湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

20242025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆x27+yA.7 B.3 C.272.在空间直角坐标系O−xyz中，点(1,A.(−1,−2,−3)3.在四棱台ABCD−A.{AB,AD,B1D4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65,135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则(

)A.X>Y B.X=Y

C.X<Y5.动直线l:(k+2)x−(kA.(x+1)2+(y+6.在平面直角坐标系中，若点A(−2,0)到直线l的距离为1，点B(2,0A.1条 B.2条 C.3条 D.4条7.直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与A.253 B.152 C.2038.点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若AB⋅A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.随机事件A，B满足P(A)=0.4，P(A.P(AB)=0.2 B.P(AB)=0.2410.平行六面体ABCD−A1B1C1A.|BD1|=2

B.BD1⊥CD

11.在平面直角坐标系内，动点P到两定点F1(−2,0)，F2(2,0)的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线CA.曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B.|OA|=6

C.当点P位于B点处时，∠F1P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线y=k13.在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=7，14.双曲线E:x2a2−y2b2=1的左，右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E的右支上的一点，△PF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1)，离心率e=16.(本小题15分)甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为710，答对第2道题的概率为12，乙答对每道题的概率都为3(1)(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD=2，A(1)求证：P(2)若平面α与平面PAC的夹角为θ，且cosθ=18.(本小题17分)

如图，已知圆M:(x−2)2+(y−(1)求证：|(2)当AC//BD19.(本小题17分)

已知直线l:y=kx+b(1)求k(2)已知椭圆E:x24+y23=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0(3)是否存在这样的二次曲线F:λx2+μy2=1，当直线l与曲线F有两个交点M答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题．

根据椭圆的方程即可求解．【解答】

解：由已知可得：a2=9，所以a=3，所以椭圆的长轴长为2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查空间中点的对称，属于基础题．

根据一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．【解答】

解：∵一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，

∴点(1,−2,3)关于3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量的基底，属于基础题.

根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.【解答】

解：对于四棱台ABCD−A1B1C1D1，

A选项中，AB，AD，B1D1共面，不符合要求；

B选项中4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题.

计算出Y的值，估计出X的范围，即可判断.【解答】

解：Y=85+0.0750.25×10=88，5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查求圆的标准方程，属于基础题.

求出动直线l恒过定点(1,【解答】

解：动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0，即kx−y+2x+y−3=0，

6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.

根据点到直线的距离公式分情况即可判断.【解答】

解：当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=a，

由题意可知|a−(−2)|=1且|a−2|=3，则a=−1使得两个式子同时成立.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，即kx−y+b=0，因为点A(−2,0)到直线l的距离为1，

所以|−2k+b|k2+(−17.【答案】A

【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题.

根据抛物线的几何性质得出xAxB=p2【解答】

解：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，

抛物线的焦点Fp2,0，直线AB的方程为x=my+p2，

由x=my+p2y2=2px，消去x8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题.

由AB⋅AP=2可得，x=1，由cos⟨【解答】

解：分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设P(x,y,z)，由AB⋅AP=2，可得x=1，①

9.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题.

利用P(AUB【解答】

解：由P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+0.6−P(AB)=0.8，

10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题.

利用向量对选项逐个计算即可判断.【解答】

解：对于选项A，由|BD1|=|BA+AD+DD1|=(BA+AD+DD1)2=1+1+1−1−1+1=2，所以A错误;

对于选项B，BD11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题.

对于A，分别以−x代x，以−y代y，即可判断；对于B，令y=0即可判断；对于C【解答】

解：设P(x,y)，由|PF1|⋅|PF2|=6，可得(x+2)2+y2⋅(x−2)2+y2=6，

对于A，由曲线方程可知，将−x代替x，方程不变;将−y代替y，方程不变，故A对；

对于B，令y=0，解得|x−2|12.【答案】16【解析】【分析】本题考查直线的截距式方程，斜截式方程，直线过定点问题，属于较易题.

易知直线y=kx+1经过点D(0,1)，利用△BCD的面积为△AOB【解答】

解：直线y=kx+1经过定点D(0,1)，设直线y=kx+1与线段AB相交于点C，

∴S△BCD=12S△AOB=13.【答案】0

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题.

建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【解答】

解：取BC的中点O，连接AO，DO，因为AB=AC，

所以AO⊥BC，以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BC=4，AB=AC=7，所以OA=3，

则A1(3,0,2)，B14.【答案】2

【解析】【分析】本题考查双曲线与三角形相结合设题，双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质，属于中档题.

由已知求出S1=r2|PF1|，S【解答】

解：由题设△PF1F2内切圆的半径为r，则S1=r2|PF1|，S2=r2|PF2|，

∴

S1−S2=r2(|PF1|−|PF215.【答案】解：因为双曲线离心率e=ca=3，则ba=b2a2=e2−1=2，

即b=2a，c=3a.

若焦点在x轴上，则双曲线方程为x2a2−y22【解析】本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.

根据离心率可得b=2a，c=16.【答案】解：(1)记甲答对第i题为事件Ei(i=1,2)，则P(E1)=710，P(E2)=12.

记甲答对i道题为事件Ai(i=0,1,2)，则A1=E1E2+E1E2，

其中E1E2与E【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.

(1)对甲答对一道题分类：第1题答对且第2题答错，第1题答错且第2题答对;

(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类：两人都答对0题，都答对117.【答案】解：(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，

AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，

又PA⊂平面PAB，故AD⊥PA;

同理因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，

又因为AB、AD是平面ABCD内两相交直线，

所以PA⊥平面ABCD;

(2)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，设Q(0,0,λ【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，平面的夹角，属于中档题.

(1)利用面面垂直的性质得出直线AB，AD都垂直于PA，再利用线面垂直的判定定理即可得出结论；

(2)18.【答案】解：由题意可知：圆M的圆心为M2,1，半径r=5，

(1)设AB,CD的中点分别为E,F，

则ME⊥AB,MF⊥CD，且AB⊥CD，

可知EOFM为矩形，则ME2+MF2=OM2=5，

所以AB2+CD2=4r2−ME2+4r2−MF2=200−4ME2+MF2=180

为定值；

(2)因为点O在圆M内，可知过点O的直线与圆M必相交，

分析可知，当直线AB或CD中有斜率不存在时不满足，

根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线AB:y=kx，Ax1,y1,Bx2,y2,x1=【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于较难题；

(1)取弦的中点，可得ME2+MF2=5，利用垂径定理求弦长，进而分析证明；

(2)设直线AB:19.【答案】解：(1)由直线l与圆O相切，可得圆心O到直线l的距离d=|b|1+k2=1，

即k2−b2=−1;

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(xQ,yQ)，由条件所给的公式，

可知椭圆E在点A(x1,y1)处的切线AQ方程为x1