2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有（）

A.2条。

B.4条。

C.6条。

D.8条。

2、已知且则等于()A.－1B.－9C.9D.13、【题文】某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个4、已知曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为8，a=（）A.9B.6C.-9D.-6____5、在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=则该数列的前10项和为（）A.B.C.D.6、在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的（）A.平均状态B.分布规律C.离散程度D.最大值和最小值7、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度8、不等式x2-2x+3＜0的解集是（）A.{x|-1＜x＜3}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|x＜-3或x＞1}D.∅9、盒子中分别有红球3个、白球2个、黑球1个，共6个球，从中任意取出两个球，则与事件“至少有一个白球”互斥而不对立的事件是（）A.都是白球B.至少有一个红球C.至少有一个黑球D.红、黑球各一个评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为____米．

11、已知变量x，y满足约束条件则2x+y的最小值为____．12、抛物线的焦点坐标为．13、已知，如图所示的正方体的棱长为4，E、F分别为A1D1、AA1的中点，过C1、E、F的截面的周长为___________________.14、【题文】某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是____．15、【题文】在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S19=31，S31=19，则S50的值是______16、【题文】．函数的最小正周期为____；递减区间为____。17、设n∈N*，f（n）=5n+2×3n﹣1+1，通过计算n=1，2，3，4时，f（n）的值，可以猜想f（n）能被最大整数____整除．18、设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a-3）=P（ξ＞a+3），则实数a的值为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

23、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）24、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）25、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)26、【题文】已知向量设函数

（Ⅰ）求函数的解析式，并求在区间上的最小值；

（Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角，若的面积为求27、当n∈N*时，Tn=++++．（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；

（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．28、已知直线l1的参数方程为：t为参数．

（1）将直线l1的参数方程化成直线的普通方程（写成一般式）；

（2）已知直线l2：x+y-2=0，判断l1与l2是否相交，如果相交，请求出交点坐标．29、已知函数f(x)=ax+lnx

其中a隆脢R

．

(

Ⅰ)

若f(x)

在区间[1,2]

上为增函数；求a

的取值范围；

(

Ⅱ)

当a=鈭�e

时；证明：f(x)+2鈮�0

(

Ⅲ)

当a=鈭�e

时，试判断方程|f(x)|=lnxx+32

是否有实数解，并说明理由．评卷人得分五、计算题(共2题，共10分)30、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．31、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

如图所示：

在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1与A1B均成45°角；

根据线线角的定义知，DD1、CC1、DC、D1C1都与A1B成45°角；

所以满足条件的棱有8条；

故选D．

【解析】【答案】根据线线角的定义在正方体中逐一寻找判断即可．

2、C【分析】试题分析：由得，得考点：平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】

考点：有理数的乘方．

分析：先算出经过3小时细胞分裂的次数；列出关系式求解即可．

解：∵3小时=180分钟；

∴经过3小时细胞分裂的次数==9（次）；

∴经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成29=512个．

故选B．【解析】【答案】B4、D【分析】解答：由题意可知，解得a=-6分析：函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义。属于基础题。5、B【分析】【解答】解：由

所以．

故选B．

【分析】先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列前n项和公式求前10项和即可．6、C【分析】【分析】由样本的标准差的数学意义，其可以近似地反映总体数据的离散程度．故选C．7、B【分析】【解答】反证法首先假设所要证明的结论的反面成立；本题中内角中至少有一个不大于60度的反面是三内角都大于60度，因此应反设三内角都大于60度。

故选B。

【分析】反证法解证明题的步骤：1，假设要证明的结论的反面成立，2，由假设出发推出与已知或定理发生矛盾的结果，3，否定假设即说明原结论成立8、D【分析】解：根据题意，x2-2x+3=（x-1）2+2；

分析易得方程x2-2x+3=0无解；

则不等式x2-2x+3＜0的解集∅；

故选：D．

根据题意，对x2-2x+3变形分析可得方程x2-2x+3=0无解；由一元二次不等式的解法分析可得答案．

本题考查了求一元二次不等式的解集的问题，解题时应先判定对应方程解的情况，是容易题．【解析】【答案】D9、D【分析】解：由于事件“至少有一个白球”与没有白球是互斥的；没有白球包含2个全是红球，或1个红球和一个黑球；

故则与事件“至少有一个白球”互斥而不对立的事件是红；黑球各一个；

故选：D

由于至少有一个白球与红；黑球各一个；故它们是互斥事件．再根据它们的并事件不是必然事件，可得它们是么互斥而不对立的两个事件．

本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，属于基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

依题意；过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H；

∵∠SAE=30°；AS=1000米；

∴CD=SE=AS•sin30°=500米；

依题意；在Rt△HAS中，∠HAS=45°-30°=15°；

∴HS=AS•sin15°；

在Rt△BHS中；∠HBS=30°；

∴BS=2HS=2000sin15°；

在Rt△BSD中；BD=BS•sin75°

=2000sin15°•sin75°

=2000sin15°•cos15°

=1000×sin30°

=500米．

∴BC=BD+CD=1000米．

故答案为：1000．

【解析】【答案】作出图形；过点S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依题意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC．

11、略

【分析】

画出可行域；

由图得当把2x+y=z平移到过直线x-y=0与直线x=1的交点C（1；1）处；

目标函数z有最小值为：z=2x+y=2×1+1=3．

故答案为：3．

【解析】【答案】由线性约束条件画出可行域；结合图象平移目标函数即可求出目标函数的最小值．

12、略

【分析】试题分析：由抛物线的焦点坐标为得：（1，0）考点：抛物线的焦点【解析】【答案】（1，0）13、略

【分析】【解析】试题分析：由∥平面可知平面与平面的交线为平面与平面的交线为所以截面周长为考点：利用线面平行的判定和性质做两面交线【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：按系统抽样的方法；抽取一个容量为4的样本，应分4组，每组12个样本，因为，6号在第一组中，所以，第二组中应抽到12+6=18，即样本中另一位同学的座位号应该是18.

考点：本题主要考查系统抽样方法。

点评：简单题，按系统抽样的方法，在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号通常是将加上间隔得到第2个编号再将加上得到第3个编号这样继续下去，直到获取整个样本。【解析】【答案】1815、略

【分析】【解析】解：设等差数列公差为d，依题意可知S19=19a1+9×19d=31

S31=31a1+15×31d=19∴S31-S19="12"a1+12×492d

又S19=31，S31=19；

故a1+492=-1

∴S50=50×a1+50×492d=-50

故答案为-50【解析】【答案】-5016、略

【分析】【解析】此题考查三角函数周期的求法、单调区间的求法；函数的周期是函数的周期是所以的最小正周期为因为所以函数与函数单调性相反；因为。

所以函数的递减区间是[],k∈Z【解析】【答案】[],k∈Z17、8【分析】【解答】解：由题意；f（1）=8，f（2）=32，f（3）=144，f（4）=680；

∴f（n）能被最大整数8整除．

故答案为：8

【分析】通过计算n=1，2，3，4时，f（n）的值，可以猜想结论．18、略

【分析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2）；

∵P（ξ＜2a-3）=P（ξ＞a+3）；

∴2a-3与a+3关于x=3对称；

∴2a-3+a+3=6；

∴3a=6；

∴a=2；

故答案为：2．

根据随机变量符合正态分布；又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．【解析】2三、作图题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

23、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．24、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．25、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)26、略

【分析】【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）3分。

因为所以

所以当时，函数在区间上的最小值为6分。

（Ⅱ）由得：

化简得：又因为解得：9分。

由题意知：解得又

12分。

考点：解三角形。

点评：主要是考查了三角函数中二倍角公式以及正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题。【解析】【答案】（1）=（2）27、解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，Tn=++++．∴S1=1﹣=S2=1﹣+﹣=T1==T2=+=

（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*）；即：

1﹣+﹣++﹣=++++

（n∈N*）

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，已证S1=T1

②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*）；

即：1﹣+﹣++﹣=++

则：Sk+1=Sk+﹣=Tk+﹣

=+++﹣

=++++（﹣）

=++++=Tk+1；

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．【分析】【分析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（Ⅱ）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．28、略

【分析】

（1）将参数方程消去参数t；化为普通方程．

（2）两直线斜率不相同，因此它们相交，再把这两条直线的方程联立方程求得它们的交点的坐标．

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于基础题．【解析】解：（1）将参数方程化为普通方程：x+2y-7=0．

（2）两直线斜率不相同；因此它们相交，下面求它们的求点坐标：

联立方程解得：

可得交点的坐标为（-3，5）．29、略

【分析】

(

Ⅰ)

求出函数的导数；分离出a

结合函数的单调性求出a

的范围即可；

(

Ⅱ)

解关于导函数的不等式；求出函数的单调区间，从而求出f(x)

的最大值，证出结论；

(

Ⅲ)

求出|f(x)|鈮�2

令g(x)=lnxx+32

求出g(x)

的最大值小于|f(x)|

的最小值，从而判断无解．

本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，是一道综合题．【解析】解：函数f(x)

定义域x隆脢(0,+隆脼)f隆盲(x)=a+1x

(

Ⅰ)

因为f(x)

在区间[1,2]

上为增函数；

所以f隆盲(x)鈮�0

在x隆脢[1,2]

上恒成立；

即f隆盲(x)=a+1x鈮�0a鈮�鈭�1x

在x隆脢[1,2]

上恒成立，则a鈮�鈭�12

．

(

Ⅱ)

当a=鈭�e

时，f(x)=鈭�ex+lnxf隆盲(x)=鈭�ex+1x

．

令f隆盲(x)=0

得x=1e

令f隆盲(x)>0

得x隆脢(0,1e)