2025年人教A版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A版高三数学下册月考试卷743考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知平面向量=（1，2），=（2，-m）且⊥，则3+2=（）A.（-4，-10）B.（-4，7）C.（-3，-6）D.（7，4）2、已知等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=8，则a7=（）A.7B.8C.13D.153、在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（）A.（1，1）B.C.D.4、F为椭圆的焦点，A、B是椭圆短轴的端点，若△ABF为正三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.5、已知双曲线的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”；q：“函数f（x）=的值域为R”．则P是Q成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、若过两点P1(-1,2)，P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为(A)－(B)－(C)(D)7、已知zi=2鈭�i

则复数z

在复平面对应点的坐标是(

)

A.(鈭�1,鈭�2)

B.(鈭�1,2)

C.(1,鈭�2)

D.(1,2)

8、己知O

为坐标原点，双曲线x2a2鈭�y2b2=1(a>0,b>0)

的两条渐近线分别为l1l2

右焦点为F

以OF

为直径作圆交l1

于异于原点O

的点A

若点B

在l2

上，且AB鈫�=2FA鈫�

则双曲线的离心率等于(

)

A.2

B.3

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是____．10、已知|z-2|2+|z+2|2=16，则|z-1|的最大值是____．11、若方程a|x|-y=0和x-y+a=0（a＞0，a≠1）有且仅有两组公共解，则a的取值范围是____．12、设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是____．13、（2012秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于⊙O所在平面AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此____⊥平面PBC（请填图上的一条直线）14、（1-2x）10展开式中x3的系数为____（用数字作答）．15、已知圆C：那么圆心坐标是；如果圆C的弦AB的中点坐标是（-2，3），那么弦AB所在的直线方程是___．16、已知双曲线的焦点为F1．F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为____．17、【题文】已知动点（a，b）到直线y=2x和的距离之和为4，则的最小值为____。评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．21、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）22、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）23、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．24、空集没有子集．____．25、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、计算题(共2题，共20分)26、求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为____．27、一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如表。组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40）上的频率为_____．评卷人得分五、证明题(共3题，共15分)28、如图所示；三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，AC⊥BC，M为SB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．

（1）求证：DM∥平面SAC；

（2）求证：平面SBC⊥平面SAC；

（3）若BC=4，SB=20，求三棱锥D-MBC的体积．29、（Ⅰ）证明：a2+b2+3≥ab+（a+b）；

（Ⅱ）已知：a，b，c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+；

求证：a，b，c中至少有一个大于0．30、对于命题P：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b恒成立．

（1）试猜想常数M的值；并予以证明；

（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c恒成立，观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的正确命题（不需要证明）．评卷人得分六、作图题(共2题，共12分)31、若方程|2x-1|=m只有一解，则实数m的取值范围是____．32、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【分析】利用斜率的所了解清楚m，然后通过坐标运算求解即可．【解析】【解答】解：平面向量=（1，2），=（2，-m）且⊥；

所以2-2m=0；解得m=1；

3+2=3（1；2）+2（2，-1）=（7，4）．

故选：D．2、A【分析】【分析】直接利用等差数列的性质结合已知得答案．【解析】【解答】解：∵a3+a5=a1+a7=8；

又a1=1；

∴a7=7．

故选：A．3、C【分析】【分析】利用极坐标方程的形式，结合方程组求解交点即得．【解析】【解答】解：解方程组：，得交点的极坐标是；

∴交点的极坐标是．

故选C．4、D【分析】【分析】由题意可知c=b，又b2+c2=a2，从而可求该椭圆的离心率．【解析】【解答】解：由题意知；△ABF为正三角形；

∴c=•2b=b；

∴c2=3b2=3a2-3c2；

∴=；

∴e==．

故选D．5、C【分析】【分析】先求出双曲线的离心率，利用基本不等式可求其范围，从而可得数集M；先求分段函数的值域，从而利用充要条件的判断方法，即可判断．【解析】【解答】解：双曲线的离心率为

∵a＞0

∴

∴M=[2；+∞）

当x＜1时，；

∵x＜1，∴x-2＜-1，∴；

∴；∴f（x）＜0

当x≥1时；f（x）=2x-k≥2-k

∴若k≥2；则f（x）的值域为R；

若f（x）的值域为R；则2-k≤0，∴k≥2；

∴P是Q的充要条件

故选C．6、A【分析】设P(x,0)，则【解析】【答案】A7、A【分析】解：zi=2鈭�i

隆脿z=2鈭�ii=(2鈭�i)ii2=鈭�1鈭�2i

隆脿

复数z

在复平面对应点的坐标是(鈭�1,鈭�2)

故选：A

．

由题意可得z=2鈭�ii

再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为a+bi

的形式；从而求得z

对应的点的坐标．

本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i

的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．【解析】A

8、B【分析】解：双曲线的渐近线方程l1y=baxl2y=鈭�bax

F(c,0)

圆的方程为(x鈭�c2)2+y2=c24

将y=bax

代入(x鈭�c2)2+y2=c24

得(x鈭�c2)2+(bax)2=c24

即c2a2x2=cx

则x=0

或x=a2c

当x=a2c

时，y篓Tba?a2c=abc

即A(a2c,abc)

设B(m,n)

则n=鈭�ba?m

则AB鈫�=(m鈭�a2c,n鈭�abc)FA鈫�=(a2c鈭�c,abc)

隆脽AB鈫�=2FA鈫�

隆脿(m鈭�a2c,n鈭�abc)=2(a2c鈭�c,abc)

则m鈭�a2c=2(a2c鈭�c)n鈭�abc=2?abc

即m=3a2c鈭�2cn=3abc

即3abc=鈭�ba?(3a2c鈭�2c)=鈭�3abc+2bca

即6abc=2bca

则c2=3a2

则ca=3

故选：B

．

求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出AB

的坐标，结合点B

在渐近线y=鈭�bax

上；建立方程关系进行求解即可．

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为ac

的关系是解决本题的关键.

考查学生的计算能力．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：

由z=3x+2y，则y=，

平移直线y=，由图象可知当直线y=；

经过点B时，直线y=的截距最大；此时z最大；

由，解得；即B（1，2）；

此时zmin=3×1+2×2=7；

故答案为：710、略

【分析】【分析】z=a+bi，化简得出a2+b2=4，根据几何意义得出；Z点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，运用图形求解即可．【解析】【解答】解：z=a+bi；

∵|z-2|2+|z+2|2=16；

∴（a-2）2+b2+（a+2）2+b2=16；

a2+b2=4；

根据几何意义得出；Z点在以（0；0）为圆心，以2为半径的圆上；

∴|z-1|的几何意义是；圆上的点到（1，0）的距离；

∴|z-1|的最大值为3；

故答案为：311、略

【分析】【分析】方程a|x|-y=0和x-y+a=0（a＞0，a≠1）的公共解组数，即函数y=a|x|与函数y=x+a图象的交点个数，即方程a|x|=x+a解的个数，分当x＜0时和当x＞0时两种情况讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解析】【解答】解：方程a|x|-y=0和x-y+a=0（a＞0；a≠1）的公共解组数；

即函数y=a|x|与函数y=x+a图象的交点个数；

即方程a|x|=x+a解的个数；

当x＜0时，方程a|x|=x+a可化为：-ax=x+a，解得：x=；满足条件x＜0；

当x＞0时，方程a|x|=x+a可化为：ax=x+a，解得：x=；由条件x＞0得a＞1；

故a的取值范围是：a＞1；

故答案为：a＞112、略

【分析】【分析】由题意可得f（x）=•x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．【解析】【解答】解：由题意可得f（x）=•x6•=•x3．

由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立；

由于x2在区间[，]上的最大值为5；故m≥5；

即m的范围为[5；+∞）；

故答案为：[5，+∞）．13、AF【分析】【分析】根据题意，BC⊥AC且BC⊥PA，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC，从而得到平面PBC⊥平面PAC，而AF在平面PAC内且垂直于交线PC，联想平面与平面垂直的性质定理，得到AF⊥平面PBC，最后用直线与平面垂直的判定理可证出这个结论．【解析】【解答】解：∵PA⊥平面ACB；BC⊂平面ACB；

∴BC⊥PA

∵AB是⊙O的直径；

∴BC⊥AC；

∵PA∩AC=A；PA；AC⊂平面PAC

∴BC⊥平面PAC

∵AF⊂平面PAC

∴BC⊥AF

∵PC⊥AF；PC∩BC=B，PC；BC⊂平面PBC

∴AF⊥平面PBC

故答案为：AF14、略

【分析】

根据题意，可得其二项展开式的通项为Tr+1=Cnr•（-2x）r；

（1-2x）10展开式中的x3项为C103•（-2x）3=-960x3；

x3的系数为-960．

【解析】【答案】根据题意，可得其二项展开式的通项，确定r的值；即可得答案．

15、略

【分析】【解析】试题分析：将圆C：化成标准方程可得所以圆心为（-1,2），弦的中点与圆心连线垂直于现所在直线。所以所以直线方程为即考点：本题考查直线与圆的位置关系【解析】【答案】（-1,2），16、略

【分析】

已知双曲线的焦点为F1、F2；

点M在双曲线上且MF1⊥x轴，M（3，则MF1=

故MF2=

故F1到直线F2M的距离为．

故答案为：．

【解析】【答案】根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF1⊥x轴进而可得M的坐标，则MF1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF2．

17、略

【分析】【解析】因为直线与相交于原点且互相垂直，所以动点以及动点到两个直线的垂足和原点构成了矩形。设动点到两条直线的距离分别为则所以【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．21、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×22、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√23、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×24、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．25、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、计算题(共2题，共20分)26、略

【分析】【分析】类比求“方程=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=2x+3，解之即得方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集．【解析】【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0；则f（x）在R上单调递增；

由x6+x2=（2x+3）3+2x+3即（x2）3+x2=（2x+3）3+2x+3；

∴x2=2x+3；

解之得；x=-1或x=3．

所以方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为{-1；3}．

故答案为：{-1，3}．27、0.52【分析】【分析】根据所给的表格，做出样本落在（20，30]上的频率，样本事件落在（10，20]上的频率，样本事件落在（30，40]上的频率数据就落在三个区间上是互斥的，根据互斥事件的概率得到结果．【解析】【解答】解：由表格知，样本事件落在（10，20]上的频率是=0.13；

样本事件落在（20，30]上的频率是=0.24；

样本事件落在（30，40]上的频率是=0.15；

落在三个区间上是互斥的；

根据互斥事件的概率得到样本事件落在（10；40]上的频率是0.13+0.24+0.15=0.52

故答案为：0.52五、证明题(共3题，共15分)28、略

【分析】【分析】（1）由已知易求MD∥SA；由SA⊂面SAC，MD⊄面SAC，即可得证．

（2）易知SA⊥AB；从而可证SA⊥面SAC，进而证明SA⊥BC，BC⊥面SAC，从而得证．

（3）由已知易求AC=2，MD=5，即可解得三棱锥D-MBC的体积．【解析】【解答】

解：（1）在三棱锥S-ABC中；M为SB的中点，D为AB的中点，可知MD∥SA；

∵SA⊂面SAC；MD⊄面SAC；

∴MD∥平面SAC；4分。

（2）∵△AMB为正三角形；M为SB的中点，D为AB的中点；

∴MD⊥AB；MD∥SA，∴SA⊥AB；

∵SA⊥AC；AB∩AC=A

∴SA⊥面SAC；

∴SA⊥BC；又∵BC⊥AC，AC∩BC=C，∴BC⊥面SAC．

又∵BC⊂面SBC；∴平面SBC⊥平面SAC；8分。

（3）∵由已知易求AC=2，MD=5；

∴VD-MBC=VM-DBC=MD•S△DBC=1012分29、略

【分析】【分析】（Ⅰ）可利用分析法，要证a2+b2+3≥ab+（a+b）成立，只需证其充分条件2（a2+b2+3）≥2ab+2（a+b）成立；只需证下一个充分条件成立，，直到其充分条件显然成立为止；

（Ⅱ）利用反证法，假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，通过正确的推理，导出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论成立．【解析】【解答】（Ⅰ）证明：要证a2+b2+3≥ab+（a+b）成立；

只要证：2（a2+b2+3）≥2ab+2（a+b）；

即证：（a2+b2-2ab）+（a2+3-2a）+（b2-2b+3）≥0；

即证：（a-b）2++≥0；

而上式显然成立，当且仅当a=b=时取“=”；故原结论成立．

（Ⅱ）证明：假设a≤0