《子群的陪集》课件

子群的陪集子群和陪集的定义子群一个群G的子集H，如果H满足群的定义，则称H为G的子群。子群是群G的一部分，它本身也是一个群。陪集设H是群G的子群，a是G中的任意元素，则集合aH={ah|h∈H}称为H关于a的左陪集，集合Ha={ha|h∈H}称为H关于a的右陪集。子群与陪集的关系子群的陪集每个陪集都包含子群中所有的元素，以及子群之外的某些元素。陪集的划分一个群可以被其某个子群的陪集所划分，每个元素都属于且仅属于一个陪集。陪集的等价性两个陪集要么完全相同，要么没有共同元素。陪集的性质1不相交不同陪集之间没有公共元素。2覆盖所有陪集的并集等于整个群。3等势每个陪集的元素个数都等于子群的元素个数。陪集的运算1加法运算两个陪集的加法运算定义为：2乘法运算两个陪集的乘法运算定义为：3逆运算陪集的逆运算定义为：陪集的运算在群论中具有重要的作用，可以用来研究群的结构和性质。陪集的阶1阶定义陪集的阶定义为陪集中元素的个数。2与子群陪集的阶等于子群的阶。3重要结论陪集的阶与子群的阶相等，说明陪集中的元素个数与子群中的元素个数相同。陪集代数运算的性质加法陪集的加法满足结合律和交换律.乘法陪集的乘法满足结合律和分配律.单位元陪集的单位元是包含单位元的陪集.逆元陪集的逆元是包含逆元的陪集.左陪集和右陪集左陪集设G是一个群，H是G的子群，a∈G，则集合aH={ah|h∈H}称为a关于H的左陪集。右陪集设G是一个群，H是G的子群，a∈G，则集合Ha={ha|h∈H}称为a关于H的右陪集。左陪集和右陪集的关系1等价关系对于一个子群H，在G中定义两个元素等价的条件是它们属于同一个陪集。2划分所有的陪集构成了G的一个划分，也就是说G中的所有元素恰好属于一个陪集。3性质左陪集和右陪集可能不相同，但它们的基数相同，即它们包含相同的元素个数。导出子群定义群G中元素a的所有幂构成G的子群，记作⟨a⟩，称为由元素a生成的子群，也称为a的导出子群。性质导出子群是G的子群，且是包含a的最小子群。a是⟨a⟩的生成元。例子在整数加法群(Z,+)中，由元素3生成的子群⟨3⟩={...,-6,-3,0,3,6,...}。导出子群的性质1包含性导出子群包含原子群。2封闭性导出子群在群运算下封闭。3单位元导出子群包含原群的单位元。4逆元导出子群中每个元素的逆元也在导出子群中。导出子群的幂指数定义一个群的导出子群的幂指数是其所有元素的阶的最小公倍数性质如果一个群的导出子群的幂指数为n，则该群的每个元素的n次幂都是单位元正规子群定义设G是一个群，H是G的一个子群，如果对G中的任意元素g，都有gH=Hg，则称H是G的一个正规子群，记作H◁G。性质正规子群是群论中非常重要的概念，它满足一些重要的性质，例如：正规子群的陪集构成一个商群。正规子群与陪集1正规子群的定义对于群$G$的一个子群$N$，如果$N$的所有左陪集都等于它所有的右陪集，即对于所有$g\inG$，都有$gN=Ng$，那么$N$被称为$G$的正规子群。2正规子群的性质正规子群在群论中扮演着重要的角色，它具有许多独特的性质，例如：正规子群的陪集构成一个新的群，称为商群。3正规子群与陪集的关系正规子群的陪集具有特殊的性质，例如：正规子群的陪集构成一个新的群，称为商群。这在群论中具有重要的意义，它为研究群的结构提供了一个新的视角。同态和同构同态同态是指两个群之间的映射，它保持群运算。这种映射保留了群结构，允许我们比较不同群之间的关系。同构同构是同态的一种特殊形式，它是一个双射且保持群运算的映射。两个同构的群在结构上是相同的，尽管它们可能包含不同的元素。同态和同构的性质同态同态是保持群运算结构的一种映射。同构同构是一种双射同态，它完全保持了群的运算结构。同态定理同态定理指出，任何同态的商群与它的像群同构。同构定理同构定理指出，任何群都可以表示成一个简单群的直积。拉格朗日定理循环群对称群矩阵群拉格朗日定理指出，有限群的每个子群的阶都是该群的阶的因子。阿贝尔群所有元素的运算都满足交换律。在群论中，阿贝尔群也称为交换群。例如，整数集在加法运算下构成一个阿贝尔群。阿贝尔群的子群和陪集1交换律满足交换律的群2子群满足群运算的子集3陪集子群的平移集合循环群1定义循环群是满足所有元素都可以由一个元素的幂次生成的群，例如：整数集在加法运算下构成一个循环群，因为所有整数都可以由1的幂次表示。2性质循环群具有许多独特的性质，例如，所有循环群都是阿贝尔群，并且可以分解为一些有限循环群或无限循环群。3应用循环群在密码学、编码理论和计算机科学等领域有广泛的应用。循环群的子群和陪集子群循环群的子群也是循环群。我们可以通过循环群的生成元来确定其子群陪集循环群的陪集可以通过子群的生成元来计算。陪集的个数等于循环群的阶除以子群的阶群直积定义群直积是由多个群通过某种运算结合在一起形成的新群。例子两个群G和H的直积记为G×H，元素为(g,h)，其中g∈G，h∈H。群直积的子群和陪集1定义群直积是指将多个群组合成一个新的群，新群的元素是由各群的元素组成的有序元组。2子群群直积的子群是由各群的子群组成的元组，每个元组的元素都属于相应群的子群。3陪集群直积的陪集是由一个子群和一个元素组成的，每个元素都属于相应群的元素。群的同态和同构同态是两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。同构是两个群之间的同态，它是双射且保持了群运算的结构。群同态基本定理核群同态的核是一个正规子群，它包含了所有映射到单位元的元素。商群商群是由一个群的正规子群的陪集所组成的群。基本定理任何群同态都可以分解成一个到核的商群的同态，然后是到像群的同态。标准同构定理同态群之间的映射，保持群运算.同构同态且双射的映射.标准同构定理任何群同态的商群同构于其像群.解群定义解群指的是一个群，其元素可以通过有限次的操作分解成一系列子群的元素，且每个子群都满足可解条件。特点解群具备独特的性质，如每个元素都可通过有限次操作分解成一系列子群元素，且每个子群都满足可解条件。解群的性质可解群是指存在一个从自身到单位群的正规子群列,其商群都是循环群。递降中心列解群的中心列由一系列正规子群构成，每个子群都是前一个子群的中心化子群。证明解群的性质可以通过归纳法和中心化子群的概念来证明。群的基本结构定理有限交换群任何有限交换群都