2024-2025学年山东省济南市高二上学期期中数学学情检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省济南市高二上学期期中数学学情检测试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知分别是平面的法向量，若，则（

）A． B． C．1 D．73．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（

）A． B．C． D．4．点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．7．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（

）A． B．1 C． D．8．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中，正确的有（

）A．直线在轴上的截距为B．直线必过定点C．若过点1,2的直线的截距相等，则该直线方程为或D．若两直线平行，则或10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（

）A．的焦点坐标为， B．的长轴长为C．直线的方程为 D．11．如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．若为的中点，则直线平面C．异面直线与所成角的正弦值的范围是D．直线与平面所成角的正弦的最大值为三、填空题12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为14．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为．四、解答题15．求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程.(1)与直线平行；(2)到原点的距离等于1.16．在平面内，，，C为动点，若，(1)求点C的轨迹方程；(2)已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.17．如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段的垂直平分线的方程；（3）求三角形的面积.（为坐标原点）19．已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．(1)求双曲线的方程；(2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．答案：题号12345678910答案ADACBCADBCCD题号11答案ACD1．A【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，方程可化为，所以直线的斜率为，即，又，所以倾斜角.故选：A.2．D【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解.【详解】由，所以，，解得.故选：D.3．A【分析】根据长轴以及离心率即可求解.【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即，解得，故，所以椭圆方程为，故选：A4．C【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.5．B根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B6．C【分析】根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解.【详解】，所以，得渐近线为，因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C7．A【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴点A到直线BC的距离为：d＝＝1×＝．故选：A本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.8．D【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可.【详解】曲线可化为，当时，，则，故此时曲线为椭圆的上半部分；当时，，则，故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；直线，表示一组斜率为的平行直线，如图，当直线过点2,0时，，解得；当直线与椭圆上半部分相切时，由，消化简得，由，解得，又直线与椭圆上半部分相切，则，故，要使直线与曲线恰有三个不同交点，结合图形可得，实数的取值范围为.故选：D.9．BC【分析】对A，令，求出直线在轴上的截距；对B，将直线方程变形后得到所过定点；对C，分截距为0和不为0，两种情况，求出直线方程；对D，根据两直线平行的充要条件求解.【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A错误；对于B，由，可得，所以直线过定点，故B正确；对于C，当直线在轴和轴上截距都为时，设直线方程为，将代入，可得，所以，当直线在轴和轴上截距都不为时，设方程为，代入，解得：，故此时直线方程为，综上，直线方程为或，故C正确；对于D，由题可得，解得或，当时，的方程为，的方程为，重合，矛盾，当时，的方程为，的方程为，满足条件，，故D错误.故选：BC.10．CD【分析】由题意可求得判断AB，利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C，联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB错误，设，则，，两式作差得，因为为线段的中点，所以，，所以，所以直线的方程为，即，所以C正确，由和，得，则，所以，所以D正确，故选：CD11．ACD【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断BCD选项.【详解】对于A选项，在正四棱柱中，，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，为定值，A对；对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，因为为的中点，则，则，，所以，，所以，与不垂直，故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错；对于C选项，，设，则，，所以，，因为，则，所以，，所以，，因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对；对于D选项，设平面的法向量为，，，则，取，可得，此时，，，所以，，当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对.故选：ACD.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.12．8【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式，求出的最大值．【详解】设，，，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为8.故8.13．【分析】先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出.【详解】因为，所以，.故答案为.14．/【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，则，则，所以，又，所以，整理得，所以.故答案为.

15．(1)(2)或【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件可求，即得解；（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解.【详解】（1）设所求直线为，即，因为此直线与平行，所以，解得，故所求直线为.（2）由于原点到直线的距离为，设所求直线为，即，所以，解得或，故所求直线方程为或.16．(1)(2)【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.(2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.【详解】（1）设，，，，得.（2），点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.故最短弦长为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，可证为的中点且，可得，又，由线面垂直的判定可证；（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.【详解】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，平面，所以平面．（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．18．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由条件得到，求椭圆方程；（2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程；（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积.【详解】（1）由题意可知，，，，椭圆的方程是；（2）椭圆的左焦点,直线的方程是，与椭圆方程联立，得，，，代入直线的方程得，线段的中点是，并且线段的垂直平分线的斜率是-1，线段的垂直平分线的方程是，即；（3）由（2）可知，，，原点到直线的距离，.本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，意在考查直线方程和椭圆中三角形面积的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.19．(1)(2)过定点【分析】（1）由双曲线几何性质求方程；（2）分斜率存在于不存在分别研究，直线方程与双曲线方程联立，设，则直线的方程为，与双曲线求交点得，同理，从而求出直线的方程，可证.【详解】（1）由题意可知：解得双曲线的方程为（2）当直线的斜率存