2024年沪教版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设则=（）A.-1B.-2C.1D.22、如图，平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,将其沿对角线BD折成四面体使平面平面若四面体顶点在同一球面上；则该球的体积为()

A.B.C.D.3、函数y=b+asinx（a＜0）的最大值为-1，最小值为-5，则y=tan（3a+b）x的最小正周期为（）A.B.C.D.4、已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为l6，则k的值为（）A.-lB.0C.1D.35、函数f(x)=sin2(x+娄脨4)+cos2(x鈭�娄脨4)鈭�1

是(

)

A.周期为娄脨

的奇函数B.周期为娄脨

的偶函数C.周期为2娄脨

的奇函数D.周期为2娄脨

的偶函数评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a12＝_____7、已知△ABC的顶点若△ABC为钝角三角形，则的取值范围是____；8、【题文】已知方程所表示的圆有最大的面积，则直线的倾斜角=_________．9、若集合A={x|（k-1）x2+x-k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是______．10、设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N，那么“==”是“M=N”的______条件．11、在调查中学生是否抽过烟的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你抽过烟吗？”然后要求被调查的中学生掷一枚质地均匀的骰子一次，如果出现奇数点，就回答第一个问题，否则回答第二个问题，由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题，如我们把这种方法用于300个被调查的中学生，得到80个“是”的回答，则这群人中抽过烟的百分率大约为______．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)12、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．13、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．16、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、计算题(共3题，共30分)17、方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+αβ+β2=____．18、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．19、若f（x）=，则方程f（4x）=x的根是____．评卷人得分五、作图题(共2题，共14分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．21、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)22、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．23、已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．

（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；

（2）设该抛物线与x轴交于M；N两点；当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】试题分析：由题意可知故选.D考点：分段函数求值问题.【解析】【答案】D2、A【分析】【解答】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC是外接球的直径，所以BC=球的半径为：所以球的体积为：

故选A.3、B【分析】解：∵y=b+asinx（a＜0）的最大值为-1；最小值为-5；

∴解得a=-2，b=-3．

∴y=tan（-9）x的最小正周期为

故选：B．

利用正弦函数的性质，列出关于a，b的方程，解之即可求出y=tan（3a+b）x的最小正周期．

本题考查y=tan（3a+b）x的最小正周期，考查正弦函数的性质，考查方程思想，属于中档题．【解析】【答案】B4、C【分析】解：画出可行域如图阴影部分，

显然k一定大于零；

由得A（4；4k+4）

∵平面区域的面积为S=l6

∴S=×4×AC=2×（4k+4）=16

解得k=1

故选C

依题意；k＞0，故画出线性约束条件表示的可行域，利用三角形面积公式，数形结合即可解得k的值。

本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题【解析】【答案】C5、A【分析】解：f(x)=sin2(x+娄脨4)+cos2(x+娄脨4鈭�娄脨2)鈭�1=2sin2(x+娄脨4)鈭�1=鈭�cos(2x+娄脨2)

=sin2x

所以T=2娄脨2=娄脨

故选A．

先根据二倍角公式和诱导公式进行化简，最后结合最小正周期T=2娄脨w

和正弦函数的奇偶性可求得答案．

本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查三角函数的基本性质--最小正周期和奇偶性.

三角函数的公式比较多，不容易记，只有在平时多积累多练习在考试中才能做到熟练应用．【解析】A

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】试题分析：由韦达定理得由等比数列性质：若则得考点：等比数列性质【解析】【答案】167、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于△ABC的顶点若△ABC为钝角三角形，则可知角A,,B,C分别是钝角时，则应该满足的条件为解得的取值范围是故答案为考点：解三角形【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：圆的半径当时直线的斜率为-1，倾斜角

考点：圆的一般方程及直线方程。

点评：圆的圆心半径直线斜率与倾斜角的关系【解析】【答案】9、略

【分析】解：由题意可得集合A为单元素集。

（1）当k=1时A={x|x-1=0}={1}；

（2）当k≠1时则△=1+4k（k-1）=0解得k=

综上所述，实数a的值是1或．

故答案是：1或．

若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程（a-1）x2-2x+1=0恰有一个实数解；分类讨论能求出实数k的取值．

本题考查根据子集与真子集的概念，实数k的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．【解析】1或10、略

【分析】解：若==＜0”时，则不等式a1x2+b1x+c1＞0等价于a2x2+b2x+c2＜0；则“M≠N”；

即“==”是“M=N”的不充分条件。

但当“M=N=∅”时，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0可能是不同的不等式，则“==”不一定成立。

即“==”是“M=N”的不必要条件。

故“==”是“M=N”的既不充分又不必要条件。

故答案为：既不充分又不必要．

根据不等式的基本性质，我们可以判断“==”⇒“M=N”的真假；根据不等式解集可能为空集，可判断“M=N”⇒“==”的真假；进而得到答案．

本题考查的知识点是充要条件，其中判断出“==”⇒“M=N”与M=N”⇒“==”的真假，是解答本题的关键．【解析】既不充分又不必要11、略

【分析】解：我们把这种方法用于300个被调查的中学生，得到80个“是”的回答，则这群人中抽过烟的百分率大约为≈13.33%；

故答案为13.33%

我们把这种方法用于300个被调查的中学生，得到80个“是”的回答，则这群人中抽过烟的百分率大约为可得结论．

本题考查实际推断原理和假设检验，是一个基础题，但是题干比较长，这样给我们读懂题意带来困难，不能弄懂题意是本题的难点．【解析】13.33%三、证明题(共5题，共10分)12、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．13、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、计算题(共3题，共30分)17、略

【分析】【分析】先根据根与系数的关系求出α+β、αβ的值，再根据完全平方公式对α2+αβ+β2变形后，再把α+β、αβ的值代入计算即可．【解析】【解答】解：∵方程2x2-x-4=0的两根为α；β；

∴α+β=-=，αβ==-2；

∴α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=（）2-（-2）=+2=．

故答案是：．18、略

【分析】【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA-cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解析】【解答】解：由题意得：（2sinA-cosA）2=0；

解得：2sinA-cosA=0；2sinA=cosA；

∴tanA===0.5．

故答案为：0.5．19、略

【分析】【分析】由f（4x）=x建立方程，进行化简配方可解得方程的根．【解析】【解答】解：∵f（4x）=x；

∴（x≠0）

化简，得4x2-4x+1=（2x-1）2=0；

解得；

故答案为：．五、作图题(共2题，共14分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．21、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。六、综合题(共3题，共18分)22、略

【分析】【分析】（1）过C作CE⊥AB于E；根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A；B、C三点的坐标；

（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解析】【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE=BE．

∴△AOD≌△BEC．

∴OA=EB=EA．

设菱形的边长为2m；在Rt△AOD中；

m2+（）2=（2m）2；解得m=1．

∴DC=2；OA=1，OB=3．

∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，）．

（2）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+，代入A的坐标（1，0），得a=-．

∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+．

解法二：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，）三点；

得解这个方程组，得

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3．23、略

【分析】【分析】（1）根据抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2；得出顶点坐标代入一次函数解析式即可；

（2）利用已知得出x1x2=m2+m-2，|m2+m-2|=4；进而求出m的值，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而求出；

（3）分别利用点P1到直线L的距离P1Q1为a，以及点P2到直线L的距离P2Q2为b求出即可．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2；

得顶点坐标为（m；-m+2），显然满足y=-x+2

∴抛物线的顶点在直线L上．

（2）设M（x1，0），N（x2，0），且x1＜x2．

由OM•ON=4，OM≠ON，得|x1•x2|=4．

∵x1x2=m2+m-2，∴|m2+m-2|=4．

当m2+m-2=4时，m1=2，m2=-3

当m2+m-2=-4时；△＜0，此方程无解；

∵△1=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．

∴m＜2．

故取m=-3．

则抛物线的解析式为y=-x2-6x-4．

（3）抛物线y=-x2-6x-4