2023年四川省乐山市中考数学试卷

2023年四川省乐山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.（3分）计算：2a-a=C）

A.aB.-aC.3aD.1

2.（3分）下面几何体中，是圆柱的为（）

3.（3分）下列各点在函数y=2x-1图象上的是（）

A.（-1,3）B.（0,1）C.（1,-1）D.（2,3）

4.（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一

期工程自2014年12月全面通水以来，己累计向受水区实施生态补水约90亿立方米.其

中9000000000用科学记数法表示为（）

A.9X108B.9X109C.9X1O10D.9X1011

5.（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源.某校准备组织初一年级500

名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向

调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示.估计初一年级愿意去“沫若故居”的

学生人数为（）

人数

C.200D.400

6.（3分）如图，菱形ABC。的对角线AC与8。相交于点O,E为边BC的中点，连结OE.若

AC=6,BD=8,贝ij0E=()

A.2B.5C.3D.4

2

7.(3分)若关于x的一元二次方程x2-8x+,”=0两根为xi、X2,且XI=3X2,则，〃的值为

()

A.4B.8C.12D.16

8.(3分)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是

由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为

25,小正方形面积为1,则sinO=()

555

9.(3分)如图4,抛物线、=«?+法+。经过点A(-1,0)、BCm,0),且1<机<2,有下

列结论：

①b<0；

②“+b>0；

③0<〃<-c；

④若点C(-2,yi),D(―,y2)在抛物线上，则yi>y2.

33

其中，正确的结论有()

10.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-X-2与X轴、y轴分别交于A、B

两点，C、。是半径为1的。。上两动点，且C£>=&,P为弦8的中点.当C、。两

点在圆上运动时，△抬B面积的最大值是（）

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）不等式x-l>0的解集是.

12.（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：

160,163,160,157,160.这组数据的众数为.

13.（3分）如图，点。在直线A8上，0£>是NBOC的平分线，若NAOC=140°,则NB。。

的度数为.

14.（3分）若根、n满足3m-n-4=0,贝U8'"+2"=.

15.（3分）如图，在平行四边形ABC。中，E是线段AB上一点，连结AC、OE交于点F.若

AEA则____________________

EB3SAAEF

DC

16.（3分）定义：若x,y满足/=4）叶3）?=4x+f且（/为常数），则称点M（x,y）

为“和谐点”.

（1）若P（3,相）是“和谐点”，则机=；

（2）若双曲线y=K（-3<x<-1）存在“和谐点”，则k的取值范围.

x

三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.（9分）计算：|-21+20230-V4.

18.（9分）解二元一次方程组：JX-y=1.

l3x+2y=8

19.（9分）如图，已知AB与CD相交于点。，AC//BD,AO=BO,求证：AC=BD.

20.（10分）如图，在RtZvlBC中，NC=90°,点。为AB边上任意一点（不与点A、B

重合），过点。作。E〃8C,DF//AC,分别交AC、BC于点E、F,连结EF.

（1）求证：四边形ECFD是矩形；

（2）若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.

21.（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计

划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树

的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？

22.(10分)为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全

班同学人人参与.经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班

主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示.

家务类型洗衣拖地煮饭刷碗

人数(人)101210m

根据上面图表信息，回答下列问题：

(1)m=；

(2)在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为；

(3)班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生.现

准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所

选同学中有男生的概率.

23.(10分)如图，一次函数)，=依"的图象与反比例函数)，=2的图象交于点4Gn,4),

x

与x轴交于点8,与y轴交于点C(0,3).

(1)求相的值和一次函数的表达式；

(2)已知尸为反比例函数y=里图象上的一点，SAOBP=2SAOAC,求点P的坐标.

x

24.(10分)如图，已知。。是Rt^ABC的外接圆，ZACB=9O°,。是圆上一点，E是

0c延长线上一点，连结AD,AE,且AO=AE,CA=CE.

(1)求证：直线AE是。。是的切线；

(2)若sinE=Z,。0的半径为3,求AD的长.

25.(12分)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图1,将一个三角形纸板AABC绕点A逆时针旋转。到达的位置△4'B'C'的位置,

那么可以得到：

AB=AB',AC=AC',BC=B'C;

NBAC=NB'AC',ZABC=ZAB'C,ZACB=ZAC'B'.()

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不

变”，这是我们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

【问题解决】

(1)上述问题情境中“()”处应填理由：；

(2)如图2,小王将一个半径为4c”?，圆心角为60°的扇形纸板A8C绕点。逆时针旋

转90。到达扇形纸板4'B'C的位置.

①请在图中作出点。；

②如果8*=6cm,则在旋转过程中，点8经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边

位于水平位置.另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此

时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题.

26.（13分）已知（xi,yi）,（X2,是抛物线Cj：y=-（6为常数）上的两点,

当xi+;v2=0时，总有yi=".

（1）求b的值；

（2）将抛物线Ci平移后得到抛物线C2：y=-工（x-/n）2+1（zn>0）.

当0WxW2时，探究下列问题：

①若抛物线Ci与抛物线C2有一个交点，求机的取值范围；

②设抛物线C2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线C2的顶点为点E,/XABC

外接圆的圆心为点凡如果对抛物线C1上的任意一点P,在抛物线C2上总存在一点。，

使得点P、。的纵坐标相等.求E尸长的取值范围.

2023年四川省乐山市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.(3分)计算：2a-a—()

A.aB.-aC.3aD.1

【分析】直接合并同类项得出答案.

【解答】解：2a-a^a.

故选：A.

【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键.

2.(3分)下面几何体中，是圆柱的为(

【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可.

【解答】解：A.选项中的几何体是圆锥体，因此选项4不符合题意；

B.选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；

C.选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；

D.选项中的几何体是四棱柱，因此选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判

断的前提.

3.(3分)下列各点在函数y="-1图象上的是()

A.(-1,3)B.(0,1)C.(1,-1)D.(2,3)

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解.

【解答】解：A.当x=-1时，y=2X(-1)-1=-3,

...点（-1,3）不在函数y=2x-1图象上;

B.当x=0时，y—2X0-1=-1,

...点（0,1）不在函数y=2x-1图象上；

C.当x=l时，y=2X1-1=1,

...点（1,-1）不在函数y=2x-1图象上；

D.当x=2时，y=2X2-1=3,

...点（2,3）在函数y=2r-1图象上；

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的

坐标都满足函数解析式y=kx+b.

4.（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一

期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米.其

中9000000000用科学记数法表示为（）

A.9X108B.9X109C.9X1O10D.9X1011

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，"是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：9000000000=9X109.

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中1〈⑷<10,”为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

5.（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源.某校准备组织初一年级500

名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向

调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示.估计初一年级愿意去“沫若故居”的

学生人数为（）

人数

【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可.

【解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500X型=200（人），

50

故选：C.

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有

代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

6.（3分）如图，菱形A8CD的对角线AC与BO相交于点O,E为边BC的中点，连结OE.若

AC=6,BD=8,贝OE=（）

A.2B.$C.3D.4

2

【分析】由菱形的性质得到OC=LAC=3,OB=LD=4,ACLBD,由勾股定理求出

22

BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长.

【解答】解：•••四边形ABCO是菱形，

；.oc=Lc,OB=LBD,ACLBD,

22

"：AC=6,BQ=8,

；.OC=3,OB=4,

.".CB=7OB24（）C2=5>

为边BC的中点,

OE=^BC=^~.

22

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性

质求出0C,的长，由勾股定理求出8c的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可

求出0E的长.

7.（3分）若关于x的一元二次方程x2-8x+〃?=0两根为xi、X2,且XI=3X2,则〃？的值为

（）

A.4B.8C.12D.16

【分析】首先根据根与系数的关系得出用+也=8,再根据X1=3X2,求得刘，X2,进一步

得出X1X2=相求得答案即可.

【解答】解：,一元二次方程f-8x+，〃=0的两根为xi,xi,

•*.X1+X2=8,

VJCI=3JC2>

解得XI=6,%2=2,

**•W=XIX2=6X2=12.

故选：C.

【点评】本题考查了根与系数的关系.二次项系数为1,常用以下关系：XI,X2是方程

/+04+0=0的两根时Xl+X2=-/?,X\x2=q,反过来可得P=-（X1+X2）,q=x\x2,前者

是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.

8.（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是

由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为

25,小正方形面积为1,则sinG=（）

555

【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sin0的值.

【解答】解：设大正方形的边长为c,直角三角形的短直角边为。，长直角边为6,

由题意可得：C2=25,b-a=y[l=\,<r+b1=c1,

解得a=3,b—4,c—5,

sin0=—=—,

c5

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出

各边的长.

9.(3分)如图4,抛物线y=o?+法+c经过点A(-1,0)、BCm,0),且1<胆<2,有下

列结论：

①b<0；

②a+b>0；

③0<“<-c；

④若点C(-―,yi),D(―,^2)在抛物线上，则yi>y2.

33'

【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得。>0,

由抛物线的对称轴位置得bvo,由抛物线与y轴的交点位置得c<0,再根据二次函数的

性质和图象分别判断即可得出答案.

【解答】解：..•抛物线开口向上，

/.a>0,

•••抛物线的对称轴在y轴的右侧，

.'.b<0,故①正确；

•抛物线与y轴的交点在x轴下方，

：.c<0,

•・•抛物线经过点4（-1,0）,

・二。-Z?+c=0,

:・c=b-a,

•・•当x=2时，y>0,

/.4a+2b+c'>0f

4a+2b+h-a>0,

3a+3b>0,

.\a+b>0,故②正确；

・・Z-b+c=0,

・•a+c=b,

•・》vo,

〃+cVO，

JOVaV-c,故③正确；

・・•点c（-2,yi）到对称轴的距离比点。（1,中）到对称轴的距离近，

33

，yiV）%故④的结论错误.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B

两点，C、。是半径为1的。。上两动点，且CQ=&,尸为弦8的中点.当C、。两

点在圆上运动时，面积的最大值是（）

【分析】判断三角形PCD和三角形0A8都是等腰直角三角形，由题得，当尸、0、。共

线时，S4ABP最大，求出A3、PQ,根据面积公式计算即可.

【解答】解：作。QLA8,连接OP、OD、OC,

\'CD=y/2,OC=O£>=1,

：.OC1+OD1=CD1,

.♦.△OCO为等腰直角三角形，

由）=-x-2得，点A（-2,0）、B（0,-2）,

：.OA=OB=2,

：./\OAB为等腰直角三角形，

:.AB=2近,。。=企，

由题得，当P、0、。共线时，SAABP最大，

为中点，

.•.0尸=亚，

2_

：.PQ=OP+OQ=^^-,

•''S^ABP-B'PQ—3.

【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）不等式x-l>0的解集是x>l.

【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1,就可求出x的取值范围.

【解答】解：解不等式X-1>0得，X>\.

【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变.

12.（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为:

160,163,160,157,160.这组数据的众数为160.

【分析】根据众数的定义求解即可.

【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数为160,

故答案为：160.

【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

13.（3分）如图，点。在直线AB上，0。是NBOC的平分线，若NAOC=140°,则NB。。

的度数为20°.

A0B

【分析】根据邻补角定义求得/80C的度数，再根据角平分线定义即可求得答案.

【解答】解：；N4OC=140°,

/.ZBOC=180°-140°=40°,

是NBOC的平分线，

ZBOD=AZBOC=2O°,

2

故答案为：20°.

【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握.

14.（3分）若小、〃满足3m-n-4=0,则8ffl32"=16.

【分析】直接利用幕的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案.

【解答】解：

3m-〃=4,

...8m4-2"=23m4-2n=23mn=24=16.

故答案为：16.

【点评】此题主要考查了幕的乘方运算，正确将原式变形是解题关键.

15.（3分）如图，在平行四边形ABCO中，E是线段AB上一点，连结4C、DE交于点、F.若

迪上，则也迎=1.

EB-3SAAEF-2-

AEB

【分析】通过证明△AEFSACQF,可得岖里=2,即可求解.

CDDF5

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,AB=CD,

.•.AE=-2,

BE3

.•.设AE=2a,则BE=3a,

'.AB=CD=5a,

'：AB//CD,

：./\AEF^/\CDF,

.AEEF=2

"CD'DFT

■SAADF5

2AAEF2

故答案为：5.

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是

解题的关键.

16.(3分)定义：若x,y满足/=4y+f,且(f为常数)，则称点M(x,y)

为“和谐点”.

(1)若P(3,"力是"和谐点"，则，"=-7；

(2)若双曲线y=K(-3<x<-1)存在"和谐点”，则k的取值范围3<k<4.

X

【分析】(1)根据题意得出《4m+t=9，消去，得到“2。+4〃?-21=0,解方程即可求得加

^12+t=mz

=-7；

x?W+t①

X

(2)根据题意得出12，①-②得(x+区)(x-K)=-4(x-K),整理得

/=4x+t②xxx

(%-—)(x+—+4)=0,由x#y,得出冗+区+4=0,理得Z=-x2-4x=-(x+2)2+4,

XXX

由-3<x<-1,得出3<k<4.

【解答】解:⑴,:P(3,%)是“和谐点”,

.[4m+t=9

**\12+t=m2,

消去，得到Z??2+4/??-21=0,

解得m--7或3,

Wy,

..."2=-7；

故答案为：~7；

(2)•.•双曲线尸K(-3<x<-1)存在“和谐点”，

X

①

X

,2，

­=4x+t®

x

①-②得(x+K)(x-—)=-4(x--

XXX

・・・(x-K)(X+K+4)=0,

XX

Wy,

+4=0,

x

整理得k=-x2-4x=-(x+2)2+4,

•・•-3<x<-1,

：.3<k<4.

故答案为：3VZV4.

【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识,

本题综合性强，有一定难度.

三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.(9分)计算：|-2|+2023°-

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幕的性质、二次根式的性质分别化简，进而

得出答案.

【解答】解：原式=2+1-2

=1.

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

x-y=l

18.（9分）解二元一次方程组:

3x+2y=8

【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答.

(x~y=1①

【解答】解:

13x+2y=8②

①X2得：2x-2y=2③,

②+③得：5x=10,

解得：x=2,

把x=2代入①中得：2-y=l,

解得：y=l，

原方程组的解为：fx=2.

ly=l

【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

19.（9分）如图，已知AB与8相交于点O,AC//BD,A0=B0,求证：AC=BD.

【分析】由平行线的性质可得NC=ND,利用AAS即可判定△AOC会△BOD,

从而得AC=BD

【解答】证明：：AC〃B£>,

=NC=ND,

在△AOC和△80。中，

2C=ND

(NA=NB>

AO=BO

.•.△AOC空△80。(A45),

：.AC=BD.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定

定理与性质并灵活运用.

20.(10分)如图，在RtZsABC中，NC=90°,点。为AB边上任意一点(不与点A、B

重合)，过点。作。E〃2C,DF//AC,分别交AC、BC于点E、F,连结EF.

(1)求证：四边形ECFD是矩形；

(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.

【分析】(1)先证四边形ECFD为平行四边形，即可求解;

(2)由勾股定理可求EF的长，由面积法可求解.

【解答】(1)证明：'：FD//CA,BC//DE,

...四边形ECFD为平行四边形，

又；NC=90°,

四边形ECFD为矩形；

(2)解：过点C作C乩LE尸于H,

在RtZ\ECF中，CF=2,CE=4,

^-VCE2-K?F2-V4+16=2A/5，

SAECF=LXCF・CE=LXEF・CH,

22

.s=CF,FE_4遥

…’""EF5-，

工点C到砂的距离为强而.

CFB

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质

解决问题是解题的关键.

21.（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计

划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树

的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？

【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时

间=工作总量+工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式

方程，解之经检验后，即可得出结论.

【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，

根据题意得：以2”,6000=2,

x（1+20%）x

解得：x=500,

经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意.

答：原计划每天种植梨树500棵.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

22.（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全

班同学人人参与.经统计，同学们做的家务类型为‘‘洗衣"''拖地”“煮饭”“刷碗”，班

主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示.

家务类型洗衣拖地煮饭刷碗

人数（人）101210m

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）m=8；

（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为108°；

（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生.现

准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所

选同学中有男生的概率.

洗衣

\/做饭、y

\/25%/

【分析】(1)先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得胆的值；

(2)用360°乘以“拖地”所占比例即可;

(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：(1)因为被调查的总人数为10・25%=40(人)，

所以〃?=40-(10+12+10)=8,

故答案为：8；

(2)在扇形统计图中，''拖地”所占的圆心角度数为360°X」2=108。，

40

故答案为：108°；

(3)列表如下：

男1男2女1女2

男1（男1,男2）（男1,女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1,男1）（女1,男2）（女1,女2）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女2,女1）

由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，

所以所选同学中有男生的概率为」9=5.

126

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率，读懂统计图，

从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个

项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23.(10分)如图，一次函数丫=匕+匕的图象与反比例函数)，=匡的图象交于点A(m,4),

X

与工轴交于点3,与y轴交于点C(0,3).

(I)求的值和一次函数的表达式；

(2)已知P为反比例函数y=星图象上的一点，S&OBP=2SAOAC,求点。的坐标.

►

BOx

【分析】（1）把A（〃?，4）代入反比例函数解析式求得〃?的值，然后利用待定系数法即

可求得一次函数的解析式；

（2）过点A作A”_Ly轴于点H,过点P作POLx轴于点£>,由SAOBP=2SACMC得到

■|oB-PD=2XyOC'AH'即弥3XPD=2X/X3X1，解得?。=2,即可求得点尸的

纵坐标为2或-2,进一步求得点P的坐标.

【解答】解：（1）:点A（朋，4）在反比例函数y=生的图象上,

；.A(1,4),

又•.•点A(1,4)、C(0,3)都在一次函数)，=履+6的图象上,

Jk+b=4

'lb=3'

解得(k=l,

lb=3

一次函数的解析式为y=x+3；

(2)对于y=x+3,当y=0时，x=-3,

.♦.08=3,

VC(0,3),

0c=3,

过点A作AH±y轴于点从过点P作PD±x轴于点O,

,:S&OBP=2SXOAC,

A|OB-PD=2X^OC-AH>即£X3XPD=2X/X3X1，

解得PD=2,

.,.点尸的纵坐标为2或-2,

将＞-=2或-2代入得x=2或-2,

x

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标

特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键.

24.(10分)如图，已知。。是Rt/XABC的外接圆，NACB=90°,。是圆上一点，E是

DC延长线上一点，连结AD,AE,且AD=AE,CA=CE.

(1)求证：直线AE是是的切线；

(2)若sinE=2,。。的半径为3,求的长.

3

【分析】(1)先由NACB=90°,证明AB是。0的直径，再证明NCAE=NB,则NO4E

ZCAE+ZCAB^ZB+ZCAB=90°,即可证明直线AE是。0是的切线；

(2)由/E=NC4E=NB,得生=sinB=sinE=^=2,则CE=04=2/18=2x6=

ABCE333

4,CF=2CE=2X4=2,所以AF=BF=也E2_CF2=生应贝UAD=AE=2AF=

3333

--------.

3

【解答】(1)证明：；/ACB=90°,

)AB是。。的直径,

：AD=AE,

♦・NE=/D,

:/B=/D,

•・/E=/B,

：CA=CEf

\ZE=ZCAE,

•・NCAE=N8,

\ZOAE=ZCAE+ZCAB=ZB+ZCAB=90°,

・・0A是。。的半径，且AELOA,

••直线AE是。0是的切线.

(2)解：作于点E则NCFE=90°,

：/E=/CAE=/B,

：OA=OB=3,

•・AB=6,

•・CE=CA=2A8=2X6=4,

33

c尸=2CE=2X4=&,

333__________

==222

,-AFBFVCE-CF^4-(f)2=^-)

AO=AE=2AF=2X

_33

\AD的长是约区.

3

【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角

三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

25.（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图1,将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转。到达的位置B'C的位置，

那么可以得到：

AB^AB',AC=AC',BC=B'C；

NBAC=/B'AC',ZABC=ZAB'C,ZACB=ZAC'B'.（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不

变”，这是我们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：旋转前后的图形对应线段相等，对应

角相等；

（2）如图2,小王将一个半径为4c〃?，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点。逆时针旋

转90°到达扇形纸板A'B'C的位置.

①请在图中作出点。；

②如果8B'=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为百返2二5？；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边

位于水平位置.另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此

时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题.

【分析】【问题解决】

（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等;

(2)①作线段B8,AH的垂直平分线，两垂直平分线交于0,点。为所求；

②由/BO8=90°,OB=OB',可得。8=县=3底，再用弧长公式可得答案；

V2

【问题拓展】

连接PA,,交AC于M,连接PA,PD,AA',PB',PC,求出-----<4-------=——

__cos/PA'B'cos30

=4E,DM—^LA,D=2d3-,可得SAA,O3=♦X.x4=4愿；SPAB'=

323233

2

3。兀2£4_=”,证明△)?'D咨APCD(SSS)可知阴影部分关于尸。对称，故重叠

3603

部分面积为2生应)=8几-8日(创2).

333

【解答】解：【问题解决】

(1)根据题意，AB^AB1,AC=AC,BC=B'C'；NBAC=NB'AC1,NABC

=ZAB'C',AACB=ZAC'B'的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相

等，

故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

(2)①如图:

作线段89,AW的垂直平分线，两垂直平分线交于。，点。为所求;

②：NBO8'=90°,OB=OB',

：.△808是等腰直角三角形，

OB=-^=3'\[2，

V2_

...90兀X3点=3点4—

1802_

点B经过的路径长为3&.cm,

2

故答案为：3加兀cm；

2

【问题拓展】

连接B4',交AC于连接出，PD,AA',PB',PC,如图:

•••点P为前中点，

.L8=/PAC[NBAC=30°，

由旋转得/%'B'=30°,PA^PA'=4,

在Rt△%M中，PM=/^・sin/%M=4Xsin30°=2,

：.A'M=PA,-PM=4-2=2,

在RtZ\A'DW中,

=挈，。叱犷=挈,

cos/PA'B'COS300

•••SMDP=Lxx4=生旦;

233

c„..„.30Kx424H

3603

下面证明阴影部分关于PD对称:

•・•/以。=/以'8'=30°,/ADN=/ADM,

：.ZAND=ZA'MD=90°,

：.ZPNA'