2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷543考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、四面体ABCD的六条棱长都为3；点P在线段AB上，且AP=1，过点P作与AC；BD都平行的平面α，面α分别与线段BC、CD、AD交于点Q、M、N，则四边形PQMN的面积为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2、已知P={y|y=x2；x∈R}，Q={y|y=x，x∈R}，则P∩Q=（）

A.{0；1}

B.{（0；0），（1，1）}

C.{y|y≥0}

D.R

3、设则它们的大小关系是（）

A.p＜n＜m

B.n＜p＜m

C.m＜p＜n

D.m＜n＜p

4、设若且则下列结论正确的是()A.B.C.D.5、利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A.B.C.D.16、下列函数是偶函数的是（）A.y=1﹣lg|x|B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是____．8、解不等式：

（1）|2x-1|＜15；

（2）x2+6x-16＜0；

（3）|2x+1|＞13；

（4）x2-2x＞0．9、已知全集U={a，b，c，d，e}，A={c，d，e}，B={a，b，e}，则集合（∁UA）∩B=____．10、如图，在△ABC中，若则=____（用向量表示）

11、【题文】函数的定义域为____。12、函数f(x)=2sin(2x鈭�娄脨3)

的最小正周期为______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出下列函数图象：y=16、作出函数y=的图象．17、画出计算1++++的程序框图．18、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

19、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)21、已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0；

（1）求f（1）与f（-1）值；

（2）求证：f（x）是偶函数；

（3）求证：f（x）在（0；+∞）上是增函数．

22、已知集合A={1，3，x2}；B={1，2-x}，且B⊆A．

（1）求实数x的值；

（2）若B∪C=A，且集合C中有两个元素，求集合C．评卷人得分五、计算题(共4题，共28分)23、（2010•泉州校级自主招生）直角三角形ABC中，BC=AC，弧DEF圆心为A．已知两阴影面积相等，那么AD：DB=____．24、比较大小：，，则A____B．25、已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=____．26、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)27、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．28、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．29、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．30、如图；在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

因为四面体ABCD的六条棱长都为3；所以四面体为正四面体，则由正四面体的性质可知，对棱相互垂直．

因为AC；BD都平行的平面α；

所以PQ∥AC；MN∥AC，PN∥BD，QM∥BD；

所以四边形PQMN为矩形；

因为AP=1，所以BP=2，则

即．

同理可求PN=1；所以四边形PQMN的面积为2×1=2．

故选B．

【解析】【答案】先利用正四面体的条件；确定四边形PQMN为矩形，然后分别求出矩形的两个直角边，然后求出面积．

2、C【分析】

由题意可得；P={y|y≥0}，Q=R

∴P∩Q={y|y≥0}

故选C

【解析】【答案】由题意可得；P={y|y≥0}，Q=R，从而可求集合的交集。

3、C【分析】

=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin（30°-6°）=sin24°

==

=cos20°-sin20°=sin45°cos20°-cos45°sin20°=sin（45°-20°）=sin25°

∵y=sinx当x∈（0，）为增函数；∴sin24°＜sin25°＜sin26°

∴m＜p＜n

故选C

【解析】【答案】先利用三角函数的恒等变换以及同角三角函数关系式把m，p化为一个正弦函数，再利用正弦函数当x∈（0，）的单调性比较大小即可．

4、D【分析】【解答】由已知得f（x）是偶函数，且在区间上递增，由f（x1）>f（x2）得|x1|>|x2|，即x12>x22．故选D．

【分析】1.考查函数单调性的定义；2.奇偶函数在对称区间上单调性5、A【分析】【解答】方程有实根，则b≤a2，满足此条件时对应的图形面积为：∫01（x2）dx=故方程有实根的概率P=选A．

【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生两个随机数a和b所对就图形的面积，及方程有实根对应的图形的面积，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．6、A【分析】【解答】解：对于函数f（x）=1﹣lg|x|，它的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=1﹣lg|﹣x|=1﹣lg|x|=f（x），故它为偶函数．对于函数y=f（x）=lg令＞0；求得﹣1＜x＜1；

再根据f（﹣x）=lg=lg=﹣f（x）；可得该函数为奇函数．

对于函数y=f（x）=﹣=它的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称；

但不满足f（﹣x）=f（x）；故它不是偶函数．

对于函数y=f（x）=+它的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称；

但不满足f（﹣x）=f（x）；故它不是偶函数．

故选：A．

【分析】先看各个函数的定义域是否关于原点对称，再看是否满足f（﹣x）=f（x），从而得出结论．二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】

由于a是实数；若集合{x|ax=1}是任何集合的子集；

则此集合必是空集；

故方程ax=1无根；所以a=0

故答案为：0．

【解析】【答案】由题意；集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，a的值易求得．

8、略

【分析】

（1）|2x-1|＜15；转化为-15＜2x-1＜15；解得-7＜x＜8，解集为（-7，8）．

（2）x2+6x-16＜0；转化为（x-2）（x+8）＜0；所以不等式的解集为：（-8，2）．

（3）|2x+1|＞13；转化为13＜2x+1或2x+1＜-13；解得6＜x或x＜-7，解集为（-∞，-7）∪（6，+∞）．

（4）x2-2x＞0．转化为x（x-2）＞0；不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．

【解析】【答案】利用绝对值不等式的解法求解（1）（3）；利用二次不等式的解法求解（2）（4）．

9、略

【分析】

∵全集U={a，b，c，d，e}，A={c，d，e}，B={a，b；e}；

∴CUA={a，b}；

∴（CUA）∩B={a，b}∩{a，b，e}={a，b}．

故答案为：{a，b}．

【解析】【答案】由全集U={a，b，c，d，e}，A={c，d，e}，B={a，b，e}，先求出CUA，再计算（CUA）∩B的值．

10、略

【分析】

由于

由于BD=DC；

故

又因为

故

所以．

故答案为：．

【解析】【答案】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系是解决本题的关键；注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意∴故函数的定义域为

考点：本题考查了定义域的求法。

点评：求函数的定义域的准则一般有：①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方式非负；③对于中，．【解析】【答案】12、略

【分析】解：函数f(x)=2sin(2x鈭�娄脨3)

的最小正周期为2娄脨2=娄脨

故答案为：娄脨

．

由条件利用利用函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的周期为2娄脨蠅

求得结论．

本题主要考查函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的周期性，利用了函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的周期为2娄脨蠅

属于基础题．【解析】娄脨

三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．16、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可17、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．18、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共2题，共12分)21、略

【分析】

（1）令x1=x2=1

∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）

∴f（1）=2f（1）

∴f（1）=0（2分）

令x1=-1，x2=1

f（-1）=f（-1）+f（1）

∴f（-1）=0；（2分）

（2）证明：令x1=-1

∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）

∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）

又∵f（-1）=0

∴f（-x2）=f（x2）

故f（x）是偶函数；（3分）

（3）证明：令x1＞1，当x2∈（0，+∞）时，x1•x2＞x2

∵当x＞1时f（x）＞0

∴f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）＞f（x2）．

故f（x）在（0；+∞）上是增函数．（3分）

【解析】【答案】（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），分别令x1=x2=1，x1=-1，x2=1；即可得到答案；

（2）根据f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）及（1）中的结论，令x1=-1，易判断出f（-x2）与f（x2）的关系；再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．

（3）令x1＞1，结合已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0；我们易根据函数单调性的定义得到结论．

22、略

【分析】

（1）直接利用集合的包含关系进行计算即可得到答案．

（2）B∪C=A；说明，B⊆A，且C⊆A，集合C中有两个元素，即可求集合C．

本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用；集合元素的特征（互异性）的基本运算，比较基础．

属于基础题．【解析】解：（1）∵B⊆A；

∴2-x=3或2-x=x2

解得：x=-1或x=1或x=-2；

当x=-1或x=1时，x2=1；集合A违背了集合元素的特征（互异性）．

∴x=-2

（2）由（1）知A={1；3，4}，B={1，4}；

∵B∪C=A；∴3∈C

又∵集合C中有两个元素．

∴C={1，3}或C={3，4}五、计算题(共4题，共28分)23、略

【分析】【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列等式求出AD与DB的比．【解析】【解答】解：设AB=BC=a则AB=a；

∵两阴影面积相等，∴SABC=S扇形ADF

即a2=AD2•π；

∴AD=；

∴AD：DB=AD：（AB-AD）=；

故答案为．24、略

【分析】【分析】利用差减法比较大小．并用字母表示数，再进行分式减法计算．【解析】【解答】解：先设5678901234=a；那么5678901235=a+1；

同样设6789012345=x；那么67890123456=10x+6；

∴A-B=-=；

∵9ax-x=（9a-1）x＞0；

∴A-B＞0；

∴A＞B．

故答案是＞．25、略

【分析】【分析】本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=66；

设xy=m；x+y=n；

由xy+x+y=17；得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66；

∴m=6；n=11或m=11，n=6（舍去）；

∴xy=m=6；x+y=n=11；

x2+y2=112-2×6=109，x2y2=36

x4+y4=1092-36×2=11809

x4+x3y+x2y2+xy3+y4

=11809+6×109+36

=12499．

故答案为：1249926、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．六、综合题(共4题，共16分)27、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9-x）；

∴z=+x-9；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角；

如图；∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9；

由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9；

∴BG=HC；

∴CG=x=9；

即当x=9时；AG=AH．

故答案为：△HGA，△HAB．28、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．29、略

【分析】【分析】（1）连接BO1，DO2，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，根据切线长定理求出AB的长，设O1B为r，根据勾股定理得到方程（4r）2-（2r）2=42；求出方程的解即可；

（2）求出∠CMO=∠NO1O2=30°，求出OM，设AB的解析式是y=kx+b；把C；M的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）①∠MO2P=30°，过B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，过P'作P'W⊥X轴于W，根据相似三角形的性质求出PW即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可；②∠MO2P=120°，过P作PZ⊥X轴于Z，根据含30度角的直角三角形性质求出PZ，即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可．【解析】【解答】解：（1）连接BO1，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，