高考数学二轮总复习专题能力训练14空间中的平行与垂直理

专题能力训练14空间中的平行与垂直能力突破训练1.如图,O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C12.在三棱柱ABCA1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为()A.棱AB的中点 B.棱A1B1的中点C.棱BC的中点 D.棱AA1的中点3.(2022广西南宁二模)在正方形ABCD中,E为AB的中点,H为AD的中点,F,G分别为BC,CD上的点,且CF=2FB,CG=2GD,将△ABD沿着BD折起得到空间四边形A1BCD,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.EF∥GH B.EF与GH相交C.EF与GH异面 D.EH与FG异面4.(2022全国乙,理7)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D5.已知正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.

6.在正三棱柱A1B1C1ABC中,点D是BC的中点,BC=2BB1.设B1D∩BC1=F.求证:(1)A1C∥平面AB1D;(2)BC1⊥平面AB1D.7.如图,AB为圆柱底面圆的一条直径,AC为圆柱的一条母线,D为AB的中点,AB=AC=4.(1)证明:BD⊥平面ACD;(2)求点A到平面BCD的距离.8.(2022广西桂林、崇左、贺州3月模拟)在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E,AE=3,连接BE交AD于点F,如图①,将△ADE沿AD折起,使得点E到达点P的位置,如图②.图①图②(1)求证:AD⊥平面BFP;(2)若G为PB的中点,H为CD的中点,且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱锥GBCH的体积.思维提升训练9.在正方形ABCD中,AB=4,点E,F分别是AB,AD的中点,将△AEF沿EF折起到△A'EF的位置,使得A'C=23.在平面A'BC内,过点B作BG∥平面A'EF交边A'C于点G,则A'G=()A.33 B.233 C.310.如图,正方形ABCD和梯形BDEF所在的平面互相垂直,EF∥BD,EF=12BD,AC与BD交于点O,G,H分别为线段AB,BF的中点(1)求证:AC⊥BF;(2)求证:GF∥平面ADE;(3)若DF⊥BF,求证:平面AHC⊥平面BGF.11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.12.(2022广西南宁二中模拟)如图,在三棱柱ABCA'B'C'中,侧棱AA'⊥底面ABC,AB=AC,BC=2AA',D,E分别为BC,BB'的中点.(1)求证:DC'⊥平面ADE;(2)试探究三棱锥CAC'E的体积与三棱锥C'ADE的体积的比值是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=5,AB=AD=2.将△ABD(如图①)沿直线BD折起,使二面角ABDC为60°(如图②).图①图②(1)求证:AE⊥平面BDC;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点B到平面ACD的距离.

专题能力训练14空间中的平行与垂直能力突破训练1.D解析易知A1C1⊥平面BB1D1D.∵B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.2.B解析如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接A1E,CE.∵A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,EC∩A1E=E,∴平面A1CE∥平面BC1D,又A1C⊂平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.3.B解析连接EH,FG(图略).由CF=2FB,CG=2GD,得FG∥BD,且FG=23BD由E为AB的中点,H为AD的中点,得EH∥BD,且EH=12BD所以EH∥FG,且EH≠FG,所以四边形EFGH为梯形,所以EF与GH相交.故选B.4.A解析如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.5.2+6解析如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为26.证明(1)如图,连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点,∴DE∥A1C.∵A1C⊄平面AB1D,DE⊂平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥平面B1BCC1.∵BC1⊂平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.∵点D是BC的中点,BC=2BB1,∴BD=22BB1∵BDBB1=CC1BC=22,∴∠BDB1=∠BC1C.∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°.∴BC1⊥B1D.又B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.7.(1)证明因为AB为圆柱底面圆的一条直径,所以由圆的性质可知BD⊥AD.由AC为圆柱的一条母线,可知AC⊥平面ABD,又因为直线BD在平面ABD内,所以AC⊥BD.因为BD⊥AD,AC⊥BD,AC∩AD=A,AD,AC⊂平面ACD,所以BD⊥平面ACD.(2)解由BD⊥平面ACD,CD⊂平面ACD,所以BD⊥CD.因为D为AB的中点,所以AD=BD.因为AB=4,所以在Rt△ABD中,有AD=BD=22又因为AC=4,所以在Rt△ACD中,CD=AC2+AD2=16+8=26,所以S△BCD=12BD·设点A到平面BCD的距离为d.VCABD=13×4×12×22×22=163,V由VCABD=VABCD,有433d=163故点A到平面BCD的距离为48.(1)证明折叠前,由已知得AE⊥AB,又AB=3,AE=3,∴∠AEB=60°,BE=23∵AE⊥CE,AE=3,AD=BC=2,∴∠EAD=30°.∴∠AFE=180°∠AEB∠EAD=90°,即BE⊥AD.∴折叠后,PF⊥AD,BF⊥AD.又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP.(2)解由(1)知PF⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF⊂平面ADP,∴PF⊥平面ABCD.由(1)得EF=12AE=32,∴又G为PB的中点,∴点G到平面ABCD的距离为3∵H为CD的中点,∴CH=12CD=12由题意可知点B到CD的距离为3,∴S△BCH=1∴VGBCH=1思维提升训练9.B解析连接AC,分别交BD,EF于点O,H(图略).∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴OHHC=13,BD∥平面A'EF.又∴平面BGD∥平面A'EF.平面A'CH分别与平面BGD、平面A'EF交于OG,HA',∴OG∥HA',∴A∴A'G=13A'C=10.证明(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,∴AC⊥平面BDEF.∵BF⊂平面BDEF,∴AC⊥BF.(2)(方法一)如图,取AD的中点M,连接ME,MG.在△ABD中,∵G,M分别为AB,AD的中点,∴GM∥BD,且GM=12BD又EF∥BD,且EF=12BD,∴GM∥EF,且GM=EF.∴四边形GMEF为平行四边形.∴GF∥ME.∵ME⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,∴GF∥平面ADE(方法二)如图,连接OF,OG,∵EF∥BD,且EF=12BD,∴EF∥OD,且EF=OD∴四边形DOFE为平行四边形.∴OF∥DE.∵DE⊂平面ADE,OF⊄平面ADE,∴OF∥平面ADE.∵O,G分别为BD,AB的中点,∴OG∥AD.又OG⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴OG∥平面ADE.∵OG∩OF=O,∴平面GOF∥平面ADE.∵GF⊂平面OGF,∴GF∥平面ADE.(3)如图,连接OH,在△BDF中,∵O,H分别为BD,BF的中点,∴OH∥DF.∵DF⊥BF,∴OH⊥BF.∵BF⊥AC,AC∩OH=O,AC⊂平面AHC,OH⊂平面AHC,∴BF⊥平面AHC.∵BF⊂平面BGF,∴平面AHC⊥平面BGF.11.(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=14AB时,BC∥平面DFK证明如下:如图,设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH.又因为AK=14AB,F为AE所以KF∥EH,所以KF∥BC.因为KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,所以BC∥平面DFK.(2)证明因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE.因为BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中AE=BE=2,从而AE2+BE2=4=AB2,所以AE⊥BE.因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.又因为BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.12.(1)证明在三棱柱ABCA'B'C'中,设AA'=BB'=CC'=a,则BC=2AA'=2a.又D,E分别为BC,BB'的中点,所以CC'所以CC又AA'⊥平面ABC,AA'∥BB'∥CC',所以BB'⊥平面ABC,CC'⊥平面ABC,所以BB'⊥BC,CC'⊥BC,所以∠C'CD=∠DBE=90°,所以△C'CD∽△DBE,所以∠CC'D=∠BDE.又∠CC'D+∠CDC'=90°,所以∠BDE+∠CDC'=90°,所以∠C'DE=90°,即DC'⊥DE.因为CC'⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以CC'⊥AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩CC'=C,所以AD⊥平面BCC'B',所以AD⊥DC'.又DE∩AD=D,所以DC'⊥平面ADE.(2)解由(1)知AD⊥平面BCC'B',BB'=CC'=a,BC=2a,DC'⊥DE,CC'⊥BC,BB'⊥BC.又D,E分别为BC,BB'的中点,所以CD=BD=22a,BE=12所以DC'=CC'2+CD2所以S△CC'E=12·a·2a=22a2,S△C'DE=12×62a所以三棱锥CAC'E的体积与三棱锥C'ADE的体积的比值为定值,此定值为413.(1)证明如图,取BD的中点M,连接AM,ME.∵AB=AD=2,DB=2,∴AM⊥BD,AB⊥AD.∵DB=2,DC=1,BC=5满足DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC.∵E是BC的中点,∴ME为△BCD的中位线,ME12∴ME⊥BD,ME=12∴∠AME是二面角ABDC的平面角,∴∠AME=60°.∵AM⊥BD,ME⊥BD,且AM,ME是平面AME内两相交于点M的直线,∴BD⊥平面AEM.∵AE⊂平面AEM,∴BD⊥AE.∵△ABD为等腰直角三角形,∴AM=12BD=1.在△AEM∵AE2=AM2+ME22AM·ME·cos∠AME=1+142×1×12×∴AE=32,∴AE2+ME2=1=AM2∴AE⊥ME.∵BD∩ME=M,BD⊂平面BDC,ME⊂平面BDC,∴AE⊥平面BDC.(2)解如图,取AD的中点N,连接MN,NE,DE,则MN是△ABD的中位线,∴MN∥AB.又ME∥CD,∴