四川中考第二次模拟考试《数学试卷》含答案解析

四川数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一，选择题

1.一上7；的绝对值是（）

2020

11

B.C.-2020D.2020

2020-----------------------------2020

2.2019年成都市的国民生产总值为1034亿元,1034亿元用科学记数法表示正确的是（）

A.1034x1()8元B.1.034x1。"元C.1.0x1。"元D.1.034x1()12元

3.下列各式计算正确的是()

A.2+百=2百B.2x'2=C.3a2,2a3=6aftD.as-?a2=a6

2x

4.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

AOB。0D卷

5.如图，在aABC中，分别以顶点A、B为圆心，大于?AB为半径作弧，两弧在直线AB两侧分别交于M、

2

N两点，过M、N作直线MN,与AB交于点O,以O为圆心，OA为半径作圆，。0恰好经过点C.下列

结论中，错误的是（）

A.AB是。O的直径B.ZACB=90°

C.AABC是。O内接三角形D.O^AABC内心

6.函数、，=立亘中自变量x取值范围是（）

x—3

A.x>-\B.今3C.定-1且#3D.xv-1

7.在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表:

成绩454647484950

人数124251

这此测试成绩的中位数和众数分别为（）

A.47,49B.48,49C.47.5,49D.48,50

8.早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下来往家里打电话，妈妈接

到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后

妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（单位:

米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中错误的是（）

A.打电话时，小刚和妈妈的距离为125（）米

B.打完电话后，经过23分钟小刚到达学校

C.小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分

D.小刚家与学校的距离为2550米

9.若二次函数y=（x-m）2-1,当烂3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A.m=3B.m>3C.m>3D.m<3

10.如图，在。O中，直径AB=2,CA切。O于A,BC交。O于D,若NC=45。，则图中阴影部分的面积

为（）

B

71

A.—B.2C.7tD.1

2

11.将一些半径相同小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3

个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第6个图形有()个小圆.

。OOO

OOOOOO

\O。OOOO

OOOOOOOO

OOOOOO

OOOOO

OOOOOOO

)O。OOOOOO

O。O。

1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.34B.40C.46D.60

12.如图，抛物线y产a(x+2)2-3与y2=；(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线，分别

2

交两条抛物线于点B,C.则以下结论：①无论x取何值，y2的直总是正数：②a=§；③当x=0时，y?-

yi=6；©AB+AC=10；其中正确结论的个数是()

A.①®@B.①③④C.②③④D.®<2)®®

二.填空题

x+3y=-1

13.已知方程组｛.八，则x+y;

3x+y=9

14.因式分解：/-4x2y=___.

2b

15.如图，点A是反比例函数y=；(x>0)的图象上任意•点，AB〃x轴交反比例函数y=—(kWO)的图象于点

XX

B,以AB为边作平行四边形ABCD,点C,点D在x轴上.若SABCD=5,则k=

16.如图，在ZkABC中，ZACB=90°,以点C为圆心，CB为半径的。C与边AB交于点D.若点D为AB

的中点，AB=6,则。C的半径长为.

D

17.在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m,n）,向量/可以用点P坐标表示为丽=[m,n）,已

知：OA-（xi，yi）»OB-（X2，yz）>如果xi・X2+yi・y2=0,那么雨与砺互相垂直，下列四组向量：

①℃二（2,1）,OD~（-1，2）；®0E=（cos30°,tan45°）,OF=（-1，sin60°）；③二（

-夜，-2）,QH=（>/3+->/2»；）；®OC=（/,2）,0N=（2,-1）.其中互相垂直的是

（填上所有正确答案的符号）.

三,解答题

18.（I）计算（-2）+|1-VJ1°-4sin60°

（2）化简代数式1一一—+巴三任一,再从-29W2中选一个恰当的整数作为a的值，代入求值.

、tz+2yu-4

19.某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图1和图2是整理数

据后绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

人数

A:迅速南开

B：马上敝助

C：视情况而定

D：只看热闹

（1）该校随机抽查了名学生？请将图1补充完整：

（2）在图2中，“视情况而定”部分所占的圆心角是度；

（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“马上救助”，现准备从这四人中随机抽取两人进行座

谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.

20.某商场销售A,B两款书包，己知A,B两款书包的进货价格分别为每个30元、5（）元，商场用360（）元

的资金购进A,B两款书包共100个.

（1）求A,B两款书包分别购进多少个？

（2）市场调杳发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如卜.关系：y=-x+90（60<x<90）.设B

款可包每天的销售利润为W元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天B款书包的销售利润最大?

最大利润是多少元？

21.如图，在RSABC中，NACB=90。，D为AB中点,AE//CD,CE//AB.

(1)试判断四边形4OCE的形状，并证明你的结论.

(2)连接BE,若N8AC=30。，CE=1,求BE的长.

BC

22.如图所示，直线AB与双曲线v=K交于A,B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C,D两点，连

x

(1)分别求次函数与反比例函数式.

(2)连接0B,在x轴上求点P的坐标，使aAOP的面积等于aAOB的面积.

7

23.如图，PB为。O的切线，B为切点、,直线PO交。于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,

交。O于点A,延长AO与。O交于点C,连接BC,AF.

D\E

(I)求证：直线PA为。O的切线：

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;

(3)若BC=6,tanZF=-,求cos/ACB的值和线段PE的长.

2

24.如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线y=+法+。与x轴

的另一交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.

（1）求A点坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连结AC.请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在,

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

一.选择题

1.-的----绝---对-值是()

2020

A.-------B.---------C.-2020D.2020

20202020

【答案】A

【解析】

【分析】

根据负数的绝对值等「它的相反数求解即可.

【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数，故—表二/

故选：A.

【点睛】本题考查绝对值.解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握•个正数的绝对值是它本身；•个

负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0.

22)19年成都市的国民生产总值为1034亿元，1034亿元用科学记数法表示正确的是()

A.1034x1()8元B.1.034x10“元C.1.0xl(严元D.1.()34*10口元

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axl(r的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝

对值VI时，n是负数.

【详解】解：将1034亿用科学记数法表示为：1.034x10”.

故选:B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXl()n的形式，其中iW|a|V10,n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.下列各式计算正确的是()

A.2+6=26B.2x2=」C.3a2*2a'=6a6I).a8-=-a2=a6

2x~

【答案】D

【解析】

【分析】

A：根据实数运算方法判断即可;

B：负整数指数基的运算方法:（a四,p为正整数）,据此判断即可;

C：根据同底数累的乘法法则计算即可;

D：根据同底数暴的除法法则计算即可.

【详解】解：:2+石声26,

，选项A错误;

・・r-22

.2X=—,

X

，选项B错误;

V3a2-2a3=6a5,

・•・选项C错误;

.・.a8-.a2=a6

・•・选项D正确.

故选：D.

【点睛】此题主要考查暴的运算、二次根式的运算及负指数塞的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

4.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（〕

A。BC④D笠

【答案】D

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断

出.

【详解】解:A此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

B,此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不正确；

C,此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

D,此图形旋转后能与原图形重合，比图形是中心对称图形,是轴对祢图形，故此选项正确.

故选:D.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键.

5.如图，在aABC中，分别以顶点A、B为圆心，大于gAB为半径作弧，两弧在直线AB两侧分别交于M、

2

N两点，过M、N作直线MN,与AB交于点0,以0为圆心，0A为半径作圆，。。恰好经过点C.下列

结论中，错误的是（）

C.AABC是00内接三角形D.0是△ABC的内心

【答案】D

【解析】

分析】

利用作法可判断点。为AB的中点，则可判断AB为。O的直径，根据圆周角定理得到NACB=90。，根据

三角形内接圆的定义得到△ABC为。O的内接三角形，然后对选项进行判断.

【详解】解：由作法得MN垂直立分AB,则OA=OB,则AB为。O的直径，

•・・0O恰好经过点C,

AZACB=90°,△ABC为0O的内接三角形，点0为△ABC的外心.

故选：D.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.解决本题的关键是理解三角形的内心的定义.

6.函数y=中自变量X的取值范围是（）

x—3

A.x>-\B.C.应一1且a3D.xv—1

【答案】C

【解析】

【详解】解：根据被开方数为非负数和分母不分。列不等式:

x+l>0

4-3工0，

解得：迂-1且灯3.

故选C.

【点睛】本题考查函数自变量的取值范围.

7.在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表:

成绩454647484950

人数124251

这此测试成绩的中位数和众数分别为（）

A.47,49B.48,49C.47.5,49D.48,50

【答案】B

【解析】

试题解析：测试的人数是15人，处于第8位的是48,所以中位数是48.

49的次数最多，众数是49.

故选B.

8.早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下来往家里打电话，妈妈接

到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟后

妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y（单位：

米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中错误的是（）

A.打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米

B.打完电话后，经过23分钟小刚到达学校

C.小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分

D.小刚家与学校的距离为2550米

【答案】c

【解析】

（1）由图中信息可知,小刚打电话时，他和他妈妈的距离为1250米，故A中说法正确;

（2）由图中信息可知,小刚是在打完电话23分钟时赶到学校的，故B中说法正确;

（3）由图中信息可知，小刚打完电话后5分钟和妈妈相遇，则由图中信息可知，相遇地距他家：

1250-100x5=750（米）,由小刚妈妈返回家用了15分钟可得他妈妈返回的速度为:750X5=50（米/分钟）,

故C中说法错误；

（4）由图中信息可得，小刚家到学校的距离为：2250+100x（23-20）=2550（米），故D中说法止确；

综上所述：ABD中说法都是正确的，错误的是C.

故选C.

9.若二次函数y=（x-m）2-1,当烂3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A.m=3B.m>3C.m>3D.m<3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，抛物线在对称轴的左侧时，y随犬的增大而减小，据此列不等式

求解.

【详解】V«=l>0,

，在对称轴的左侧，.v随x的增大而减小，

:尸（X-IH）2-1的对称轴是X=一

・••吟3.

故选C.

【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数）=or2+bi+c（小'c为常数，@D）,当心（）

时，开口向上，在对称轴的左侧）随犬的增大而减小，在对称轴的右侧），随x的增大而增大；当。<0时，开

口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧），随x的增大而减小.

10.如图，在。O中，直径AB=2,CA切。O于A,BC交。O于D,若NC=45。，则图中阴影部分的面积

71

A.—B.2C.itD.I

2

【答案】D

【解析】

【分析】

连接0D,先由直径AB=2,CA切。0于A得出0B=0A=2,ZBAC=90°,由NC=45。得出AABC是等

腰直角三角形，根据圆周角定理得出NAOD=90。，根据S用影=SziABC-S40BD-S«^A0D+(S^BOD-SAOBD)

进而可得出结论.

【详解】解:连接OD,

;直径AB=2,CA切。O于A,

AOB=OA=2,ZBAC=90°,

VZC=45°,

・♦・△ABC是等腰直角三角形，

AZB=45n,

AZAOD=90o,

：・S用彬=S^ABC-SAOBD-s场彬AOD+(S用形BOD-SAOBD)

=SAABC-2SAOBD-Sm形AOD+SISIKBOD

=SAABC-2SAOBD

I1

=—x2x2-2x—xjxl

22

=2-1

=1.

故选:D.

A

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形与扇形是解答此题的关

键.

11.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3

个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第6个图形有（）个小圆.

o

OO

0OOOOO。。。。。

OOOOOOOO

OOOO

OOOOOOO

OOOOOOO

0OOOOOOOO

O。。。

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.34B.40C.46D.60

【答案】C

【解

【分

分析数据可得:第1个图形中小圆的个数为6：第2个图形中小圆的个数为10：第3个图形中小圆的个数为

16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第〃个图形中小圆的个数为"(〃+1)+4,据此可得.

【详解】由题意可知第1个图形有小圆4+lX2=6个;

第2个图形有小圆4+2X3=10个;

第3个图形有小圆4+3X4=16个;

第4个图形有小圆4+4X5-24个;

・••第6个图形有小圆4+6X7=46个.

故选C.

【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分

发生了变化，是按照什么规律变亿的.

12.如图，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=；(x-3)?+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线，分别

2

交两条抛物线于点B,C.则以下结论：①无论x取何值，y2的直总是正数：②a=］；③当x=0时，y?・

)

C.®(3)®D.①②③④

【解析】

【分析】

根据与y2=；(X-3)2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A(l,3)代入抛物线yi=a(x+2)

2-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y?-yi的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标,

计算出AB与AC的长，即可得至!AB+AC的值.

【详解】解：①•・•抛物线y2=g(x-3)2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，

・•・无论x取何值，y?的值总是正数，故本结论正确；

②把A(1,3)代入y1=a(x+2)」-3得，3=a(1+2)2-3,

2

解得a=］，故本结论正确；

2J

③：丫尸］(x+2)2-3,y2=—(x-3)2+1,

2.11,11

・••当x=0时，yi=—(0+2)--3=--,yi=—(0-3)~+1=一，

3322

•<*>2-yi="■(­—)=|,6'故本结论错误；

④，・物线yi=a(x+2)2-3与丫2=；(X-3)2+1交于点A(1,3),

Ayi的对称轴为x=-2,yz的对称轴为x=3,

AB(-5,3),C(5,3),

/.AB=6,AC=4,

AAB+AC=10,故结论正确.

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉

二次函数图象上点的坐标特征.

二,填空题

1+3)=-1

13.已知方程组｛则x+y=

3x+y=9

【答案】2

【华茴斤】

由题意得，两个方程左右相加可得，4x+4)，=8=x+y=2,故答案为2.

14.因式分解：y3-4,)=_____.

【答案】y(y+2x)(y-2x).

【解析】

解：)？-4/y=y(y2-4x?)=y(y+2x)(y-2.r).故答案为y(y+2r)(y-2v).

2k

15.如图，点A是反比例函数y=—(x>0)的图象上任意一点，A8〃乂轴交反比例函数y=—(kWO)的图象于点

XX

B,以AB为边作平行四边形ABCD,点C,点D在x轴上.若S“ABCD=5,则k=.

【解析】

【分析】

设点A(x,-),表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根捱平行四边形的面积公式列式计算即可得解.

x

2kx2

【详解】设点A(x,-),则B(―,-),

x2x

kx2

则(X—)-=5,

2x

k=-3.

故答案为-3.

【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A,B的横坐标之差表示出AB的长度是解题的关键.

16.如图，在ZiABC中，ZACB=9O°,以点C为圆心，CB为半径的。C与边AB交于点D.若点D为AB

的中点，AB=6,则。C的半径长为.

【答案】3

【解析】

【分析】

连接CD,根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=；AB,代入求出即可.

【详解】解：如图，

连接CD,

•・•在AACB中，ZACB=90°,D为AB的中点，

11

.,.CD=-AB=-x6=3,

22

・・・0C的半径为3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据定理得出CD=[AB是解此题的关键.

2

17.在平面直角坐标系中，如果点P坐标为(m,n),向量而可以用点P的坐标表示为而=(m,n),已

知：0A=<xi，y1),QB=(x2!y?),如果xi・x2+y『y2=0,那么方与丽互相垂直，下列四组向量：

®0C=(2,1),OQ=(-1,2)；②赤二(cos30%tan45"),QP=(-1,sin600)；③前二(

g-立，-2),OH=(G+应，y);®OC=(£2),ON=(2,-1).其中互相垂直的是

(填上所有正确答案的符号).

【答案】①③④

【解析】

分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可：

详解:@V2X(-1)+1X2=0,

；・玩与次5垂直；

@Vcos30°x1+tan45。.sin60°=—+—=73,

22

・•・诙与无不垂直.

③：(6-+\/2j+(—2|x—=0,

••・03与丽垂直.

@V^°x2+2x(-l)=0,

・••丽与两垂直.

故答案为:①③④.

点睛：考查平面向最，解题的关键是掌握向最垂直的定义.

三,解答题

18.(1)计算(-2)3+(；)+|1-751°-4sin60°

(2)化简代数式1一一—J二"，再从-2夕与2中选一个恰当的整数作为a的值，代入求值.

、6Z+2ya—4

23

【答案】⑴2-26；⑵当a=0时，原式=2；当a=-l时，原式=’.

a-\2

【解析】

【分析】

(1)原式利用乘方的意义，零指数累、负整数指数基法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果,

把a的值代入计算即可求出值.

-2

【详解】解：(I)(-2)3+1+|1-73|°-4sin60°

=-8+9+1-4x立

2

=2-2小

3A,a2-2a+\

(2)

a+2Ja2-4

_a-\(a+2)(a-2)

-a+2(a-I)?

a-2

~a-\,

由-2$a02,得到整数a=-2,-1,0,1,2,

当a=-2,2,I时，分式没有意义，舍去；

3

当a=0时，原式=2；当a=-l时，原式=二.

【点睛】此题只要实数与分式的运算，解题的关键是熟知负指数轼、特殊角的二角函数值及分式的运算法

则.

19.某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生JS行问卷调查，图1和图2是整理数

据后绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题:

人数

(1)该校随机抽查了名学生？请将图1补充完整;

(2)在图2中，“视情况而定”部分所占的圆心角是度;

在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“马上救助”，现准备从这四人中随机抽取两人进行座

谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.

【答案】（1）200；补图见解析；（2）72；（3）!

6

【解析】

【详解】解：（I）该校随机抽查了:2472%=200(名)；C类：20()-16-120-24=40(名)：

如图:

画树形图得:

甲乙丙T

/|\/1\/|\

/!\甲乙丙

乙丙丁用丙丁甲乙丁

•・•共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是甲和乙的有2种情况,

21

・・・P（抽取两人恰好是甲和乙）二6=:

126

20.某商场销售A,B两款书包，己知A,B两款书包的进货价格分别为每个30元、50元，商场用3600元

的资金购进A,B两款书包共100个.

（1）求A,B两款书包分别购进多少个?

（2）市场调查发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=-xi90（60<x<90）.设D

款可包每天的销售利润为W元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天B款书包的销售利润最大？

最大利润是多少元？

【答案】（1）A,B两款书包分别购进70和30个；（2）B款书包的销售单价为70元时B款书包的销售利

润最大，最大利润是400元

【解析】

【分析】

（1）此题的等量关系为：购进A款书包的数量+购进B款书包的数量=100；购进A款书包的数量x进价+

购进B款书包的数量x进价=3600,设未知数，列方程求解即可.

（2）根据B款书包每天的销售利润=（B款书包的售价-B款书包的进价）x销售量y,列出w与x的函数解

析式，再利用二次函数的性质，即可解答.

【详解】（1）解•：设购进A款书包x个，则B款为（100-x）个，

由题意得：30x+50（100-x）=3600,

解之：x=70,

A100-x=100-70=30

答：A,B两款书包分别购进7（）和30个.

（2）解：由题意得：w=y（x-50）=-（x-50）（x-90）=-x2+140x-4500,

V-l<0,故w有最大值,

函数的对称轴为：x=70,而604x490,

故：当x=70时，w有最大值为400,

答：B款书包的销售单价为70元时B款书包的销售利润最大，最大利润是400元.

【点睛】考核知识点：二次函数y=a（x-h）的性质，二次函数的实际应用-销售问题.

21.如图，在RSA8C中，NAC3=90。，。为A3中点，AE//CD,CE//AB.

（I）试判断四边形AOCE的形状，并证明你的结论.

（2）连接BE,若NR4C=30。，CE=1,求BE的长.

【答案】（1）见解析；（2）V3

【解析】

【分析】

（1）首先判定四边形AOCE是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线的性质判定该平行四边形的邻

边相等，即可证得四边形AOCE是菱形.

（2）先求出的度数，然后用勾股定理求解即可.

【详解】（1）,:AEHS,CE//AB,

・•・四边形ADCE是平行四边形，

■:ZACB=90°,。为48的中点，

：.CD=-AB=AD,

2

・•・四边形ADCE为菱形；

（2）VZBAC=30°,四边形ADCE为菱形,

・•・/BAE=60°=ZDCE,

又：ZACB=90°,

AZD^C-60°,而。3=OC,

・•・[BCD是等边三角形，

・•・Z.DCB=60°,

・•・/BCE=120。，

又,:BC=CD=CE,

:.NC8E=30。，

・二乙4SE=3。。，

•••△48后中，NAE3=9（）。，

又；AE=CE=U

AB=2,

：•BE=ylAB2-AE2=>/3.

点睛：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

22.如图所示，直线AB与双曲线丫='交于A,B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C,D两点，连

2

接OA,若OA=2VT5，ian/AOC=§,B(-3,m)

(1)分别求一次函数与反比例函数式.

(2)连接OB,在x轴上求点P的坐标，使AAOP的面积等于ZiAOB的面积.

(2)P(9,0)或(・9,0)

【解析】

【分析】

(1)过人作人£_1_0€：与£,根据已知条件和勾股定理得到A(・6,4),由直线AB与双曲线丫=人交于A,

x

B两点，得到k=-6x4=-3m,解方程和方程组即可得到结论:

(2)设P(n,0),根据△AOP的面积等于△AOB的面积，列方程即可得到结论.

【详解】解：(1)过A作AE_LOC与E,

2

VtanZAOC=—，

3

：•设AE=2x,OE=3x,

・•・AO=7(2X)2+(3X)2=V13x=2Vi3，

.*.x=2,

；・AE=4,OE=6,

AA(-6,4),

・••线AB与双曲线y="交于A,B两点，

x

/.k=-6x4=-3m,

Ak=-24,m=8,

24

二反比例函数式为y=------,B(-3,8),

x

设一次函数的解析式为y=kx+b.

S--3k+bk=-

'*=&+//解得：3,

b=\2

4

，一次函数的解析式为y=yx+12；

(2)设P(n,0),

VAAOP的面积等于△AOB的面积,

Al|n|x4=y(4+8)x3,

/.n=±9,

・・・P(9,0)或(-9,0).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，

三角形的面积，比较简单.正确求出函数解析式是解题的关键.

23.如图,PB为。。的切线,B为切点,直线P0交。于点E、F,过点B作P0的垂线BA,垂足为点D,交

OU于点A,延长A0与。。交于点C,连接BC,AE.

（1）求证：直线PA为。。的切线；

（2）试探究线段EF、OD、0P之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC=6,lanZF=-,求cosNACB的值和线段PE的长.

2

3in

【答案】（1）证明见解析（2）EF2=4OD-OP,证明见解析（3）cosNACB=一，PE=—

53

【解析】

【详解】解：（1）连接OB,

：PB是。O的切线，・・・NPB0=9()°.

VOA=OB,BA_LPO于D,

AAD=BD,ZPOA=ZPOB.

又YPO=PO,.'.△PAOg△PBO:SAS).

.\ZPAO=ZPBO=90o.直线PA为。O的切线.

(2)EFMOD-OP.证明如下:

VZPAO=ZPDA=90°,.,.ZOAD+ZAOD=90°,ZOPA+ZAO