《电路分析基础》课件3第8章

8.1引言8.2正弦波与相量8.3频域下的三个基本元件

8.4频域下的电路定律

8.5RLC串联与RLC并联电路

8.6简单电路的分析

8.7复杂电路的分析

8.8相量图分析

*8.9正弦稳态电路的计算机分析

本章小结思考题习题8

到目前为止，讨论的电路都是直流电源作为激励。从本章开始，将要研究激励电源为正弦波的电路。从前面两章讲述的一阶电路和二阶电路的知识可知，电路的响应由两部分构成，即自由响应和强迫响应。由于自由响应的形式是含有负指数的，因此当t→∞时，自由响应将会趋于零，因此，自由响应也称为暂态响应。当激励是直流电源时，强迫响应也是常数，由于t→∞只剩下强迫响应了，因此这时的强迫响应就称为稳态响应，即直流稳态。8.1引言如果输入正弦电源呢？如图8-1所示，当电源电压uS=Usmcosωt时，响应u0也由自由响应和强迫响应组成。

自由响应与输入电源是无关的，它将随着时间的增加而消失。这时的强迫响应与激励电源的形式是相同的，也是同频率的正弦波，即u0=uof=Uomcos(ωt+θ)，也称为正弦稳态响应。也就是说，正弦稳态响应是微分方程的特解，正弦稳态分析就是要解决这个特解的问题。图8-1动态电路的激励与响应用时域的方法来求正弦稳态响应是非常麻烦的。本章将用变换的方法来进行正弦稳态分析，这就是相量法。从本章开始，专门研究正弦函数输入下的稳态解，即特解。为什么要用较大篇幅研究正弦稳态电路，即我们常称为交流电路呢？这主要基于以下原因：

(1)正弦交流电应用广泛，无论是工厂、照明、家用电器等，几乎都是交流电。

(2)正弦交流电容易产生、传输，需要直流时可方便地将交流变为直流。

(3)正弦波是一个基本信号，借助于傅里叶级数，可以把非正弦周期信号分解为各种频率不同的正弦波。

因此，正弦稳态分析具有广泛的理论及实际意义。8.2.1正弦信号

通常把sin函数和cos函数统称为正弦函数或正弦信号。考虑正弦电压

u=Umsin(ωt+φ)

(8-1)

其中，Um为正弦波的振幅即最大值；ω为角频率简称频率，ω=2πf，单位为rad/s；φ称为初相或相位，即正弦波的起点。

如u1=10sin(ωt+45°)，u2=20cos(ωt+45°)，画出波形如图8-2所示。8.2正弦波与相量图8-2正弦波正弦波的振幅、频率、初相称为正弦波的三要素，这三个量确定后，正弦波就确定了。反之，在正弦波的图形中找出这三个量，正弦波的表达式就写出来了。

两个同频率的正弦波的初相之差称为相位差。

为了计算出两个正弦波的相位差，必须先将正弦波转换成sin函数或cos函数，相关的转换公式为

sin(ωt±180°)=-sinωt

cos(ωt±180°)=-cosωt

sin(ωt±90°)=±cosωt

cos(ωt±90°)=sinωt如图8-2所示，两个正弦波u1与u2的相位差，可以将u1化成cos，即

u1=10sin(ωt+45°)=10cos(ωt+45°-90°)

=10cos(ωt-45°)

相位差为θ=-45°-45°=-90°。

也可以将u2转化成sin函数，即

u2=20cos(ωt+45°)=20sin(ωt+45°+90°)

=20sin(ωt+135°)相位差为θ=45°-135°=-90°，表示u1滞后u290°，或u2超前u190°。相位差与起始点无关。

正弦电压或电流的另一个重要特征是它的有效值。在一个周期时间里，若交流电量与直流电量有相同的光、热等效应，则对应的直流电量的数值称为交流电量的有效值。设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流I。当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为

当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内消耗的电能与上式相同，即

或

(8-2)

在正弦情况下，可以计算得

(8-3)即正弦量的有效值等于正弦量的最大值除以。以后都用相应的大写字母表示正弦交流电量的有效值。工程上，当谈到正弦交流电量大小时，若无特殊说明，均指有效值。例如，日常用的正弦交流电压为220V，是指有效值，其最大值。常用的交流电压表、电流表测量的也是它们的有效值。8.2.2复数运算

在正弦稳态分析中，正弦量被变换为相量表示。因为相量比正弦量更容易计算，相量是用来表示正弦量的复数，所以有必要对复数运算进行复习。

设X为一复数，a和b分别为其实部和虚部，则

X=a+jb

(8-4)其中，，为虚数单位。上式为复数的代数形式。X也可以写成极坐标形式或指数形式

(8-5)图8-3复数X的矢量表示复数X还可以在平面上用矢量表示，如图8-3所示。矢量的长度为X的模r，矢量与实轴的夹角是X的辐角。a、b、r和之间的关系可以从图8-3中得出

(8-6)

(8-7)

所以，X也可以写为

设,

,

,复数的代数运算为加法运算：

X1+X2=(a1+a2)+j(b1+b2)

(8-8)

减法运算：

X1-X2=(a1-a2)+j(b1-b2)

(8-9)

乘法运算：

(8-10)

除法运算：

(8-11)

倒数运算：

(8-12)

复数共轭：

(8-13)

从以上这些运算可以总结出其基本规律：

复数的加减运算，先化为代数式，再运算。复数的乘除运算，先化为指数式，再运算。因此，在复数的运算中，常需进行复数两种形式间的转换。

【例8-1】

已知：A1=10+j3,A2=-2+j6,B1=10∠30°,B2=2∠-170°，计算：。

解由于复数可以用矢量表示，因此复数的加减也可以用几何作图来实现。设有复数A和B，可以用两种方法作图进行加减运算。

方法一是平行四边形法则，A+B的和如图8-4所示。如果是A-B，应写成A+(-B)，这样又变成了A加上-B。其中-B是将B旋转180°的矢量。A-B的差如图8-4所示。

方法二是多角形法则，即将所有要相加的矢量头尾相连(有箭头的端称为头，另一端称为尾)，最后的头尾相连就是多个矢量相加的结果。设有三个矢量A、B、C，将它们作平移后头尾相连，再将最前矢量的尾和最后矢量的头相连就是和A+B+C。如图8-5所示。图8-4平行四边形法则图8-5多角形法则平行四边形法则对求两个矢量的相加很方便，但对多个矢量的相加就显得比较麻烦。而多角形法则对多个矢量的相加就十分容易。所以，在正弦稳态电路的分析中，多采用后者。

另外，还有一个特殊的复数，即

1∠90°=ej90°=cos90°+jsin90°=j

(8-14)(8-15)

从以上可知，复数j实际上就是模为1，角度为90°的矢量。进一步可知，jA就是将矢量A正方向旋转90°，其模不变。-jA就是将矢量A反方向旋转90°，如图8-6所示。图8-6jA和-jA的矢量8.2.3相量

正弦函数的相量是含幅值和相角的复数。

相量的概念可以用欧拉公式来描述：

e±jθ=cosθ±jsinθ

(8-16)

它给出了正弦和余弦函数的另一种表示方法。将余弦函数作为指数的实数部分，将正弦函数作为指数的虚数部分，即

cosθ=Re［ejθ］

(8-17)

sinθ=Im［ejθ］

(8-18)其中，Re表示取实部；Im表示取虚部。

在分析正弦稳态响应的过程中，采用余弦函数，利用式(8-17)，正弦电压可以表示为

(8-19)

或

(8-20)在上式中，是一个包含给定正弦函数的幅值和相角的复数，称这个复数为给定正弦函数的相量，则

(8-21)其中，符号

读作“的相量变换”。而反相量变换记为

(8-22)

或简写为

(8-23)相量变换可以将时域的正弦量变换到复数域，有时也称为频域。式(8-23)将时域和频域联系起来，也就是说在时域进行的三角函数运算，可以变换到频域进行复数的运算，运算的结果再反变换到时域。

这种变换分析方法在电路、信号与系统的分析中占有重要的地位。在后续课程“信号与系统”中还要讨论其他的变换方法。相量变换法分析正弦稳态电路的基本思路可用图8-7说明。上面三个方框表示正弦稳态电路的时域分析，当正弦激励时，正弦稳态分析就是求解微分方程的特解，同时要进行复杂的三角函数运算，计算十分复杂。下面三个方框示意正弦稳态电路的相量法分析，正弦电压、电流进行相量变换后变成相应的相量，时域网络变换成频域网络，进行的是复数计算。显然相量法分析计算简化，规律性强。在下面的分析中可以看到，它将把电阻电路与正弦稳态电路的分析方法统一起来。图8-7相量变换法的基本思路应用相量变换法进行正弦稳态电路的分析，应注意以下问题。

(1)本书的反相量变换采用的是取实部，即

(8-24)

也有的书采用取虚部，即

(8-25)这两种方法实质上是相同的。但在同一问题中不允许采用两种标准，即要么采用取虚部，要么采用取实部。两种结果没有什么区别。

(2)相量分为两种表示形式，一种称最大值相量，即相量的模取最大值，如，相量带有下标“

m”，这在国外教材上用得较多。在我国常用有效值相量，即相量的模取有效值，如。显然，它们之间相差

倍，并没有本质的差别。只是在进行反相量变换时，正弦量的最大值是。在本书中，一般使用有效值相量。

(3) 相量与正弦量是一一对应的关系，即一种变换的关系。相量与正弦量并不是相等的关系。因为相量是复数或矢量，是频域的表示形式。正弦量是时间函数，是时域的表示形式。

既包含时域又包含频域的表达式是没有实际物理意义的。(4)正弦量变换成相量的运算，其先决条件是：正弦量必须是同频率的。即相量的运算是在同频率下进行的，不同频率的正弦量不可变换成相量运算。

(5)为了表达和运算方便，对电路的电压或电流作如下规定：

用小写字母u、i表示时间函数；用大写字母U、I表示有效值；用带下标“m”的量Um、

Im表示最大值；用大写字母上带“·”的量、表示相量。所以在书写时应注意这些差别。

【例8-2】

已知i1=5sin(ωt+30°)A,i2=-8cos(ωt-45°)A，i3=-6sin(ωt-120°)A。求i=i1+i2+i3。

解先进行相量变换

其最大值相量：

进行反相量变换，有

i=2.64cos(ωt-39.37°)A

自测题8-1

若电流i1=10sin(100t+30°)A，i2=20sin(100t-10°)A，则i1的相位比i2超前

。

(Ａ)20°

(Ｂ)-20°

(Ｃ)40°(Ｄ)-40

自测题8-2

若正弦电压源有效值U1=U2=100V，它们顺向串联后的电压有效值与反向串联后的电压有效值相等，则和的相位差可能为

。

(Ａ)0

(Ｂ)±

(Ｃ)±

(Ｄ)其他

自测题8-3

在正弦稳态电路中，若两元件串联时，元件上的电压分别为

则总电压u=u1+u2=

V。

(Ａ)173.2∠45°(Ｂ)193.2∠45°

(Ｃ)j173.2

(Ｄ)51.8∠45°

自测题8-4

在正弦稳态电路中，下列各式错误的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)U＝50sin(

t＋45°)V

I＝6Ａu＝30cos(200t＋40°)V

自测题8-5

在正弦稳态电路中，下列各式正确的是

。

(Ａ)I＝30∠-30°Ａ

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)上节引入了相量的概念，只要解决了电压、电流的频域表示形式，也就解决了电源的相量表示。但如何将时域电路变换为频域电路呢？本节将讨论这个问题，即频域下电阻元件、电感元件和电容元件的伏安关系。

8.3.1电阻元件

如图8-8(a)所示电阻元件，由欧姆定律可知，如果电阻上的电流为正弦函数iR=Imcosωt，电阻两端的电压为

uR=RiR=RImcosωt=Umcosωt8.3频域下的三个基本元件其中，电压和电流的最大值与有效值为

Um=RIm,U=RI

(8-27)

相量变换为

所以，有

(8-28)这就是电阻两端电压和电流的关系。图8-8(b)为频域下电阻的电路图。式(8-28)包含了一个重要信息：电阻两端的电压和电流之间没有相位移动，也就是说，电压和电流是同相位的。可以用图8-8(c)的矢量图(也称相量图)表示。图8-8电阻元件的时域和频域电路8.3.2电感元件

下面推导电感的电流相量与它两端的电压相量之间的关系。如图8-9(a)所示电感元件，如果电感上的电流为正弦函数iL=Imcosωt，则电感两端的电压为

(8-29)其中，电压和电流的最大值与有效值为

Um=ωLIm,U=ωLI

(8-30)

相量变换为，则电感电压为

因为

，所以有

(8-31)

这就是电感两端电压和电流的关系。图8-9(b)为频域下电感的电路图。从式(8-31)中可看出，电压和电流之间的相位正好相差90°，也就是说，电压超前电流90°或电流滞后电压90°，其关系可以用图8-9(c)的相量图表示。图8-9电感元件的时域和频域电路由式(8-30)，可定义

(8-32)

式中，XL称为电感的感抗，单位为Ω。显然感抗与电阻相当，不同的是感抗XL是频率的函数，并与ω成正比。当一定大小的电流通过时，频率越高，感抗越大，电压越大。这是因为频率越高，电流和相应的磁通变化越快，自感电压就越大的缘故。因此在正弦稳态电路中，感抗体现了电感元件反抗正弦电流通过的作用。有两种极端情况：

(1)当ω→0时，XL→0，即对于直流电流，电感元件相当于短路。这与前面介绍的直流稳态下电感等效于短路的概念是一致的。

(2)当ω→∞时，XL→∞，即电感元件对极高频率的电流有极强的抑制作用，极限情况下相当于开路。因此，在电子线路中，常用电感线圈作为高频扼流圈。

8.3.3电容元件

与推导电感的电流相量与它两端的电压相量之间的关系类似。如图8-10(a)所示电容元件，如果电容上的电压为正弦函数uC=Umcosωt，则流过电容的电流为

(8-33)其中，电压和电流的最大值与有效值为

(8-34)

相量变换为，则电感电压为

因为，所以有

(8-35)或

(8-36)

这就是电容两端电压和电流的关系。图8-10(b)为频域下电容的电路图。从式(8-35)中可以看出电压和电流之间的相位正好相差90°，也就是说，电流超前电压90°或电压滞后电流90°。可以用图8-10(c)的相量图表示。图8-10电容元件的时域和频域电路由式(8-34)，可定义

(8-37)

式中，XC称为电容的容抗，单位为Ω。显然容抗与感抗相似，XC是频率的函数，但与ω成反比。在一定大小的电压作用下，频率越高，容抗越小，电流越大。这是因为频率越高，电压变化越快，在同样微小的时间内移动的电荷越多的缘故。因此在正弦稳态电路中，容抗体现了电容元件反抗正弦电流通过的作用。有两种极端情况：

(1)当ω→0时，XC→∞，即对于直流电流，电容元件相当于开路。在电子线路中，常用电容元件作为隔断直流之用。(2)当ω→∞时，XC→0，即电容元件对极高频率的电流有极大的导流作用，极限情况下，相当于短路。利用这一特点，在电子线路中，常用电容作为旁路高频电流。

到目前为止，我们得到了R、L、C三个基本元件在频域的伏安关系。表8-1总结了这些特性。表8-1

RLC元件的时域和频域特性

【例8-3】

电压为u=12cos(60t+45°)V加到0.1H电感元件上，求通过电感的稳态电流。

解电压相量为，ω=60rad/s，于是

反相量变换到时域的电流为

i=2cos(60t-45°)A

自测题8-6

在关联方向下，元件的下列伏安关系不正确的是

。

(Ａ)U=ωLI(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自测题8-7

电感元件上的电压相位滞后其电流90°，电容元件上的电流相位滞后其电压90°，这个结论

成立。

(Ａ)根本不可能

(Ｂ)电容、电感为非线性元件时

(Ｃ)电感电流和电压，电容电流和电压为非关联参考方向时

(Ｄ)电感电流和电压，电容电流和电压为关联参考方向时

自测题8-8

已知电容元件的电流i=10sin(ωt+60°)，在关联方向下，其电压为

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自测题8-9

某元件上测得的电压和电流波形如图8-11所示，则该元件为

。

(Ａ)电阻元件(Ｂ)电感元件

(Ｃ)电容元件(Ｄ)不能确定图8-11自测题8-98.4.1阻抗

8.2节讨论三个基本元件伏安关系的相量形式，即

(8-38)

如果表示为电压相量与电流相量之比，可写成

(8-39)8.4频域下的电路定律将这三种表达式统一起来，可写成

(8-40)

其中，Z为电路元件的阻抗。上式也称为频域下的欧姆定律，或欧姆定律的相量形式。

阻抗定义为电压相量与电流相量之比，单位为Ω。

正弦稳态电路中的阻抗与直流电阻电路中的电阻的作用相当，在电路中起反抗电流通过电路的作用。阻抗的定义还含有更多的意义，阻抗进一步可以写成

(8-41)

其中，阻抗的模为电压有效值与电流有效值之比，即

(8-42)阻抗角为电压与电流的相位差，即

φZ=θu-θi

(8-43)

阻抗Z作为复数，式(8-41)是阻抗的极坐标式。Z也可以用代数式表示

Z=R+jX

(8-44)

其中，R=Re［Z］是电阻，X=Im［Z］是电抗。于是

Z=R+jX=|Z|∠φZ

图8-12阻抗三角形R、X、|Z|、φZ之间的关系为

这些关系式可以用如图8-12所示的直角三角形来表示，这个三角形称为阻抗三角形。

阻抗三角形表示了阻抗模、阻抗角、电阻、电抗之间的关系，是最重要的计算方法之一。8.4.2导纳

在电阻电路中，欧姆定律有两种形式，即

U=RI,I=GU

(8-45)

在正弦稳态电路中的欧姆定律也有两种形式，即

(8-46)

式中，Y为电路元件的导纳，它是Z的倒数。导纳定义为电流相量与电压相量之比，是阻抗的倒数，单位为S。

正弦稳态电路中的导纳与直流电阻电路中的电导的作用相当,在电路中起导通电流的作用。导纳的定义还含有更多的意义，导纳进一步可以写成

(8-47)其中，导纳的模为电流有效值与电压有效值之比，即

(8-48)

导纳角为阻抗角的负值，即

φY=-φZ=-(θu-θi)

(8-49)导纳Y作为复数，式(8-47)是导纳的极坐标式。Y也可以用代数式表示

Y=G+jB

(8-50)其中，G=Re［Y］是电导，B=Im［Y］是电纳，于是

Y=G+jB=|Y|∠φY图8-13导纳三角形G、B、|Y|、φY之间的关系为

这些关系式可以用如图8-13所示的直角三角形来表示，这个三角形称为导纳三角形。

导纳三角形表示了导纳模、阻抗角、电导、电纳之间的关系，是最重要的计算方法之一。

表8-2汇集了三个基本元件的阻抗和导纳。表8-2三个基本元件的阻抗和导纳8.4.3阻抗与导纳的关系

阻抗与导纳之间的关系是倒数的关系。如果将阻抗变换成导纳，有

(8-51)

实部和虚部分别为

(8-52)如果将导纳变换成阻抗，有

(8-53)

实部和虚部分别为

(8-54)阻抗还可以用等效电路来表示，如图8-14(a)所示为电阻与电抗串联电路。当X为正时，表明元件为电感元件当X为负时，表明元件为电容元件。导纳也可以有相应的等效电路，如图8-14(b)所示为电导与电纳并联组成。当B为正时，表明元件为电容元件；当B为负时，表明元件为电感元件。显然，两种电路可以互相等效变换。如果将图8-14(a)所示的串联电路等效变换为图8-14(b)所示的并联电路，用式(8-52)。反之，则用式(8-54)。图8-14阻抗和导纳的等效电路8.4.4

KVL和KCL的相量形式

基尔霍夫定律是电路分析的依据，在正弦稳态电路的分析中也是一样。因此必须导出频域下的基尔霍夫定律。

对于KVL，时域形式为

(8-55)

设uk为正弦量，即，因此上式变为

(8-56)或

(8-57)

由于ejωt≠0，因此

(8-58)

这就是KVL的相量形式。

通过类似的推导，同样可以导出KCL的相量形式，即

(8-59)至此，我们分别导出了欧姆定律和基尔霍夫定律两条定律的相量形式，引出了阻抗和导纳的概念。这些定律与电阻电路的同一定律的形式完全相同，其差别仅在于这里不直接用时域的电压和电流，而是变换到频域的相应的相量；不用电阻和电导，而是用阻抗和导纳。现将电路分析中的两大类电路的电路变量、电路定律、电路元件的伏安关系归纳如表8-3所示。从中可知，表中的各项形式完全相同。表8-3两类电路分析方法的比较

结论：引入阻抗后，相量法与直流电路分析法完全一样，即直流电路应用的所有计算方法、定理、等效变换等可以完全用于相量法来求解正弦稳态电路。

【例8-4】

在图8-15所示电路中，已知

，，求Z2。解电路的总阻抗为图8-15例8-4的电路由于

Z=Z1+Z2

因此，有

Z2=Z-Z1=10+j10-7-j6=3+j4Ω图8-16例8-5的电路

【例8-5】

电路如图8-16所示，求电路的等效阻抗。

解先找出电路的伏安关系式，应用KVL，有

或

等效阻抗为

【例8-6】

二端无源网络Ｎ如图8-17所示，已知：

；ω=1rad/s；。求N的最简等效电路。图8-17例8-6的电路

解根据阻抗的定义

写成代数式为

所以，，虚部为负，表明元件是电容，即有

等效电路如图8-18(a)所示。图8-18例8-6的解图本题也可以用导纳的方法找最简电路。导纳为

所以，G=0.0866S，R=≈11.55Ω，导纳虚部为正，表明元件是电容，即有

等效电路如图8-18(b)所示。

自测题8-10

一个电感线圈(电阻忽略不计)接在U＝100V，f＝50Hz的交流电源上，流过2A电流。如果把它接在U＝150V，f＝60Hz的交流电源上，则流过的电流I

＝

A。

自测题8-11

二端网络端电压，电流

，二端网络的入端阻抗Z=

；等效导纳Y=

。图8-19自测题8-13

自测题8-12

若R、L串联电路中，，，则R和X分别为

Ω和

Ω。(A)25(B)-25

(C)43.3

(D)-43.3

自测题8-13

在图8-19所示正弦稳态电路中，电流

=

。8.5.1

RLC串联电路

RLC串联电路是最典型的正弦稳态电路，如图8-20(a)所示是时域电路，如图8-20(b)所示是频域电路，根据KVL，列电压方程为

(8-60)8.5

RLC串联与RLC并联电路其中，，电抗为

。阻抗的模为

(8-61)阻抗角为(8-62)图8-20

RLC串联电路在RLC串联电路中，如果X>0，即感抗ωL大于容抗，则阻抗角φZ>0，这时电路的阻抗呈感性，电路中的电压超前于电流。如果X<0，即感抗ωL小于容抗，则阻抗角φZ<0，电路的阻抗呈容性，电路中的电压滞后于电流。如果X=0，即感抗ωL等于容抗，则阻抗角φZ=0，电路的阻抗呈阻性，电路中的电压与电流同相位。现在来研究RLC串联电路的相量图。画相量图首先要确定参考相量，即相位为零的相量。

由于是串联电路，各元件中的电流是一样的，因此选取电流作参考相量。电路的电压方程为

(8-63)总电压由三个分电压组成，根据三个元件上的伏安关系，每个元件上电压与电流都有固定的相位关系及相量图(见表8-1)。现在的任务是将三个单独的相量图合在一起，采用多角形法则，构成整个电路的相量图。图8-21(a)是感性电路的相量图，图中X>0，UL>UC，φZ>0；图8-21(b)是容性电路的相量图，图中X<0，UL<UC，φZ<0；图8-21(c)是阻性电路的相量图，图中X=0，UL=UC，φZ=0，这种电路也称谐振电路。关于谐振的问题，将在第12章中作详细分析。图8-21

RLC串联电路的相量图从图8-21(a)、图8-21(b)可知，电阻电压、电抗电压

和总电压构成直角三角形。这个三角形称为电压三角形，如图8-22(a)所示。显然电压三角形与阻抗三角形是相似三角形，如图8-22(b)所示。图8-22电压三角形与阻抗三角形电压三角形表示了电阻电压、电抗电压和总电压的数量关系，并与阻抗三角形相似，是重要的计算方法之一。

另外，从图8-21的相量图中还知，元件上的电压值可能大于总电压值。如电感上的电压或电容上的电压，这在直流电阻电路中是没有的，其原因是电压是相量相加。

【例8-7】

在图8-23所示的三个正弦稳态电路中，电压表V1和V2测量的有效值标在表旁，求电压表V的读数。图8-23例8-7的电路

解在图8-23(a)中，初学者往往认为总电压为3+4=7V，但是在这里是错的。因为它们是相量相加，总电压与电阻电压、电容电压构成电压三角形，即

所以，电压表的读数为5V。

在图8-23(b)中，由于是同类元件，和是同方向的相量，总电压为

U=UC1+UC2=3+4=7V

所以，电压表的读数为7V。在图8-23(c)中，由于电感电压与电容电压相差180°，

和是反方向的相量，总电压为

U=|UL-UC|=|3-4|=1V

所以，电压表的读数为1V。

【例8-8】

在图8-24所示的两个正弦稳态电路中，所标电压为有效值。已知图8-24(b)的参数有R=XL=XC，求电压表V及V1和V2读数。图8-24例8-8的电路

解

(1)在图8-24(a)中，总电压与电阻电压、电抗电压构成电压三角形。显然总电压U=100V(斜边)，电阻电压UR=60V(水平边)，那么电抗电压(垂直边)为

而UX=|UL-UC|，已知UL=100V，所以有两种可能。

如果电路是感性的，UL>UC，于是UC=20V，所以，电压表的读数为20V。

如果电路是容性的，UL<UC，于是UC=180V，所以，电压表的读数为180V。

(2)在图8-24(b)中，已知R=XL=XC，可见电路是阻性的。从图8-21(c)的相量图可知，在阻性情况下，总电压与电阻电压相同，即U=UR。所以，电阻R上的电压为5V。

由于串联元件的电流是相同的，三个元件的阻抗模也相同，因此，三个元件上的电压有效值必相同，故有

UL=UC=UR=5V所以，电压表V2的读数为5V。电压表V1的读数为

【例8-9】

在如图8-25所示的正弦稳态电路中，已知US=120V，XC=48Ω，开关S闭合和断开时电流表的读数均为4A。求R和XL。图8-25例8-9的电路

解图8-25所示电路是RLC串联电路，根据题意，电路的阻抗模为

开关闭合可以根据阻抗三角形得

开关断开可以根据阻抗三角形得

①或

R2+(XL-48)2=302②

联立求解①和②，得

R=18Ω，XL=24Ω

【例8-10】

如图8-26所示正弦稳态电路中，已知电压表V1的读数为9V，V2的读数为17V，电流表读数为2A，求电压表V的读数。图8-26例8-10的电路

解对于RL支路，电阻电压、电感电压和RL上的电压U2构成电压三角形，有

所以

对于RLC串联电路，电阻电压、电抗电压和总电压U构成电压三角形，有

或

U2=82+(15-9)2

所以

故电压表V的读数为10V。8.5.2

RLC并联电路

RLC并联电路也是最典型的正弦稳态电路,如图8-27所示。根据KCL，列电流方程为

(8-64)其中，

电纳为

这里，BC=ωC,称为容纳；

，称为感纳。导纳的模为

(8-65)

导纳角为

(8-66)图8-27

RLC并联电路在RLC并联电路中，如果B>0，即容纳ωC大于感纳

，则导纳角φY>0，阻抗角φZ<0，这时电路的阻抗呈容性，电路中的电流超前于电压。如果B<0，，则导纳角φY<0，阻抗角φZ>0，电路的阻抗呈感性，电路中的电流滞后于电压。如果B=0，则φY=φZ=0，电路的阻抗呈阻性，电路中的电压与电流同相位。

现在来研究RLC并联电路的相量图。画相量图首先要确定参考相量。由于是并联电路，各元件中的电压是一样的，因此选取电压作参考相量。电路的电流方程为

(8-67)总电流由三个分电流组成，根据三个元件上的伏安关系，每个元件上电压与电流都有固定的相位关系及相量图(见表8-1)。现在的任务是将三个单独的相量图合在一起，采用多角形法则，构成整个电路的相量图。图8-28(a)是容性电路的相量图，图中B>0，IC>IL，φZ<0；图8-28(b)是感性电路的相量图，图中B<0，IC<IL，φZ>0；图8-28(c)是阻性电路的相量图，图中B=0，IL=IC，φZ=0，这种电路也称谐振电路。关于谐振的问题，将在第12章中作详细分析。图8-28

RLC并联电路的相量图从图8-28(a)、图2-28(b)可知，电阻电流、电纳电流

和总电流构成直角三角形。这个三角形称为电流三角形，如图8-29(a)所示。显然电流三角形与导纳三角形是相似三角形，如图8-29(b)所示。图8-29电流三角形与导纳三角形电流三角形表示了电阻电流、电纳电流和总电流的数量关系，并与导纳三角形相似，是重要的计算方法之一。

另外，从图8-28的相量图中还知，元件上的电流值可能大于总电流值。如电感上的电流或电容上的电流，这在直流电阻电路中是没有的，其原因是电流是相量相加。

从以上分析可知，正弦稳态电路的工作状态有三种，即感性、容性和阻性。对于一般电路如图8-30所示，如何判断电路是感性还是容性的呢？图8-30一般正弦稳态电路一般方法是用阻抗角来判断，即

•φZ>0,总电流滞后总电压，电路为感性。

•

φZ<0,总电流超前总电压，电路为容性。

•

φZ=0,总电流与总电压同相，电路为阻性。

故根据阻抗角来判断电路的性质，对任何电路均适用。

【例8-11】

在图8-31所示的三个正弦稳态电路中，电流表A1、A2和A3测量的有效值标在表旁。求电流表A的读数。

解在图8-31(a)中，初学者往往认为总电流是3+4=

7A，但是在这里是错的。因为它们是相量相加，总电流与电阻电流、电容电流构成电流三角形，即

所以，电流表的读数为5A。

在图8-31(b)中，由于是同类元件，和是同方向的相量。总电流为

I=IC1+IC2=3+4=7A

所以，电流表的读数为7A。在图8-31(c)中，由于电感电流与电容电流相差180°，

和是反方向的相量，因此总电流为

电流表的读数为5A。图8-31例8-11的电路

【例8-12】

在图8-32所示的两个正弦稳态电路中，所标电压为有效值。已知图8-32(b)中的参数R=XL=XC。求电流表A及A1、A2读数。

解

(1)在图8-32(a)中，如果LC2支路是感性的，电容C1中的电流与LC2支路电流方向相反，则总电流，即电流表A的读数为

I=I1-I2=1A图8-32例8-12的电路如果LC2支路是容性的，电容C1中的电流与LC2支路电流方向相同，则总电流，即电流表A的读数为

I=I1+I2=5A

(2)在图8-24(b)中，已知R=XL=XC，可见电路是阻性的。从图8-28(c)的相量图可知，在阻性情况下，总电流与电阻上的电流相同，即I=IR。所以，电阻R中的电流为3A。由于并联元件的电压是相同的，三个元件的阻抗模也相同，因此，三个元件上的电流有效值必相同，故有

IL=IC=IR=3V

所以，电流表A2的读数为3A。电流表A1的读数为

自测题8-14

已知R=XL=XC=10Ω，则三者串联后的等效阻抗模为

。

(A)10(B)14.14(C)20(D)30

自测题8-15

在正弦稳态电路中，当RLC串联时，电流与总电压同相，则下列各关系中正确的是

。

(Ａ)ωL2C=1

(Ｂ)ω2LC=1(Ｃ)ωLC=1(Ｄ)ω=LC

自测题8-16

在RLC并联电路中，若，则总电流相位比电压

。

(Ａ)滞后(Ｂ)超前(Ｃ)同相(Ｄ)不能确定图8-33自测题8-17

自测题8-17

在图8-33所示正弦稳态电路中，两元件1、2接成并联。若表A的读数的平方等于表A1读数的平方与表A2读数的平方之和，则条件是

。

(Ａ)元件1为电阻，元件2为电感

(Ｂ)元件1为电容，元件2为电容

(Ｃ)元件1为电容，元件2为电感

(Ｄ)元件1为电感，元件2为电感图8-34自测题8-18

自测题8-18

在图8-34所示的正弦稳态电路中，设整个电路呈感性，计算电路的阻抗角即与的相位差，下列各式中正确的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自测题8-19

图8-35(a)所示无源二端网络的端口伏安关系如图8-35(b)所示，此无源二端网络的入端复阻抗Zi=

Ω，电路性质为

。图8-35自测题8-19阻抗串-并联构成的电路一般称为简单电路。由8.2节至8.3节的叙述可知，相量变换法和阻抗、导纳的引入，正弦稳态电路的分析与电阻电路的分析方法完全类似。即只要把电阻电路中的电阻变成阻抗、电导换成导纳、电压或电流换成电压相量或电流相量，所有的公式、定理、方程均成立。这就将电阻电路与正弦稳态电路的分析方法统一起来，只不过正弦稳态电路要进行复数计算，而电阻电路则是实数计算。8.6简单电路的分析对于阻抗串联，合并后的等效阻抗为

Zeq=Z1+Z2+Z3+…+Zn

若两个阻抗串联，其分压公式为

对于阻抗并联，合并后的等效阻抗为

等效导纳为

Yeq=Y1+Y2+Y3+…+Yn

若两个阻抗并联，则等效阻抗为

若两个阻抗并联，其分流公式为

显然，以上公式与电阻电路中的相应公式形式上完全相同。还有一些公式，如星形与三角形变换公式、电桥平衡条件、网孔方程、节点方程等，这里就不一一列举了。

【例8-13】

电路如图8-36(a)所示，正弦电流源iS=8cos200000tA，求i1，i2，i3和u。

解本题采用最大值相量，电流源相量为。感抗为

ωL=200000×40×10-6=8Ω

容抗为

图8-36例题8-13的电路因此，频域等效电路如图8-36(b)所示，总导纳为

所以，电压为

各支路电流为

时域表达式为

【例8-14】

在图8-37所示电路中，已知电压源uS=220

sin314tV；电流i1=22sin(314t-45°)A，

i2=11sin(314t+90°)A，求各仪表读数及电路参数R、L和C的值。图8-37例题8-14的电路

解因为电流表、电压表的数值为有效值，所以，各仪表的读数如下：

电流表A1的读数为

电流表A2的读数为

I2=11A

电压表Ｖ的读数为

U=220V

电流相量为

故总电流为

电流表Ａ的读数为11A。

对RL支路，阻抗为

因此，R=10Ω，XL=10Ω，故电感为

对于C支路，阻抗为

或

【例8-15】

在图8-38所示电路中，已知电压表V1为100V，电流表A1为10A，求电流表Ａ和电压表Ｖ的读数是多少？

解从右往左计算，设并联支路的电压为100∠0°V，则电容支路的电流应超前90°，即

A，从而计算电流

图8-38例题8-15的电路总电流为

总电压为

故电流表Ａ的读数为10Ａ，电压表V的读数为141.1V。

【例8-16】

在图8-39所示电路中，将如图虚框所示被测线圈与电容C串联可测其R、L值。

若调节ω=2×104rad/s时，电源电压US=14.14V，线圈电压URL=22.4V，电容电压为10V，电流为1ｍA。求R、L的值。图8-39例题8-16的电路

解根据题意，容抗为

线圈R与L串联构成阻抗三角形，即

①

式中，阻抗单位为kΩ。

RLC串联又构成阻抗三角形，即

②联立求解①、②，可得R=10kΩ，XL=20.1kΩ。所以

【例8-17】

在图8-40所示电路中，若电压比电流超前45°，求R应为何值？图8-40例题8-17的电路

解方法一：用分压公式计算。

由于比超前90°，比超前45°，因此比超前45°。应找出与的关系式。设

则有

即

要使比滞后45°，令上式实部与虚部相等，即

有

方法二：用戴维南定理计算。

将电感作为负载，求戴维南等效电路，开路电压为

显然与同相，等效电阻为

图8-41戴维南等效电路戴维南等效电路如图8-41所示，要使与相差45°，必有

R0=XL

即

解得R=1.5Ω。

自测题8-20

如图8-42所示二端网络，已知ω=

3rad/s，则二端网络的阻抗Z＝

Ω。

自测题8-21

在图8-43所示电路中，下列关系中正确的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)图8-42自测题8-20图8-43自测题8-21

自测题8-22

在图8-44所示正弦稳态电路中，保持不变，当开关S闭合时电流表读数将

。

(Ａ)增加(Ｂ)不变

(Ｃ)有些减少(Ｄ)减至零图8-44自测题8-24对于较复杂的正弦稳态电路，可以用网孔分析法、节点分析法、叠加定理、戴维南和诺顿定理来分析，其分析方法和电阻电路所介绍的方法完全相同。下面用实例说明。

【例8-18】

在如图8-45(a)所示电路中，

，求电流iL。8.7复杂电路的分析图8-45例题8-18的电路

解电压源的电压相量为，感抗为XL=ωL=1Ω，画出的频域电路如图8-45(b)所示。用网孔法计算，应用KVL，对网孔1：

①

对网孔2：

②

受控源的控制量与网孔电流的关系为

③

将③代入②，得

④

联立求解①和④，可得所以，电流为

【例8-19】

在如图8-46所示电路中，已知，若使电流，求电压源。

解用戴维南定理求解比较适合，令电流所在的支路为负载，只要戴维南等效电路的开路电压，必有电流。将负载支路断开后，开路电压为

图8-46例题8-19的电路即

【例8-20】

在如图8-47(a)所示电路中，证明：若XL=XC，则不论Z为何值，电流不改变。图8-47例题8-20的电路

解用诺顿定理来证明，令阻抗Z支路为负载，求出的诺顿等效电路如图8-46(b)所示。

等效电路中的电流源为负载短路的短路电流，即

若令等效阻抗Z0=∞，则Z中的电流为电流源中的电流，即无论Z为何值，而不变。所以，令等效阻抗

必有，即XL=XC。

【例8-21】

电路如图8-48所示，用叠加定理求电压。

解应用叠加定理，令电流源和电压源单独作用。当电流源单独作用时，有

当电压源单独作用时，有

图8-48例题8-21的电路所以电压为

【例8-22】电路如图8-49所示，求节点电压和。图8-49例题8-22的电路

解用节点分析法，设超节点如图8-49阴影部分所示。对超节点应用KCL，得

或

(8-22(a))理想电压源与节点电压的关系为

(8-22(b))

将式(8-22(b))代入式(8-22(a))，得

解得

由式(8-22(b))，得

在前几节的正弦稳态电路的分析中，所用的方法都是解析法。通过若干例题的计算可知，这些计算方法对一般电路都是适用的。但是在正弦稳态电路中，有一些比较特殊的问题。比如只知道某些相量的模或相角，或只知道某些相量之间的相位差等。这些问题当然可以用解析法计算，但如果能用各相量之间的几何关系来分析会更容易些。相量图分析法提供了另一条分析正弦稳态电路的途径。8.8相量图分析所谓相量图分析，就是在没有进行计算之前，利用支路电压和支路电流的相量关系以及基尔霍夫定律，画出电路的各电压电流的相量图。从几何关系上求解未知量。所以，相量图分析的关键是要能正确地画出相量图。

画相量图步骤是：

•

先选择某一相量为参考相量，以便于继续画出其他相量为原则。串联电路一般选电流为参考相量；并联电路一般选电压为参考相量。

•

按KCL、KVL，根据R、L、C元件上的电压相量和电流相量的关系(见表8-4)，逐个画出相对应的相量。

•

用平行四边形或多角形法则，画出电路的相量图。表8-4支路电压与支路电流的相位关系

【例8-23】

RC移相电路如图8-50所示，输出电压与输入电压之间的相位差θ随可调电阻R的变化而变化。当R由0变到∞时，试分析图中的两种移相电路输入电压与输出电压的移相范围和特点。图8-50例题8-23的电路

解

(1)画相量图，为了叙述方便起见，以输入电压为参考相量。由于是RC支路，因此电流相量超前。电阻上的电压与同相，输出电压比滞后90°。又根据KVL，电压方程为，显然，这三个电压构成电压三角形，如图8-51(a)所示。当R改变时，和就要变化，但三个电压始终保持直角三角形。由几何关系可知，随R的变化，直角三角形顶点的轨迹是个半圆。

当R→0时，与趋于同相；当R→∞时，比滞后趋于90°，所以，和的移相范围是0至90°，并且

比滞后。另外，输出电压的幅值将由大变小。图8-51例题8-23的相量图

(2)画法基本上与图8-51(a)相同，只不过多了一条电阻支路。它由两个相同的电阻r串联，因此，A点必是输入电压的中点。显然B点是三角形的顶点，于是输出电压的相量就是从A到B的相量，如图8-51(b)所示。

当R→∞时，与趋于同相；当R→0时，比

超前趋于180°。所以，和的移相范围是0至180°，并且比超前。另外，输出电压的幅值为半径，即输出电压Uo始终是输入电压Ui的一半。

【例8-24】

电路如图8-52(a)所示，求电路中R为何值时，电压为最大？

解画相量图，电路由两条支路并联，故以电压为参考相量(线段MN)。

RC支路的画法：电流相量超前，电阻上的电压与电流同相，电容电压比电流滞后90°，故得三角形BN(上边三角形)。

RL支路的画法：电流相量滞后，电阻上的电压与电流同相，电感电压比电流滞后90°，故得三角形MAN(下边三角形)。如图8-52(b)所示。图8-52例题8-23的用图可见，UAB通过圆心时其值最大。故两个电压三角形必须全等，由于阻抗三角形与电压三角形相似，如图8-52(c)所示，有θ1=θ2,即

故有

解得R=16Ω。

【例8-25】在如图8-53所示电路中，调整R和C，使它们的阻抗模为5000Ω，电源频率为1000Hz。

(1)求出使和之间产生30°相位差的R值及C值。

(2)相对于电压而言，是滞后还是超前?图8-53例题8-25的电路

解方法一：解析法。

(1)根据分压公式，有

电压之比为

(8-25(a))根据题意，可列方程

即有

解得R=2.5kΩ，C=0.037μF。

(2)从式(8-25(a))可知，滞后于。

方法二：相量图法。

(1)画出RC电路的电压三角形和阻抗三角形如图8-54所示，两个三角形是相似的。图8-54电压三角形和阻抗三角形由阻抗三角形图8-54(b)可得

(2)从图8-54(a)的相量图可知，滞后于。

【例8-26】在图8-55(a)所示电路中，频率为f=50Hz，调整电容C的容量，使开关S断开和闭合时，流过电流表的读数保持不变。求电容C的值。图8-55例题8-26的用图

解方法一：解析法。

为使开关S闭合前后总电流不变，