2025年人教B版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教B版高二数学上册月考试卷58考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知集合则集合=()A.B.C.D.2、对于大前提小前提所以结论以上推理过程中的错误为（）A.大前提B.小前提C.结论D.无错误3、【题文】将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（）A.B.C.D.4、【题文】若直线（）被圆截得的弦长为4，则的最小值为()A.B.C.2D.45、【题文】某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩（试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分这间的人数约为总人数的则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A.200B.300C.400D.6006、已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A.3B.C.4D.7、设向量则是∥的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.即不充分也不必要8、用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A.7B.8C.9D.10评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、函数的值域为____．10、三条平行直线可以确定平面_________个。11、【题文】函数的图象为C：

①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；

③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；

以上三个命题中，其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).12、在四棱锥P-ABCD中；PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点。

（1）求证：AB⊥面BEF；

（2）设PA=h，若二面角E-BD-C大于45°，求h的取值范围．13、求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的______”．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)21、【题文】（本小题满分12分）

某市为了对学生的数理（数学与物理）学习能力进行分析；从10000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表：

。等级得分。

人数。

3

17

30

30

17

3

（Ⅰ）如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准；从样本中任意抽取２名学生，求恰有１名学生为良好的概率；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值为1.5）作为代表：

(ⅰ)据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望及标准差(精确到0.1)；

(ⅱ)若总体服从正态分布,以样本估计总体,估计该市这10000名学生中数理学习能力等级在范围内的人数．

（Ⅲ）从这10000名学生中任意抽取5名同学；

他们数学与物理单科学习能力等级分。

数如下表：

（ⅰ）请画出上表数据的散点图；

（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程（附参考数据：）22、某航模兴趣小组的同学；为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C处时，测得∠ABC=

105°和∠BAC=30°；经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

23、△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为27、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】试题分析：化简集合故选Ｂ．考点：集合的运算．【解析】【答案】B2、B【分析】小前提错误，因为没说明x>0.【解析】【答案】B3、A【分析】【解析】

试题分析：将函数的图象向左平移个单位得到函数即：的图象，再向下平移个单位，得到函数的图象；故选A．

考点：三角函数图象变换．【解析】【答案】Ａ4、D【分析】【解析】

试题分析：易知圆心为（-1,2），圆的半径为2，因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线过圆心，所以-2a-2b+2=0，即a+b=1。又

所以

考点：直线与圆的位置关系；基本不等式；点到直线的距离公式。

点评：做本题的关键是灵活应用“1”代换，使变形为从而就达到积为定值的目的，应用基本不等式。“1”代换是我们常用的方法，我们要注意熟练掌握。【解析】【答案】D5、A【分析】【解析】分析：先根据正态分布曲线的图象特征；关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．

解答：解：

∵成绩ξ～N（90，a2）；

∴其正态曲线关于直线x=90对称；

又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的

由对称性知：

成绩在110分以上的人数约为总人数的（1-）=

∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：×1000=200．

故选A．【解析】【答案】A6、B【分析】【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1；根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离；

∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4；

∴=

∵y12=4x1；

∴解得x1=或x1=4；

∵|AF|＞2；

∴x1=4；

∴A点到原点的距离为=4

故选：B．

【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．7、A【分析】解：向量=（1，x），=（x；4）；

若x=2tdt=t2=2；

则此时=（1，2），=（2，4），满足=2

∴∥．即充分性成立．

若∥则=解得x=±2．必要性不成立．

∴是∥的充分不必要条件．

故选：A．

根据积分先求出x；然后利用向量平行的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量关系的坐标公式是解决本题的关键．【解析】【答案】A8、B【分析】解：左边的和为当n=8时，和为

故选B．

先求左边的和再进行验证，从而可解．

本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】

令t=x2+2|x|-3==

结合二次函数的性质可得；t≥-3

∴且y＞0

故答案为：（0；8]．

【解析】【答案】令t=x2+2|x|-3，结合二次函数的单调性的性质可求先t的范围，然后由指数函数y=的单调性可求函数的值域。

10、略

【分析】【解析】试题分析：当三条直线都在同一平面时确定一个平面，当三条直线不在同一平面时，由任意两条可以确定一个平面，共可确定三个平面考点：确定平面的方法【解析】【答案】1个或3个11、略

【分析】【解析】

试题分析：化简得，由①是其对称轴，故正确；②时，在上单增，在故正确；ƒ向右平移个单位长度可以得到故不正确.

考点：1.正弦函数的对称性、单调性，2.函数的图像变换.【解析】【答案】①②12、略

【分析】

（1）以AB所在直线为x轴；以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥面BEF．

（2）求出面BCD的法向量和面DE的法向量；利用向量法能求出h的取值范围．

本题考查线面垂直的证明，考查实数的取值范围的求法同，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．【解析】证明：（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，

以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系；

则A（0；0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0）；

E（1，1，）；F（1，2，0）；

=（0，1，），=（0，2，0），=（-2；0，0）；

∴=0，=0；

∴CD⊥BE；CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．

∵AB平行于CD；∴AB⊥面BEF．

解：（2）设面BCD的法向量为则（0；0，1）；

设面BDE的法向量为（x；y，z）；

∵=（-1，2，0），=（0，1，）；

∴取x=2，得=（2，1，-）；

∵二面角E-BD-C大于45°；

∴cos＜＞=＜cos45°=

由h＞0，解得h＞

∴h的取值范围是（+∞）．13、略

【分析】解：一个三角形中；至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的三个内角都小于60°．

故答案为：三个内角都小于60°．

利用反证法所证明的命题的否定为假设；写出结论即可．

本题考查反证法的步骤，基本知识的考查，正确写出命题的否定是解题的关键．【解析】三个内角都小于60°三、作图题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（Ⅰ）样本中，学生为良好的人数为２０人．故从样本中任意抽取２名学生；则仅有１名学生为良好的概率为。

＝2分。

（Ⅱ）(ⅰ)总体数据的期望约为：=0.5×0.03+1.5×0.17+2.5×0.30+3.5×0.30+4.5×0.17+5.5×0.03=3.04分。

标准差=

＝1.16分。

(ⅱ)由于="3,"11

当x时，即x(-+)

故数学学习能力等级分数在范围中的概率0.6826．

数学学习能力等级在范围中的学生的人数约为6826人．8分。

（Ⅲ）

（ⅰ）数据的散点图如下图：

9分。

（ⅱ）设线性回归方程为则。

方法一:=="1.1"=4－1.1×4=-0.4

故回归直线方程为12分。

方法二:

∴时；

取得最小值10b-22b+12.5

即，∴时ｆ（a；ｂ）取得最小值；

所以线性回归方程为12分22、解：由条件可知∠ACB=45°；∠CBD=60°．

在△ABD中∵∠BAD=90°；∠ABD=45°，AB=80

∴

在△ABC中∠BAC=30°；∠ACB=45°，AB=80

根据正弦定理有

即

在△BCD中∴∠CBD=60°

根据余弦定理有

==

所以航模的速度米/秒．【分析】【分析】通过直角三角形求出BD，在△ABC中利用正弦定理求出BC，在△BCD中利用余弦定理求出CD，然后求出航模的速度．23、略

【分析】

求出直线AB的方程；求出对应点的坐标，结合三角形和梯形的面积，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

本题主要考查函数最值的求解，根据三角形和梯形的面积公式，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．【解析】解：AB的方程为y=-x+1；

则△PEF是等腰直角三角形；

∵P（a，b）；

∴△PEF的面积S=a2；

当y=b时，x=1-b=1-2a；

即H（1-2a；2a），则PH=1-3a，PN=2a，NB=1-a；

则梯形的面积S==2a-4a2；

则阴影部分的面积S=a2+2a-4a2=-a2+2a=-（a-）2+

∵得0＜a＜

∴当a=时，面积取得最大值

此时P（）．五、综合题(共4题，共28分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）25、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；