2025年菁优高考数学压轴训练3

Page2025年菁优高考数学压轴训练3一．选择题（共10小题）1．（2024•白山一模）设集合，，则A． B．， C．， D．2．（2024•张家口三模）已知正数，满足，则的最大值为A．5 B．6 C．7 D．83．（2024•辽宁二模）已知，，，则的最小值为A．4 B．6 C． D．4．（2024•海淀区二模）设，，，且，则A． B． C． D．5．（2024•昌乐县校级模拟）若正数，满足，则的取值范围是A．， B．， C．， D．6．（2024•白山一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为A．16 B．25 C．36 D．497．（2024•张家口模拟）设全集，集合，集合，则A．， B． C．， D．8．（2024•延庆区一模）已知函数，则不等式的解集是A． B． C． D．，，9．（2024•延边州一模）若，则成立的一个必要不充分条件是A． B． C． D．10．（2024•孝南区校级模拟）已知，则的最小值是A．3 B．4 C．6 D．7二．多选题（共5小题）11．（2024•岳麓区校级一模）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，，，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家．．提出了“均值”，即，其中为有理数．下列关系正确的是A．，， B．，， C．， D．，12．（2024•广东模拟）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．13．（2024•甘肃模拟）已知，，若，则A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为14．（2024•江苏模拟）若正实数，满足，则A． B．有序数对，，有6个 C．的最小值是 D．15．（2024•蜀山区校级模拟）已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是A． B． C． D．三．填空题（共5小题）16．（2024•源汇区校级模拟）若，则的最大值为．17．（2024•长宁区校级三模）已知函数，若，，且，则的最小值是．18．（2024•浙江模拟）设，，，，则的最大值为．19．（2024•樊城区校级模拟）已知正实数，满足，则的最小值为．20．（2024•枣庄模拟）以表示数集中最大（小的数．设，，，已知，则．四．解答题（共5小题）21．（2024•雅安模拟）已知．（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．22．（2023•绵阳模拟）已知函数，，且的解集为，．（1）求的值；（2）若，，，且，证明：．23．（2023•泸县校级模拟）已知函数的定义域为．（1）求实数的范围；（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．24．（2023•陕西模拟）已知，，为正实数且．（1）求的最小值；（2）当时，求的值．25．（2022•上海模拟）已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．（1）设，，，试判断是“型函数”还是“型函数”；（2）设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数，的值；（3）设，，，若为“型函数”，求（2）的取值范围．

2025年菁优高考数学压轴训练3参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•白山一模）设集合，，则A． B．， C．， D．【答案】【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算；其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；集合；数学抽象【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得．【解答】解：在中，由得，即，，又由可得：，解得，即，，故，．故选：．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．（2024•张家口三模）已知正数，满足，则的最大值为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值．【解答】解：因为，为正数，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以，在等式两边同时乘以，可得：，即，解得，当且仅当时，即当时，取得最大值8．故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，是中档题．3．（2024•辽宁二模）已知，，，则的最小值为A．4 B．6 C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；消元法；不等式；逻辑推理；数学运算【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件．【解答】解：由，，，，即，易知，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为．故选：．【点评】本题考查利用利用基本不等式求最值，属中档题．4．（2024•海淀区二模）设，，，且，则A． B． C． D．【答案】【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质【专题】整体思想；数学抽象；函数的性质及应用；综合法【分析】结合不等式性质检验选项，结合基本不等式检验选项，结合函数单调性检验选项；举出反例检验选项．【解答】解：因为，，当，时，显然错误；，当且仅当时取等号，错误；令，，则，即在上单调递增，所以，故，所以，正确；当，时，显然错误．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质，函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．5．（2024•昌乐县校级模拟）若正数，满足，则的取值范围是A．， B．， C．， D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】逻辑推理；不等式的解法及应用；整体思想；定义法【分析】利用基本不等式即可求解．【解答】解：由题意知，为正数，且，所以，化简得，解得，当且仅当时取等号，所以，，故正确．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．6．（2024•白山一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为A．16 B．25 C．36 D．49【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】综合法；不等式；数学运算；整体思想【分析】根据权方和不等式，直接计算即可．【解答】解：因为正数，，，满足，又，即，于是得，当且仅当，即时取“”，所以函数的最小值为49．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．7．（2024•张家口模拟）设全集，集合，集合，则A．， B． C．， D．【答案】【考点】一元二次不等式及其应用；指、对数不等式的解法；并集及其运算【专题】综合法；集合；整体思想；数学抽象【分析】先求出集合，，然后结合集合的并集运算即可求解．【解答】解：因为集合，集合，则．故选：．【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．8．（2024•延庆区一模）已知函数，则不等式的解集是A． B． C． D．，，【答案】【考点】指、对数不等式的解法【专题】综合法；函数的性质及应用；数形结合；数学抽象【分析】由已知结合指数函数及一次函数的图象及函数的性质即可求解．【解答】解：由可得，令，，由可得，，因为，（1）（1），结合一次函数及指数函数的增长速度可知，与只有两个交点，结合函数图象可知，当时，，即．故选：．【点评】本题主要考查了指数函数及一次函数的性质在不等式求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．9．（2024•延边州一模）若，则成立的一个必要不充分条件是A． B． C． D．【答案】【考点】其他不等式的解法；充分条件与必要条件【专题】综合法；不等式的解法及应用；转化思想；简易逻辑；数学抽象【分析】解不等式得或，选出其必要不充分条件即可．【解答】解：，即且，解得或，所以或，对于，是的既不充分也不必要条件；对于，即或，是的必要不充分条件；对于，即或，是的充分不必要条件；对于，是的充分不必要条件；故选：．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题．10．（2024•孝南区校级模拟）已知，则的最小值是A．3 B．4 C．6 D．7【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】不等式的解法及应用；转化思想；逻辑推理；转化法【分析】直接利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是6．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•岳麓区校级一模）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，，，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家．．提出了“均值”，即，其中为有理数．下列关系正确的是A．，， B．，， C．， D．，【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；不等式；转化法；新定义；转化思想【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项．【解答】解：对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项正确；对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项错误；对于，，当且仅当时，等号成立，所以选项正确；对于，当时，由可知，，所以选项错误．故选：．【点评】本题考查了利用基本不等式比较大小的应用问题，是基础题．12．（2024•广东模拟）若，，，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；转化法【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，依次求解．【解答】解：，对于，，当且仅当时，等号成立，故正确；对于，，当且仅当时，等号成立，故，故错误；对于，，当且仅当时，等号成立，故正确；对于，，，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故正确．故选：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．13．（2024•甘肃模拟）已知，，若，则A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；转化法；逻辑推理【分析】对于，选项，直接由基本不等式即可求出最值；对于选项，化为，即可求出最小值；对于选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．【解答】解：对于选项，由，即，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确；对于选项，因为，当且仅当时，取到最小值，所以错误；对于选项，因为，，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以正确；对于选项，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．14．（2024•江苏模拟）若正实数，满足，则A． B．有序数对，，有6个 C．的最小值是 D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；综合法；整体思想；不等式【分析】由已知结合不等式的性质检验选项；结合等式关系及，的范围检验选项；结合基本不等式检验选项；结合函数性质及单调性与单调性关系检验选项．【解答】解：根据题意，，，，对于，由题意得，，所以，正确；由题意得，，，由知，，故满足题意的，有：；，；，；，；，；，共6个，正确；，当且仅当，即时取等号，错误；，因为，所以，，令，，则，当时，，单调递增，故，即，错误．故选：．【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及基本不等式的性质，属于中档题．15．（2024•蜀山区校级模拟）已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；不等式的解法及应用；函数的性质及应用；综合法；数学运算【分析】选项，方程变形得到，利用基本不等式求出答案；选项，由变形后，利用基本不等式求出最值；选项，由由变形得到，构造，求导得到其单调性，进而求出最值情况；选项，由证明出，进而证明出．【解答】解：由可知，即，故，因为，所以，所以，故，选项正确；由选项可知，，又，，故，当且仅当，时或，时取“”，选项正确；由选项可知，，又，，故，令，有，令，解得，令，解得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，故（2），故，选项错误；等价于，即，因为，又，，故，当且仅当，即时，等号成立，故选项正确．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论，函数的单调性在最值求解中的应用，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•源汇区校级模拟）若，则的最大值为．【考点】基本不等式及其应用【专题】不等式；整体思想；数学运算；综合法【分析】借助基本不等式有消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得解．【解答】解：由题意得：，，，则，当且仅当时等号成立，即，即，则有，则，，又在单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，则当时，即、时，有最大值，即的最大值为．故答案为：．【点评】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解，属中档题．17．（2024•长宁区校级三模）已知函数，若，，且，则的最小值是8．【答案】8．【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；综合法；整体思想；不等式【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可得，的关系，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，所以，即为奇函数，因为与都为上递增的函数，故在上单调递增，若，，且，则，所以，即，，当且仅当，即，时取等号．故答案为：8．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．18．（2024•浙江模拟）设，，，，则的最大值为1．【答案】1．【考点】基本不等式及其应用【专题】综合法；数学运算；整体思想；不等式【分析】由已知设，，，，，然后结合不等式性质及基本不等式即可求解．【解答】解：设，，，，，则，所以，则，所以，因为，，所以，因此．故答案为：1．【点评】本题主要考查了不等式性质及基本不等式的应用，属于中档题．19．（2024•樊城区校级模拟）已知正实数，满足，则的最小值为．【考点】运用“1”的代换构造基本不等式【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；整体思想【分析】由，结合基本不等式求解即可．【解答】解：因为，所以，所以，因为，为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．20．（2024•枣庄模拟）以表示数集中最大（小的数．设，，，已知，则．【答案】．【考点】基本不等式及其应用【专题】数学运算；综合法；不等式；整体思想【分析】由，得，设，则，再结合基本不等式求解即可．【解答】解：由，得，设，则，由，当且仅当时，取等号，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•雅安模拟）已知．（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．【答案】（1）．（2）8．【考点】运用基本不等式求最值【专题】综合法；计算题；数学运算；不等式的解法及应用；整体思想【分析】（1）由得，则，可得结果．（2）利用基本不等式先求出的最值，再求出的最值，可得结果．【解答】解：（1）因为，所以且，所以，则，解得，又，所以的取值范围为．（2），当且仅当，即，时，等号成立，，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．22．（2023•绵阳模拟）已知函数，，且的解集为，．（1）求的值；（2）若，，，且，证明：．【考点】：基本不等式及其应用【专题】34：方程思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．【解答】解：（1）函数，，且的解集为，，可得的解集为，，即有，，，可得；（2）证明：，，，且，则，当且仅当，取得等号．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．23．（2023•泸县校级模拟）已知函数的定义域为．（1）求实数的范围；（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；（2）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）函数的定义域为，在上恒成立，即，，；（2）由（1）知，，当且仅当，时取等号，的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2023•陕西模拟）已知，，为正实数且．（1）求的最小值；（2）当时，求的值．【答案】（1）的最小值为；（2）．【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；（2）由基本不等式可得，结合条件得，从而求、、的值，即可得的值．【解答】解：（1）由柯西不等式得，，故；当且仅当，即，，时，等号成立；故的最小值为；（2）由基本不等式可得，，，，故，故，当且仅当，且，即，，时，等号成立，又，，即，，，．【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．25．（2022•上海模拟）已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．（1）设，，，试判断是“型函数”还是“型函数”；（2）设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数，的值；（3）设，，，若为“型函数”，求（2）的取值范围．【答案】（1）是“型函数”；（2），；（3），．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；基本不等式及其应用【专题】数学运算；整体思想；不等式的解法及应用；数形结合；函数的性质及应用；综合法【分析】（1）利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；（2）分，和，结合函数的单调性分类讨论求解；（3）分不同的取值结合“型函数”的定义即可求范围．【解答】解：（1）当，时，，当且仅当时取等号，由于（1），（4），所以函数的值域为，因为，所以，所以是“型函数”；（2），定义域为，，由题意得函数的值域也为，，显然，否则值域不可能由负到正，当，时，在，上单调递增，则，得，；当，时，在，上单调递减，则得，；（3），，，由题意得函数的值域，，当时，的最小值（1），当时，的最小值（a），当时，的最小值（3），当时，的最大值（3），当时，的最大值（1），因为（2），由点所在的可行域，当，时，（2）取最大值，最大值为2，当（2）与相切，即，时，（2）取最小值，最小值为1，因此（2）的取值范围是，．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．

考点卡片1．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．5．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．证明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．6．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．7．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+的最小值，可以利用均值不等式从而得出最小值为2，并且在x＝1时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则的最大值是_____．解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则＝，当且仅当a＝b＝时取等号．故答案为：．8．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求的最小值．解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴＝，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为：．故答案为：．9．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：10．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．11．一元二次不等式及其应用【知