精练08 杠杆相关问题（解析版）

精练08杠杆相关问题（本专题包括杠杆静态平衡、动态平衡、最小力分析）【知识储备】一、杠杆(1)杠杆①定义：一根硬棒，在力的作用下如果能够绕着固定点转动，这根硬棒就叫杠杆。②杠杆五要素：支点O：杠杆绕着转动的点；动力F1：使杠杆转动的力；阻力F2：阻碍杠杆转动的力；动力臂l1：支点到动力作用线的距离；阻力臂l2：支点到阻力作用线的距离。(2)杠杆的平衡条件①杠杆平衡：当有两个力或几个力作用在杠杆上，若杠杆保持静止或匀速转动，则杠杆平衡。②平衡条件：动力×动力臂＝阻力×阻力臂即F1L1=F2L2(5)注意：①杠杆可以是直的，也可以是弯的。②动力和阻力使杠杆的转动方向刚好相反。决定杠杆转动的是力和力臂的乘积大小。③要使动力最小，必须使动力臂最长（如下两图所示）。④实际应用中要分清五要素，在列平衡式求解。【专题精炼】一．选择题（共5小题）1．（2022•绍兴模拟）如图所示，足够长的杠杆上放着质量不相等（m1＞m2）的两个球，杠杆在水平位置平衡，若两球以相同速度同时向远离支点的方向运动相等的时间，则杠杆（）A．仍平衡 B．大球那端下沉 C．小球那端下沉 D．无法确定【解答】解：开始时两球平衡，即力矩相等；当运动时，两球速度相同，则在相同时间内向远离支点的方向移动的距离相同，则大球的力矩增加的快，所以大球的力矩会大于小球的力矩，杠杆向大球那端下沉。故选：B。2．（2021•鹿城区校级三模）如图是在粗糙水平地面上的密度均匀长方体物块，O为重力作用点，用始终垂直于AB边的拉力，使物体匀速绕B点向右转动到虚线位置的过程，下列能正确表示拉力随时间变化的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可知，B为支点，O为重力作用点，阻力大小等于物体重力的大小，所以阻力大小不变；用始终垂直于AB边的拉力，则动力臂的大小不变；物体匀速绕B点向右转动到虚线位置的过程，阻力的力臂变小，根据杠杆的平衡条件F1L1＝F2L2可知，动力逐渐变小；物体在虚线位置时，阻力臂为0，所以动力为0，故D正确。故选：D。3．（2023•鹿城区校级一模）为了拔除外来入侵物种“一枝黄花”，农业专家自制轻质拔草器，如图所示，将拔草器左下端的叉子插入植株根部，用手对拔草器施力，可将植株连根拔起。若拔同一植株，手施力最小的是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，拔草器相当于一个杠杆，拔草时支点在O点，若拔同一植株，则草对拔草器的阻力一定，由杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可知，阻力臂越小，动力臂越大，动力越小。A、B、C图相比，动力臂相等，C图中的阻力臂更小，所以C图动力更小；C图与D图相比，阻力臂相等，D图的动力臂更小，所以C图动力更小，符合要求的只有C图。故选：C。4．（2021•海曙区模拟）如图甲所示的力学装置，杠杆OAB始终在水平位置保持平衡，O为杠杆的支点，OB＝20A，竖直细杆a的上端通过力传感器相连在天花板上，下端连接杠杆的A点，竖直细杆b的两端分别与杠杆的B点和物体M固定，水箱的质量为0.8kg，底面积为200cm2，不计杠杆、细杆及连接处的重力，力传感器可以显示出细杆a的上端受到作用力的大小，图乙是力传感器的示数大小随水箱中水的质量变化的图像，则（）A．物体M的密度为0.6×103kg/m3 B．当传感器示数为0N时，加水质量为1.4kg C．当加水质量为1.8kg时，容器对桌面的压强为1900Pa D．加水质量为2kg时，水对水箱底部的压力为31N【解答】解：A．由图乙可知，水箱中没有水时（m＝0），力传感器的示数为F0＝6N（即细杆a的上端受到的拉力为6N），由杠杆的平衡条件可得：F0×OA＝GM×OB；6N×OA＝GM×2OA；解得：GM＝3N。由图乙可知，当M完全浸没时，压力传感器的示数为24N，由杠杆的平衡条件可得：FA×OA＝FB×OB，24N×OA＝FB×2OA；解得：FB＝12N。对M受力分析可知，受到竖直向上的浮力、竖直向下的重力和杆的作用力，则此时M受到的浮力：F浮＝GM+FB＝3N+12N＝15N，那么M的体积为：V=V则M的密度ρMB．设M的底面积为S，压力传感器示数为0时M浸入水中的深度为h1，M的高度为h，当压力传感器的压力为零时，M受到的浮力等于M的重力3N，由阿基米德原理F浮力＝ρ水gV排可得：ρ水gSh1＝3N①；由图乙可知，当M完全浸没时，压力传感器的示数为24N，则此时M受到的浮力：F浮＝15N，由阿基米德原理可得：ρ水gSh＝15N②由①和②得：h＝5h1，由图乙可知，加水1kg时水面达到M的下表面（此时浮力为0），加水2kg时M刚好浸没（此时浮力为15N），该过程中增加水的质量为1kg，浮力增大了15N，所以，每加0.1kg水，物体M受到的浮力增加1.5N，当向水箱中加入质量为1.2kg的水时，受到的浮力为3N，此时传感器的示数为0N，故B错误；C．由选项B可知，每加0.1kg水，物体M受到的浮力增加1.5N，加水1kg时水面达到M的下表面，加水质量为1.8kg时，浮力为12N，物体M受到细杆b向下的压力：FB′＝F浮′﹣GM＝12N﹣3N＝9N，水箱对水平面的压力：F＝（m水箱+m水）g+GM+FB′＝（0.8kg+1.8kg）×10N/kg+3N+9N＝38N，容器对桌面的压强为：p=FD．加水质量为2kg时，M刚好完全浸没，由选项B可知此时M受到的浮力是15N，由阿基米德原理可知排开水的重力是15N，水对水箱底部的压力：F压＝G水+G排＝m水g+G排＝2kg×10N/kg+15N＝35N，故D错误。故选：C。5．（2021秋•江北区期末）有一质量分布不均匀的木条，质量为2.4kg，长度为AB，C为木条上的点，AC=1A．14AB B．12AB C．34AB 【解答】解：木条的重力：G＝mg＝2.4kg×10N/kg＝24N；设木条重心在D点，当C点放在托盘秤甲上，B端放在托盘秤乙上时，以B端为支点，托盘秤甲的示数是0.8kg，则托盘受到的压力：F压＝mCg＝0.8kg×10N/kg＝8N，根据力的作用是相互的，所以托盘秤对木条C点的支持力为8N，如图所示：由杠杆平衡条件有：FC×CB＝G×BD，即：8N×CB＝24N×BD，所以：CB＝3BD，因AC=14AB，所以CB则BD=13×CD＝AB﹣AC﹣BD＝AB−14AB−1欲使乙秤的示数变为0，需将甲秤移到D点，故向右移动的距离为12故选：B。二．填空题（共6小题）6．（2022•温州模拟）如图所示，两个完全相同的托盘秤甲和乙放在水平地面上，托盘秤的自重为9N，底面积为150cm2．木条AB质量分布不均匀（粗细忽略不计），A、B是木条两端，C、D是木条上的两个点，AD＝BD，AC＝DC．A端放在甲上，B端放在乙上，A、B下方各垫有一个大小和质量不计的小木块，甲的示数是6N，乙的示数是18N．则甲对地面的压强是1000Pa；若此时用细线系住A端，竖直向上拉细线，使A端缓慢上升，此过程中乙的示数不变（选填“变大”“变小”或“不变”）；若移动甲，让C点放在甲上，则乙的示数是16N。【解答】解：（1）由甲的示数是6N可知，甲托盘秤受到的压力FA压＝6N，则甲对地面的压力：F甲＝FA压+G托盘秤＝6N+9N＝15N，甲对地面的压强：p甲=F（2）若此时用细线系住A端，竖直向上拉细线，使A端缓慢上升，等效图如下图所示：由相似三角形的对应边成比例可得：EBAB由重力的作用点E不变、AB的长度不变可知，EBAB的值不变，则FB由杠杆的平衡条件G•FB＝F•HB的变形式F=FB把木条看做整体，受到分析可知：受到竖直向上的拉力F和B点的支持力FB支、竖直向下重力G作用处于平衡状态，由木条受到的合力为零可得：F+FB支＝G，则B点对木条的支持力不变，因B点对木条的支持力和木条对B点的压力是一对相互作用力，所以，木条对B点的压力不变，此过程中乙的示数不变；（3）图中等效图如下图所示：因A点和B点对木条的支持力与木条对A点和B点的压力分别是一对相互作用力，所以，FA支＝FA压＝6N，FB支＝FB压＝18N，对木条受力分析可知：受到竖直向上A点的支持力FA支和B点的支持力FB支、竖直向下的重力G作用处于平衡状态，由木条受到的合力为零可得，木条的重力：G＝FA支+FB支＝6N+18N＝24N，设AC为L，由AD＝BD、AC＝DC可知，木条AB的长度为4L，把A点看做支点时，B点的支持力为动力，木条的重力为阻力，由杠杆的平衡条件可得：FB支•4L＝G•AE，解得：AE=F若移动甲，让C点放在甲上时，如下图所示：把C点看做支点时，B点的支持力FB支′为动力，其力臂为3L，木条的重力G为阻力，其力臂为2L，由杠杆的平衡条件可得：FB支′•3L＝G•2L，解得：FB支′=23G因B点对木条的支持力与木条对B点的压力是一对相互作用力，所以，此时木条对B点的压力FB压′＝FB支′＝16N，则乙的示数为16N。故答案为：1000；不变；16。7．（2021•新昌县模拟）如图所示，OAB是杠杆，OA与BA垂直且OA＝2AB，在OA的中点处挂一个G＝10N重物，杠杆重力及摩擦均不计。若加在B点的动力F甲使OA在水平位置保持静止。如图甲所示，那么，此时F甲＝5N；若动力F乙始终与OA垂直，将杠杆由水平位置匀速向上提升重物，如图乙所示，则F乙的大小变化是变小（选填“变大”、“变小”“先变大后变小”或“先变小后变大”）；若动力F丙由竖直向上的方向沿逆时针缓慢地转到水平向左的方向，在此过程中OA始终保持水平静止，如图丙所示。请在答题纸上画出动力F丙随时间t的变化趋势。【解答】解：（1）由杠杆平衡条件得：G×OA2=即：10N×0A2=F甲（2）若动力F乙始终与OA垂直，将杠杆由水平位置匀速向上提升重物，此过程中，阻力和动力臂不变，阻力臂逐渐减小，根据杠杆的平衡条件可知动力变小；（3）如图所示，由图可知，当F丙由竖直向上的位置沿逆时针方向缓慢的转到水平向左的位置时，动力臂先变大后变小，阻力与阻力臂不变，由杠杆平衡条件可知，动力先变小后变大。且上图可以看出，F丙水平时，比F垂直OA时力臂小，所以动力更大。动力F丙随时间t的变化趋势如图所示：故答案为：5N；变小；见上图。8．（2021•绍兴模拟）如图所示，杠杆AB放在钢制圆柱体的正中央水平凹槽CD中，杠杆AB能以凹槽两端的C点或D点为支点在竖直平面内转动，长度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N．当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆容易绕D（选填“C”或“D”）点翻转，为使杠杆AB保持水平位置平衡，拉力F1＝6N的最小值，最大值F2＝24N．（杠杆、细绳的质量及摩擦均忽略不计）【解答】解：由图可知，D点更加靠近拉力一端，故当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时，杠杆容易绕D点翻转；当以C点为支点时拉力最小，以D点为支点时拉力最大，则根据杠杆平衡条件可得：F1×BC＝G×AC，F2×BD＝G×AD，因为AC＝CD＝DB，所以BC：AC＝2：1，BD：AD＝1：2，可得：F1×2＝12N×1，F2×1＝12N×2，解得，F1＝6N，F2＝24N。故答案为：D；6；24。9．（2023•滨江区模拟）学习了杠杆知识后，小金自制了一个杆秤，如图。秤杆、秤钩及秤纽的总质量为0.05千克，秤砣的质量为0.1千克，秤钩悬挂处A与秤纽O间的距离为4厘米。（1）已知秤杆、秤钩及秤纽组成的系统重心在O点。挂上重物后，将秤砣移至距O点16厘米的B处时，秤杆恰好处于水平平衡，则所挂重物为0.4千克。手提秤纽O的拉力为5.5牛顿；（2）称完以后，小金发现使用的秤砣生锈了，则称得的质量偏小（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。【解答】解：（1）根据杠杆平衡条件可得F1L1＝F2L2，故GA×OA＝GB×OB，即：mAg×OA＝mBg×OB，已知OA＝4cm，OB＝16cm，则所挂重物的质量：mA=m根据力的平衡条件可得，手提秤纽O的拉力为：F＝m′g+mAg+mBg＝（0.05kg+0.4kg+0.1kg）×10N/kg＝5.5N；（2）用天平称量物体时，如果秤砣生锈，会导秤砣的实际质量比所标质量偏大，即F2变大，而F1L1不变，根据F1L1＝F2L2可知L2变小，则称得的质量偏小。故答案为：（1）0.4；5.5；（2）偏小。10．（2022•台州模拟）小金用轻质木棒、小桶（容积100mL）等器材，制作了一个“密度秤”（如图所示）。已知AO＝10cm，秤砣质量为100g，桶内不装任何液体时，移动秤砣到B处，秤杆恰好处于平衡状态，请回答下列问题：（1）若OA＞OB，秤砣的质量＞小桶的质量（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）该秤的刻度是均匀（选填“均匀”或“不均匀”）的；（3）当小金向桶内装满某种液体后，需将秤砣向右移动8cm，秤杆再次达到平衡状态，则该液体的密度为0.8×103kg/m3。【解答】解：（1）由杠杆的平衡条件F1l1＝F2l2可得m桶g×OA＝m秤砣g×OB，即m桶×OA＝m秤砣×OB，由于OA＞OB，所以m桶＜m秤砣；（2）设桶内装满密度为ρ液的某种液体后，秤砣由B点向右移动到C点，秤杆再次达到平衡状态后，由杠杆的平衡条件F1l1＝F2l2可得：（m桶+m液）g×OA＝m秤砣g×（OB+BC），又m桶g×OA＝m秤砣g×OB，化简得：m液×OA＝m秤砣×BC，又m液＝ρ液V液，代入可得：ρ液=BCOA×m秤砣V液，由于OA、m（3）把OA＝10cm，BC＝8cm，m秤砣＝100g，V液＝100mL＝100cm3代入ρ液=BCOA×m秤砣V液中可得：ρ液=故答案为：（1）＞；（2）均匀；（3）0.8×103。11．（2022秋•诸暨市期中）小金是运动会仪仗队的旗手（如图）。他竖直举旗前进时，风给红旗的水平阻力是20N，其作用点可以看成在A点。已知A、B间的距离为1.6m，B、C间的距离为0.4m，B点手对旗杆施加的最小的力是100N。如果风力变大，小金可采取哪些方法仍保持旗子竖直将B点手向上移动一段距离（写出一种方法即可）。【解答】解：小金在竖直举旗前进时，以C为支点时，B处垂直于旗杆向左的力为动力，A处垂直杠杆向右的力为阻力，BC为动力臂，AC为阻力臂，且AC＝BC+AB＝0.4m+1.6m＝2m；根据杠杆的平衡条件可得：F1×BC＝F2×CA，所以最小的动力为：F1=F风力变大，使旗子仍保持竖直，可增大动力臂，即可将B点手向上移动一段距离。故答案为：100；将B点手向上移动一段距离。三．计算题（共2小题）12．（2021•西湖区校级二模）一根长为L，质量为m的均匀木杆平放在地面上，现要使木杆立起来，推力F与杆始终垂直。（1）力F至少需要对木杆做多少功？（2）设木杆立起来的过程中与水平面的夹角为θ，试推导出某一时刻F的表达式，并说明随θ增大，F大小如何改变。【解答】解：（1）根据图示可知，杠杆从水平位置到竖直位置移动的距离h=1力F做的功至少等于木杆克服重力做的功，即W＝Gh＝mg×12L（2）根据杠杆平衡条件和直角三角形知识可得：FL＝G×12F＝G×12cosθ=1答：（1）力F至少需要对木杆做的功为12（2）F＝G×12cosθ=113．（2023•滨江区模拟）如图所示为某小区道闸的结构原理，质量8kg、长4m的长直杆AB通过P、Q两点，固定在半径为15cm的圆盘C上，圆盘C能够绕O点自由转动，通过P点带动直杆转动。O点距A端为20cm，OP为圆盘直径，圆盘C与电动机M用齿轮连接。电动机M的齿轮盘顺时针转动时，长直杆AB随圆盘C逆时针转动。（g取10N/kg）（1）求杆AB水平静止时，电动机齿轮对圆盘C齿轮的力；（2）若不计摩擦，电动机的平均输出功率为72W，求道闸直杆从水平转到竖直位置完全打开需要的时间；（AB垂直地面、不计能量损失）（3）道闸匀速抬高，圆盘C齿轮受力怎么变？【解答】解：（1）杠杆自重提供阻力：G＝mg＝8kg×10N/kg＝80N；由杠杆平衡公式可知：F1L1＝GL2；作用在杠杆的动力：F1＝L2L1×G＝1.8m0.15m×80N＝960N；（2）不计摩擦，即额外功为零，此时电动机克服杠杆自重做的有用功等于消耗电能的总功。此时杠杆重心被提高：h＝1.8m。即：W总＝W有；Pt＝Gh.转动时间t＝GhP＝80N×1.8m72W＝2s；（3）由杠杆平衡条件可知：F1L1＝GL2，其中G不变，L1不变，则F1与L2的变化有关成正比。当杠杆抬高时，杠杆自重的力臂L2不断减小，所以圆盘C齿轮受力F1不断变小。答：（1）杆AB水平静止时，电动机齿轮对圆盘C齿轮的力为960N；（2）道闸直杆从水平转到竖直位置完全打开需要的时间2s；