专题5 立体几何 第1讲 空间几何体课件-高考数学二轮复习

第1讲空间几何体新高考核心考点2021年2022年2023年2024年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.空间几何体的表面积与体积第3题第5题第4题第11题第14题第9题第14题第5题

2.球的切、接问题

第8题第7题第12题

3.空间位置关系的判断与证明第12题第20题第10题第19题

第20题第18题第20题第17题第17题4.空间角与距离第20题第19题第9题第19题第20题第18题第20题第17题第7题第17题基础回扣•考教衔接以题梳点•核心突破目录索引

基础回扣•考教衔接1.(人A必二8.1节习题改编)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH∥B'C'∥FG.则左下方部分几何体是(

)A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.既不是棱柱,也不是棱台C解析

根据棱柱的定义,可知几何体是以五边形ABFEA'为底面的五棱柱.2.(人A必二8.4节例题改编)如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为(

)A.1∶2 B.2∶3C.3∶4 D.4∶5B3.(人A必二8.3节习题改编)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,则球的体积为

.

4.(人B必四11.1节习题改编)已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜高为,则这个正四棱锥的体积为

.

5.(人A必二8.3.2节例题改编)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要涂料

kg.(π取3.14)

423.9解析

一个浮标的表面积是2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847

8(m2),所以给1

000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847

8×0.5×1

000=423.9(kg).真题体验1.(2024·新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(

)B2.(2020·天津,5)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.12π

B.24π

C.36π

D.144πC3.(2023·新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

.

28解析

如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知以题梳点•核心突破考点一空间几何体的结构例1(1)给出下列说法:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3A解析

①不一定,只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线;②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.(2)已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5,侧面积为300π,AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上),M为AB的中点,一只蚂蚁从点B出发,绕圆台侧面一周爬行到点M,则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(

)A.30 B.40 C.50 D.60C解析

∵圆台上底面半径为10,下底面半径为5,母线长为l,∴S=πl(10+5)=15πl=300π,解得l=20,将圆台所在的圆锥展开如图所示,且设扇形的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离,设OA=R,圆心角是α,则由题意知10π=αR,①20π=α(20+R),②[对点训练1](1)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中真命题的序号是

.

②③④

解析

①假命题,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②真命题;③真命题,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;④真命题.(2)(2024·河北沧州模拟)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱DD1上一动点,则PB1+PC的最小值为

.

解析

如图1,将平面BB1D1D绕D1D翻折到与平面CC1D1D共面,如图2,图1图2考点二空间几何体的表面积和体积例2(1)(2024·福建漳州一模)如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍,若石磨的侧面积为64π,则圆柱底面圆的半径为(

)A.4 B.2 C.8 D.6A解析

设圆柱底面圆的半径为r,则圆柱的高为r,故石磨的侧面积为2×2πr×r=64π,解得r=4.(2)(2023·新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

.

(方法二

补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得知识提炼1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.空间几何体的表面积与体积公式

3.求空间几何体体积的三种常用方法

[对点训练2](1)如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构表面积为(

)A(2)极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55m,高19m,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体,正视图如图2所示,则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(

)(参考数据:9.52≈90,9.53≈857,315×1005≈316600,π≈3.14)A.9064m3

B.9004m3C.8944m3

D.8884m3图1图2A考点三球的“切”“接”问题例3(1)(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.100π

B.128π C.144π

D.192πA(2)(2024·广东深圳一模)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为(

)C解析

如图,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在线段O1O2的中点处.设球O与母线AB切于M点,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1≌△AOM,故AM=r1.同理可得,BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1.过点A作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,所以[延伸探究](变条件)本例(1)中的“正三棱台”改为“高为1,底面边长为4的正三棱锥”,求该球的表面积.解

由题意可知,正三棱锥外接球的球心位于高VM所在直线上,设为O,则OV=OC=R,VM=1,[对点训练3](1)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球表面积为(

)C解析

因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,(2)(2024·陕西咸阳二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=4,AC=3,BC