2025年菁优高考数学解密之椭圆

Page2025年菁优高考数学解密之椭圆一．选择题（共10小题）1．（2024•莲湖区校级三模）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是A． B．9 C．16 D．252．（2024•保定三模）已知曲线，则的最大值为A． B． C． D．3．（2024•湖北模拟）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024•内江三模）设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积为A． B．1或 C． D．1或5．（2024•天府新区模拟）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为A． B． C． D．6．（2024•咸阳模拟）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．7．（2024•商洛模拟）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是A． B． C． D．8．（2024•陕西模拟）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．9．（2024•佛山模拟）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.9710．（2024•濮阳一模）记椭圆与圆的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为A． B． C． D．二．多选题（共5小题）11．（2024•日照一模）如图是数学家用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“双球”．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，，是截口椭圆的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则A．椭圆的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆的离心率为12．（2024•广东模拟）已知椭圆的长轴端点分别为，、两个焦点分别为、，是上任意一点，则A．的离心率为 B．△的周长为 C．△面积的最大值为 D．13．（2024•山东一模）已知椭圆的右焦点为，，，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是A． B． C． D．14．（2024•湖北模拟）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球半径，有15．（2024•全国模拟）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是A．椭圆的离心率 B． C．△面积的最大值为12 D．的最小值为三．填空题（共5小题）16．（2024•广州模拟）已知椭圆的左右焦点为，．直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为．17．（2024•咸阳模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为．18．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．19．（2024•西藏模拟）已知椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为．20．（2024•河北模拟）数学家用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为．四．解答题（共5小题）21．（2024•梅州模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的点到直线的距离的最大值．22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，点在上，点，分别为直线、上的点．（1）求的值；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，求证：直线经过定点．23．（2024•榆林四模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8，△的最大面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．24．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求△的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．25．（2024•泸州模拟）如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点．椭圆的离心率为，是坐标原点）的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．证明：，，三点的横坐标成等差数列．

2025年菁优高考数学解密之椭圆参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•莲湖区校级三模）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是A． B．9 C．16 D．25【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】数学运算；定义法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的定义可得，再利用基本不等式，即可求得的最大值．【解答】解：由题意，，，，当且仅当时，等号成立，，的最大值是25．故选：．【点评】本题考查椭圆的定义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．2．（2024•保定三模）已知曲线，则的最大值为A． B． C． D．【答案】【考点】椭圆的几何特征【分析】利用，可求的最大值．【解答】解：曲线，，又，，，，，当且仅当时取等号，的最大值为．故选：．【点评】本题考查重要不等式的应用，属中档题．3．（2024•湖北模拟）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【考点】充分条件与必要条件；椭圆的几何特征【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆【分析】由题意得，再分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上，求得后即可求解．【解答】解：椭圆的离心率为，即，若椭圆焦点在轴上，则，得，若椭圆焦点在轴上，则，得，故“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．4．（2024•内江三模）设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积为A． B．1或 C． D．1或【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】分或为直角，为直角时，求出直角边，进而求出三角形的面积．【解答】解：由椭圆方程可得，，所以，当或为直角时，则或，此时；当为直角时，则，即，由椭圆的定义可得，，可得，所以，所以△的面积为或1．故选：．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．5．（2024•天府新区模拟）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】椭圆的弦及弦长【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；计算题【分析】法一：设，则，，由椭圆的定义有，在△和△中，由余弦定理结合，两式消去，，然后转化求解即可．法二：设，则，，由椭圆的定义，在△中，由余弦定理转化求解椭圆方程即可．【解答】解：法一：由已知可设，则，，由椭圆的定义有，．在△和△中，由余弦定理得，又，互补，，两式消去，，得，解得．，所求椭圆方程为，故选：．法二：如图，由已知可设，则，，由椭圆的定义有，．在△中，由余弦定理推论得．在△中，由余弦定理得，解得．，所求椭圆方程为，故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6．（2024•咸阳模拟）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】椭圆的性质【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设，，可得，，，．由，可得，利用勾股定理即可得出．【解答】解：设，，，，．，，，，即，，，．故选：．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2024•商洛模拟）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】数学运算；综合法；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理【分析】由题意，对椭圆方程进行变形，根据椭圆的焦点在轴上，列出不等式再进行求解即可．【解答】解：易知该椭圆方程为，因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得，则的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．8．（2024•陕西模拟）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】求椭圆的离心率【专题】数学运算；转化思想；计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用焦点在轴上可求的范围，进而由，可求．【解答】解：由题得，可得，因为焦距为4，所以，解得，所以椭圆的离心率为．故选：．【点评】本题考查椭圆的性质，属基础题．9．（2024•佛山模拟）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解．【解答】解：设该椭圆的半长轴为，半焦距为，月球半径为，则根据题意可知地球半径为，月球中心与地球中心距离为，所以，又，所以，，所以离心率．故选：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．10．（2024•濮阳一模）记椭圆与圆的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想【分析】设直线与直线的斜率分别为，，则根据题意易得，且直线的斜率为，再根据椭圆的几何性质易得，从而建立方程，即可求解．【解答】解：设直线与直线的斜率分别为，，由，可得，，又根据题意可知，直线的斜率为，即直线的斜率为，设，则，，又易知，，，，，的离心率为．故选：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•日照一模）如图是数学家用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“双球”．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，，是截口椭圆的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则A．椭圆的中心不在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 D．椭圆的离心率为【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答．【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点，分别为圆，与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆的中心（即线段的中点）不在直线上，故正确；椭圆长轴长，过作于，连，显然四边形为矩形，又，则，过作交延长线于，显然四边形为矩形，椭圆焦距，故错误；所以直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为，故正确；所以椭圆的离心率，故正确．故选：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．12．（2024•广东模拟）已知椭圆的长轴端点分别为，、两个焦点分别为、，是上任意一点，则A．的离心率为 B．△的周长为 C．△面积的最大值为 D．【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；计算题；综合法【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解．【解答】解：已知椭圆的长轴端点分别为，、两个焦点分别为、，则椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于选项，的离心率为，故正确；对于选项，△的周长为，故正确；对于选项，，设，，，则△面积的最大值为，故错误；对于选项，，，，，因此，故正确．故选：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．13．（2024•山东一模）已知椭圆的右焦点为，，，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是A． B． C． D．【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算【分析】方法一，用中点坐标公式，表示出，，再用向量的数量积为零，求出，的轨迹方程，与椭圆有交点，求出取值范围；方法二，用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到，，的关系，再计算离心率的范围．【解答】解：方法一：依题意，可得，又有，故，即，；又有，即圆与椭圆有公共点且公共点不在坐标轴上，故，即，故；方法二：依题意，，故，分别是线段，的中点，故，；又有，故，则；因为，故，即，得．故选：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．14．（2024•湖北模拟）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球半径，有【答案】【考点】求椭圆的离心率【专题】数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；定义法；对应思想【分析】过点作线段，分别与球、切于点、，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得、，借助离心率的定义可得，借助正切函数的定义可得．【解答】解：对，：过点作线段，分别与球、切于点、，由图可知，、分别与球、切于点、，故有，由椭圆定义可知，该椭圆以、为焦点，为长轴长，故正确，由与球切于点，故，有，即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故正确；对：由题意可得，则，故正确；对：由题意可得，，故，即，故错误．故选：．【点评】本题考查球的切线的性质与椭圆定义相关知识，属于中档题．15．（2024•全国模拟）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是A．椭圆的离心率 B． C．△面积的最大值为12 D．的最小值为【答案】【考点】椭圆的几何特征【专题】整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；计算题；数学运算；综合法【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，，，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果．【解答】解：因为椭圆，则，，，由椭圆离心率公式可得，故正确；由椭圆的定义可知，，故错误；因为，设点到轴的距离为，显然，则△面积的最大值为，故正确；因为为椭圆左焦点，所以，故错误．故选：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•广州模拟）已知椭圆的左右焦点为，．直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为．【答案】．【考点】椭圆的几何特征【分析】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再根据椭圆的定义求出，，再在△中，利用余弦定理求出，的关系，即可得解．【解答】解：由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则，由，得，因为，所以，又，所以，在△中，由余弦定理得，即，所以，即椭圆的离心率．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．17．（2024•咸阳模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为．【答案】．【考点】椭圆的几何特征【专题】综合法；整体思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值．【解答】解：椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径，显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得，于是，当且仅当，分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．18．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为．【考点】：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设线段的中点为，利用是△的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．【解答】解：设线段的中点为，由题意知，，又是△的中位线，，则，由椭圆的定义知，又，，在直角三角形中，由勾股定理得：，又，可得，故有，由此可求得离心率，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单性质，注意椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数的应用，是中档题．19．（2024•西藏模拟）已知椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为．【答案】．【考点】椭圆的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；计算题；数学运算；综合法【分析】设椭圆的半焦距为，由题意解得，，设椭圆的左焦点为，则，利用椭圆的定义和三角形的性质即可求解．【解答】解：设椭圆的半焦距为，由题意，得，，所以，，设椭圆的左焦点为，则，所以，则的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．20．（2024•河北模拟）数学家用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为．【答案】．【考点】求椭圆的离心率【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想；数学运算【分析】根据给定信息分析截口曲线上任意一点满足的关系，进而确定曲线的形状，再利用轴截面求出椭圆的长半轴长及半焦距得解．【解答】解：令两个球，分别与截面相切于点，，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于，，，均为球的切线，则，同理，因此，由切点，的产生方式知，长为定值，于是截口曲线上任意点到定点，的距离和为定值，该曲线是以点，为焦点的椭圆，作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，，则，椭圆的长轴长，半焦距为，则，因此，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查旋转的组合体的结构特征以及长半轴长及半焦距、离心率相关知识，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•梅州模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的点到直线的距离的最大值．【答案】（1）；（2）．【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想【分析】（1）由椭圆的离心率，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程；（2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，设椭圆的方程为：，，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设与直线平行的直线的方程为，联立，整理可得：，△，可得，则，所以直线到直线的距离．所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，点在上，点，分别为直线、上的点．（1）求的值；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，求证：直线经过定点．【答案】（1）．（2）证明见解析．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化法；方程思想【分析】（1）解法一：设，，根据斜率公式得，然后根据点在椭圆上化简即可求解．解法二：设，，利用三点共线的向量形式求得，，结合点在椭圆上化简即可求解．（2）解法一：联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得，同理得点的坐标为，分类讨论求得直线的方程，即可求得直线经过的定点．解法二：设直线的方程为：，，，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理利用求得或3（舍去），从而求得直线经过的定点．【解答】解：（1）解法一：设，，由题可知，，又，，，在椭圆上，则，，．解法二：设，，则，、、三点共线，，同理，，又，在曲线上，，代入上式得：．（2）证明：解法一：由题可知，直线的方程为：，联立方程，可得：，，，，又，，，同理可得点的坐标为，当直线垂直于轴时，，即，，，此时直线的方程为．当直线不垂直于轴时，，故直线的方程为，令，则，整理得，此时直线经过定点，综上所述，直线经过定点．解法二：由，，得，又，，由题可得直线显然不与轴平行，设直线的方程为：，，，，，由，得，所以△，所以，又，由且，解得，直线方程为，直线经过定点．【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．23．（2024•榆林四模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8，△的最大面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）存在定点．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征【专题】数学运算；综合法；逻辑推理；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中信息，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公式再进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为的周长为8，△的最大面积为，所以，解得，或，，则椭圆的方程为或；（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，，设直线的方程为，，，，，，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，若的内心在轴上，此时，可得，即，整理得，即，因为，，所以，解得，当直线垂直于轴，即时，显然点也是符合题意的点．故在轴上存在定点，使得的内心在轴上．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．24．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．（1）求线段的长；（2）若线段的中点在轴上，求△的面积；（3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得的长；（2）求出点的横坐标，由三角形面积公式求解即可；（3）假设存在以，为邻边的矩形，使得点在椭圆上，显然，设，，，，利用向量的坐标运算表示出点的坐标，由，在椭圆上及，可得方程组，从而可求得点的纵坐标．【解答】解：（1）依题意得：，由轴，得：，代入椭圆方程得：，所以线段的长为．分（2）显然，线段的中点在轴上，则，即轴，，，分所以．分（3）假设存在以，为邻边的矩形，使得点在椭圆上，显然，设，，，，则，，因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，代入计算得，，由题意知，在椭圆上及，代入，得，即，分将①②代入③并化简得，，再结合①，得，即或．若，则；分若，则联立①②，得，消去，得，解得，由于，故．分综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或．分【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．25．（2024•泸州模拟）如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点．椭圆的离心率为，是坐标原点）的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．证明：，，三点的横坐标成等差数列．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合【专题】对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题；逻辑推理；数学运算；综合法【分析】（Ⅰ）由题意，根据离心率公式、三角形面积公式和，，之间的关系列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，将问题转化成求证，按部就班求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以，①因为，是坐标原点）的面积为1，所以，②又，③联立①②③，解得，，，则椭圆的方程为；（Ⅱ）证明：不妨设直线的方程为，，，，，，因为直线经过点，所以，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以，因为，，三点共线，所以，即，则，故，，三点的横坐标成等差数列．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2离心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）准线x＝±y＝±3．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆