《电路分析基础》课件第9章

9.1三相电路

9.2对称三相电路的分析

9.3不对称三相电路的概念

9.4三相电路的功率

9.5练习题及解答提示

习题9第9章三相电路三相电路是复杂正弦交流电路的一种特殊形式。由于它在发电、输电和用电等方面较单相电路有许多优点，因此在电力供电系统中被广泛应用。

三相电路的特殊性在于：它是由三个幅值相等、频率相同、初相互差120°的对称电源构成的，而不同于一般的多电源电路。正是由于三相电源之间的这种特定关系，对于对称三相电路的分析可归结为单相计算，而对于不对称三相电路可采用我们已经学习过的电路一般分析方法来进行分析。本章主要介绍对称三相电源、对称三相电路的组成及电压和电流的相值和线值之间的关系，对称三相电路归结为单相计算的方法，并简要介绍不对称三相电路的计算及三相电路的功率。电路是由电源和负载通过一定的连接方式构成的。对称三相电源是由三个幅值相等、频率相同、初相依次滞后120°的正弦电压源连接成星形(Y)或三角形(△)组成的电源，如图9-1(a)、(b)所示。9.1三相电路图9-1对称三相电压源的连接这三个电源依次称为Ａ相、Ｂ相和Ｃ相，它们的电压瞬时表达式及其相量分别为(以uA作为参考正弦量)：

(9-1)(9-2)对于三相电源，通常把各相电压经过同一值(如最大值)的先后次序称为相序。若相序为A→B→C，则称为正序或顺序；相反，若相序为A→C→B，则称为反序或逆序。电力系统一般都采用正序。在三相电路分析中，如无特殊说明均指正序。

对称三相电压各相的波形和相量图如图9-2(a)、(b)所示。

图9-2三相电源电压的波形和相量图对称三相电压满足：

uA+uB+uC=0

(9-3)或

对称三相电压源是由三相发电机提供的。我国三相系统电源的频率为50Hz，入户电压为220V，而日、美、欧洲等国为60Hz、110V。(9-4)图9-1(a)所示为三相电源的星形(Y)连接方式，从三个电压源正极性端子A、B、C向外引出的导线称为端线，俗称火线。从中(性)点N引出的导线称为中线，或称零线。若把三相电压源的正极性端和负极性端顺次连接成一个回路，再从端子A、B、C引出端线，如图9-1(b)所示，就是三相电源的三角形(△)连接。三角形连接的电源不能引出中线。三角形连接时，各相电源的极性不能接错，否则，会在电源闭合回路中产生大电流，烧毁电机，造成事故。三相电路中的负载是由三个负载阻抗组成的，每一个负载称为三相负载的一相。若三个负载的阻抗相同，则称为对称负载；否则，称为不对称负载。三相负载也有星形(Y)和三角形(△)两种连接方式，如图9-3(a)、(b)所示。图9-3(a)中，三个负载的公共点N′称为三相负载的中点。图9-3三相负载的连接方式由于三相电源和三相负载均有星形(Y)和三角形(△)两种连接方式，因此当三相电源和三相负载通过供电线连接构成三相电路时，可以有四种不同的连接方式，它们分别是：Y—Y连接、Y—△连接、△—Y连接和△—△连接。

三相电压源通常都是对称的；负载可能对称，也可能不对称。无论三相负载是Y接还是△接，只有当三相负载完全相等，即ZA=ZB=ZC=Z,才称为对称三相负载。而对称三相电路是由对称三相电源、对称三相负载及对称三相线路组成的电路。三相线路是指三相端线，若各端线阻抗相等，则称为对称三相线路。在Y—Y连接中，可把三相电源的中性点Ｎ和负载的中性点N′用一条具有阻抗为ZN的中线连接起来，如图9-4中虚线所示，这种三相四线制电路在供电系统中用的最多。对于对称三相电路，负载阻抗ZA=ZB=ZC=Z，端线阻抗ZlA=ZlB=ZlC=Zl，若取N′点为参考点，由节点分析法得:即(9-5)由式(9-5)可见，两中性点间的电位差为零，则中线电流，也就是说，在对称三相电路中，中线可省略不用，这就构成了三相三线制电路。但是，实际负载一般难以达到完全对称，故中线往往存在因不对称而引起的电流。图9-4三相四线制的Y—Y三相电路在三相电路中，将每相电源或每相负载上的电压称为电源或负载的相电压；流过每相电源或每相负载的电流称为电源或负载的相电流。火线间的电压称为线电压；火线中的电流称为线电流。习惯上将关于相电压、相电流的量用下标“p”表示，将关于线电压、线电流的量用下标“l”表示。9.2对称三相电路的分析我们以三相电源端为例(负载端也相同)，说明线电压(电流)与相电压(电流)的关系。在图9-1(a)所示电路中，线电流等于相电流，而线电压不等于相电压。三相电源的线电压为，相电压为，线电压和相电压的关系为(9-6)显然，星形连接的对称三相电源，在数值上线电压是相电压的倍，在相位上线电压超前对应的相电压30°。若以Ul表示线电压的有效值，则它与相电压的有效值Up的关系为

(9-7)

星形连接的对称三相电源的线电压与相电压之间的关系，可用图9-5(a)所示的电压相量图表示，也可用图9-5(b)表示，它是根据式(9-6)做出的。图9-5对称三相电源Y接的相电压和线电压关系

星形连接的对称三相电源的电压、电流关系对星形连接的对称三相负载也适用。

图9-3(b)所示为三相负载的△连接形式。显然，线电压等于相电压，而线电流和相电流不相等。下面讨论线电流与相电流间的关系。

由图9-3(b)可得线电流与相电流

间的关系为

(9-8)若负载为对称负载，即ZA=ZB=ZC=Z，并取

，则可得线电流与相电流的相量图如图9-6所示，即

(9-9)图9-6对称三相负载三角形连接的线电流和相电流关系由式(9-9)可知，在数值上线电流为相电流的倍，在相位上线电流滞后对应的相电流30°。若以Il表示线电流的有效值，则与相电流的有效值Ip的关系为

(9-10)

同理，三角形连接的对称三相负载的电压、电流关系对三角形连接的对称三相电源也适用。由于对称三相电路是一类特殊的正弦交流电路，因此正弦稳态电路的相量分析完全适用于三相电路的分析和计算，并且根据对称三相电路的特点，可简化对称三相电路的分析与计算。

例9-1

对称三相电路如图9-4所示，已知ZA=ZB=ZC=Z=

(6.4+j4.8)Ω,ZlA=ZlB=ZlC=Zl=(3+j4)Ω，线电压UAB=380V，求负载端的线电压和线电流。

解该电路为Y—Y对称电路，由于UNN′＝0，故各线电流和相电流相互独立，彼此无关。那么只要分析其中一相，其他两相的电流可根据对称性直接写出，即对称的Y—Y三相电路可归结为一相计算。图9-7为一相计算电路中的Ａ相电路。令，由图9-7可得线电流为

故

图9-7一相计算电路

再求相电压，然后利用线电压和相电压的关系就可求得负载端的线电压。Ａ相的相电压为

由式(9-6)得对应于的线电压为

由对称性得:

由以上分析可见，由于具有对称性，三相电路的计算可简化为一相计算。其实，无论电源端是Y形接法还是△形接法，只要知道施加于负载端的线电压，就可对负载端进行分析和计算。

例9-2

图9-8所示对称三相电路中，Z=10∠60°Ω，线电压，试求负载端的相电流和线电流。

图9-8例9-2题图

解负载为△形接法，线电压等于相电压,故相电流为

由对称性得：

由式(9-9)即线电流和相电流间的关系，得线电流为

由对称性得:

由以上分析可知，求解△形负载的三相电路时，一般需知每相负载上所加的电压，然后由已给负载阻抗Z，即可求得某相负载的相电流，再根据线电流和相电流间的关系，即可求得该相负载对应的线电流。即仍可计算一相，另两相由对称性推知。

对于△形连接的三相负载，也可等效变换为Y接三相负载，根据已知条件，先求出线电流，原电路中的相电流可由线电流和相电流的关系得到。

例9-3

三相对称电路如图9-9(a)所示，电源线电压有效值为380Ｖ，

Z1=10+j10Ω，Z2=18+j24Ω,求、和。

图9-9例9-3题图

解当三相电源的连接方式没有明确给出时，那么其连接方式可以是△形，也可以是Y形，但要保证三相电源提供给负载端的线电压是一定的。为计算方便,通常假设电源

是Y形连接。

设电源A的相电压为

两组对称负载，一个是△形连接，一个是Y形连接。若对负载Z2进行△—Y变换，则可以对A相进行单独计算。△—Y变换如图9-9(b)所示，其中

由于对称性，中性点N1和N2是同电位点(即重合在一起)，由此得A相等效电路如图9-9(c)所示。由图9-9(c)得：

则

为了求，回到原电路，如图9-9(a)所示。是△形负载端线Ａ的线电流，而等于△形负载的相电流，即。由式(9-9)得

一般来说，分析含有多组对称负载的对称三相电路时，比较简单的方法是把电源和负载都变换成Y形连接，再取出一相进行计算，最后再回到原电路中根据电压、电流的相、线关系求出待求量。三相电路中，只要有一部分不对称就称为不对称三相电路。

不对称三相电路通常指负载是不对称的，而电源仍是对称的。对于不对称三相电路的分析，一般不能用上一节介绍的一相计算方法，而应用KCL、KVL、网孔法、节点法等正弦稳态电路的分析方法进行分析和计算。

图9-10(a)所示的Y—Y连接电路中，三相电源是对称的，但负载不对称。9.3不对称三相电路的概念图9-10不对称三相电路当开关S打开，即无中线时，由节点法以N′点为参考点，可得

(9-11)由于阻抗不对称，故一般情况下,即N和N′点电位不同。图9-10(b)为各电压相量图，可见N点和N′点不重合，该现象称为中性点位移。根据中性点位移的情况可判断负载端不对称的程度，当中性点位移较大时，会造成负载端的电压严重不对称，将导致负载不能正常工作。从相量图还可看到，各相的工作是相互关联而不是各自独立的。当开关S闭合，即有中线时，若中线的阻抗ZN=0，则可强迫使，迫使各相保持独立，因而各相可分别单独计算。虽然各相负载不对称，

但加在各相负载上的电压仍是一组对称电压，克服了无中线时各相负载上电压不对称的缺点。所以,在负载不对称的情况下中线的存在非常重要，它能起到保证安全供电的作用。由于线电流、相电流不对称，故中线电流一般不为零，即

当(无中线)，即电源中性点和负载中性点不重合时，各相负载的相电压为

(9-12)若中性点间电压表示为，因，故各相负载的相电压为

(9-13)

例9-4

图9-11为不对称负载的Y—Y连接电路，负载Z1=10∠30°Ω，Z2=20∠60°Ω，Z3=15∠－45°Ω，线电压的有效值为380Ｖ。求：

(1)图9-11(a)所示三相电路的线电流和中线电流。

(2)图9-11(b)所示无中线时的线电流及负载中性点N′与电源中性点Ｎ之间的电压。

图9-11例9-4题图

解

(1)相电压有效值为

若以为参考相量，则有

虽然三相负载不对称，但电源为一组对称电源，且有中线存在(中线阻抗ZN=0)，所以各相可分别单独计算。各线电流分别为：

中线电流为

2)若取消中线，电路如图9-11(b)所示，这时分配到各相负载上的电压将不平衡，不可逐相分别计算。可用正弦稳态电路的分析方法来分析，常用网孔法、节点法求解。本题用网孔法分析如下：设网孔电流、如图9-11(b)中所示，则网孔方程为

解得：即线电流分别为：

负载中性点至电源中性点的电压为

有中线时，为零;无中线时，的数值为

57.12Ｖ，中性点位移较大，使负载上的电压严重不对称，将导致负载不能正常工作

例9-5

在图9-12(a)所示电路中，若(电容)，而ZB=ZC=R(R为白炽灯的等效电阻)，并且，则电路是一种测定相序的仪器，称为相序指示器。试说明在三相电源对称的情况下，如何根据两个灯泡承受的电压确定相序。

图9-12例9-5题图

解由节点分析法根据式(9-11)得

设电源端相电压，并代入已知参数，得

由式(9-13)可知，Ｂ相灯泡承受的电压为

即

UBN′=1.5Up

Ｃ相灯泡承受的电压为

即

UCN′=0.4Up

由以上结果可以看出：Ｂ相负载上的电压幅值远大于Ｃ相负载上的电压幅值。因此，Ｂ相灯泡的亮度大于Ｃ相灯泡的亮度，即当指定电容所在相为Ａ相后，较亮的灯泡所接的是Ｂ相，较暗的灯泡所接的是Ｃ相。由相量图可以很清楚地看出各相电压之间的关系，如图9-12(b)所示。

综上分析可见，对于Y—Y连接的不对称三相电路，只要求出三相电路中性点间的电压(用节点法比较方便)，由于三相电源是给定的，那么加在每相负载上的电压就确定了，待求响应便可求出。如不特别说明，三相电路的功率一般都指三相总功率。与一般的正弦稳态电路相同，三相电路的功率也有有功功率、无功功率、复功率等。

对于对称三相电路，单相有功功率为

Pp=UpIpcosθZ

三相功率为

P=3Pp=3UpIpcosθZ

(9-14)9.4三相电路的功率当负载作星形连接时，

当负载作三角形连接时，

(9-15)(9-16)将式(9-15)和式(9-16)代入式(9-14)，则对称三相电路的三相总功率又可表示为

即

式(9-17)中的阻抗角θZ同式(9-14)中的阻抗角，都是指每相负载的功率因数角，即相电压和相电流的相位差。(9-17)

同理可得对称三相电路的无功功率和视在功率分别为：

不对称三相电路的总功率需分别计算出三相各自的功率再相加得到。在三相电路中，三相负载吸收的复功率等于各相复功率之和，即。在对称三相电路中，因为，所以总的复功率。

(9-18)

(9-19)需要特别指出的是，对称三相电路的瞬时功率是恒定的，且等于其平均功率P。下面分析对称三相电路的瞬时功率。

设，，则Ａ相的瞬时功率为

同理，得

在任一瞬间，三相瞬时功率之和为

(9-20)由分析结果可见，虽然每一相的瞬时功率是随时间变化的，但三相的瞬时功率之和却是一个常数，且等于三相电路的平均功率。这是对称三相电路的一个优越的性能，对三相电动机而言，该性能可使电动机转动平稳。

例9-6

已知三相对称电源的线电压Ul=380V，对称负载Z=3+j4Ω。求：

(1)负载是星形连接时的有功功率P，无功功率Q，视在功率S。

(2)负载是三角形连接时的有功功率P，无功功率Q，视在功率S。

解

(1)负载星形连接时，有

每相负载的阻抗角为

可得:

有功功率

无功功率

视在功率

(2)负载三角形连接时，有

有功功率

无功功率

视在功率

由该例的分析可看出，在线电压相同的情况下，负载由Y形连接改为△形连接后，相电流为原来的倍，线电流为原来的3倍，所以,负载△形连接的功率是负载Y形连接时功率的3倍。

1.三相Y接电源的相电压相量为，

，，请问它们之间的相序如何？

提示：相序是指三个电压达到最大值的先后次序。这是一组对称三相电源，相位差为120°。［A→C→B］9.5练习题及解答提示

2.Y形连接的对称负载，每相阻抗Z=(8+j6)Ω，线电压为220V，试求各相电流，并计算三相总功率。

提示：Y接对称负载，有，Il=Ip。设

可单独计算，可由对称性推出。总功率直接用式计算。

［,P=3871W］

3.三相对称电流向对称△形负载供电，已知线电流

，试求负载的相电流。

提示：参见图9-3(b)所示的线、相电流关系，由已知的，可知和。

再由式(9-9)即可求得相电流，相电流也只需要解出一相，另两相可推知。

4.某一三相对称负载接在380Ｖ的线路上使用，已知功率为10kW，功率因数为0.8，求电流。

提示：若无特别说明，三相电路中所给电压均指线电压，电流均指线电流。由式(9-17)可求得电流。

［19A］

5.Y—Y连接的三相三线制电路，电源对称，正序，线电压有效值为240Ｖ，负载ZA=3∠0°Ω，ZB=4∠60°Ω,ZC=5∠90°Ω,试求每相电流。

提示：参见图9-11(b)所示电路，可用网孔法，见例

9-4。也可用节点法，先求出，然后由式(9-13)可求出各相负载的相电压，相电流便可求出。

9-1对称三相电路，三相负载作星形连接，各相负载阻抗Z=3+j4Ω，设对称三相电源的线电压

，试求各相负载电流的瞬时值表达式。

9-2已知三角形连接的对称负载接于对称星形连接的三相电源上，若每相电源相电压为220Ｖ，各相负载阻抗Z=30+j40Ω，试求负载相电流和线电流的有效值。习题9

9-3电源线电压为380Ｖ的对称三相电路如题图9-3所示，已知|Z1|=10Ω,cosθ1=0.6(θ1>0),Z2=－j50Ω,ZN=

(1+j2)Ω,求线电流。

题图9-3

9-4题图9-4所示的对称三相电路中，已知负载吸收的功率为2.4kW，功率因数λ=0.6，为对称三相感性负载，线电压U2=380V。

求：

(1)线电流Il。

(2)负载为星形连接时的每相阻抗ZY。

(3)负载为三角形连接时的每相阻抗Z△。题图9-4

9-5已知对称三相电路如题图9-5所示，三相电路的线电压Ul=380V(电源端)，三角形负载阻抗Z=(4.5+j14)Ω，端线阻抗Zl=(1.5+j2)Ω。试求线电流和负载的相电压，并作相量图。

题图9-5

9-6将题图9