\f(1,2)|AB|，所以∠ABD＝30°，直线DF的斜率为k＝tan60°＝eq\r(3)，其方程为y＝eq\r(3)(x－1)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2\r(3)))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2\r(3),3).))所以点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))到DA的距离为d′＝|DR|－|yE|＝2eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)，所以S△EDA＝eq\f(1,2)·|DA|·d′＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(8\r(3),3).18．(2022·长春调研)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．

(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·eq\o(MO,\s\up6(→))的最小值为eq\f(7,2)，求椭圆的方程．解：(1)设椭圆的半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝eq\f(a－c,2)，y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))，于是圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)，\f(b2－ac,2b))).所以p＋q＝eq\f(a－c,2)＋eq\f(b2－ac,2b)≤0，整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2所以e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)≤e<1.故椭圆的离心率为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(2)当e＝eq\f(\r(2),2)时，a＝eq\r(2)b＝eq\r(2)c，此时椭圆的方程为eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1，设M(x，y)，则－eq\r(2)c≤x≤eq\r(2)c，所以(eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x2－x＋c2＝eq\f(1,2)(x－1)2＋c2－eq\f(1,2).当c≥eq\f(\r(2),2)时，上式的最小值为c2－eq\f(1,2)，即c2－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，得c＝2；当0<c<eq\f(\r(2),2)时，上式的最小值为eq\f(1,2)(eq\r(2)c)2－eq\r(2)c＋c2，即eq\f(1,2)(eq\r(2)c)2－eq\r(2)c＋c2＝eq\f(7,2)，解得c＝eq\f(\r(2)＋\r(30),4)，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.19．已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1