2025年高考物理一轮复习（新人教新高考）第四章抛体运动圆周运动复习讲义（教师版）

考情分析试题情境生活实践类生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题学习探究类小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型第1课时曲线运动运动的合成与分解目标要求1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。考点一曲线运动的条件和特征1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。(1)a恒定：匀变速曲线运动；(2)a变化：非匀变速曲线运动。3．做曲线运动的条件：4．速率变化的判断1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)2．做曲线运动的物体的位移一定小于路程。(√)3．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)4．做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。(×)例1(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是()答案D解析小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系1．速度方向与运动轨迹相切；2．合力方向指向曲线的“凹”侧；3．运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。考点二运动的合成与分解1．基本概念(1)运动的合成：已知分运动求合运动。(2)运动的分解：已知合运动求分运动。2．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。3．运动分解的原则根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。4．合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。1．合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)3．曲线运动一定不是匀变速运动。(×)例2跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关答案C解析运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和着地时竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误。例3(2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx和竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像分别如图甲、乙所示。规定竖直向上为vy的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是()A．0～t1时间内，无人机做曲线运动B．t2时刻，无人机运动到最高点C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动D．t2时刻，无人机的速度大小为eq\r(v02＋v22)答案D解析在0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A错误；在0～t4时间内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t2时刻，无人机还没有运动到最高点，选项B错误；在t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；在t2时刻，无人机的水平速度为v0、竖直速度为v2，则合速度大小为eq\r(v02＋v22)，选项D正确。判断两个直线运动的合运动性质的方法1．分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。2．常见的情况：两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动考点三绳(杆)端速度分解模型例4(2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列判断正确的是()A．P的速率为vB．P的速率为vsinθ2C．P处于超重状态D．P处于失重状态答案C解析将小车的速度v进行分解，如图所示，则有vP＝vcosθ2，选项A、B错误；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于超重状态，选项C正确，D错误。例5(2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是()A．v1∶v2＝eq\r(7)∶3B．v1∶v2＝3eq\r(7)∶7C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大答案B解析设当乙球距离起点3m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cosθ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sinθ，而v1杆＝v2杆，由题意有cosθ＝eq\f(\r(7),4)，sinθ＝eq\f(3,4)，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(3\r(7),7)，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。1．题型特点与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。2．明确合速度与分速度合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线3．解题原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。考点四小船渡河模型例6(多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180m，则下列说法中正确的是()A．河中水流速度为2.5eq\r(3)m/sB．小船以最短位移渡河的时间为24eq\r(3)sC．小船渡河的最短时间为24sD．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90eq\r(5)m答案BD解析河中水流速度为v2＝v1cos60°＝2.5m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝eq\f(d,v1sin60°)＝eq\f(180,5×\f(\r(3),2))s＝24eq\r(3)s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝eq\f(d,v1)＝eq\f(180,5)s＝36s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36m＝90m，则总位移大小s＝eq\r(d2＋x2)＝90eq\r(5)m，选项D正确。拓展1．若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？答案渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。2．若在A处下游180eq\r(3)m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？答案设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1′＝v2sinα，tanα＝eq\f(d,l)＝eq\f(\r(3),3)，得α＝30°，所以船的最小速度为v1′＝v2sin30°＝1.25m/s。小船渡河的两类情况最短时间最短航程v船>v水v船<v水tmin＝eq\f(d,v船)lmin＝d，cosθ＝eq\f(v水,v船)lmin＝d·eq\f(v水,v船)，cosθ＝eq\f(v船,v水)课时精练1．(2024·吉林通化市模拟)关于曲线运动，下列说法正确的是()A．曲线运动一定是匀变速运动B．物体做曲线运动时，加速度一定不为零C．物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用D．物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上答案B解析曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A错误；物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B正确；物体做曲线运动时，可能受恒力的作用，例如平抛运动，C错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D错误。2．(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是()答案A解析篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。3．(2024·江西省模拟)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图b，水平速度vx保持不变，若以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则潜艇“掉深”后的0～30s内能大致表示其运动轨迹的图形是()答案B4.(多选)(2023·河南郑州市第二十四中学检测)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,cosβ)B.eq\f(v1,v2)＝cosβC．轻绳拉力一定大于mgsinαD．斜面受到地面水平向左的摩擦力答案ACD解析根据A、B沿绳方向的速度相等，有v1cosβ＝v2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,cosβ)，故A正确，B错误；由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsinα，故C正确；B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。5．(2024·湖北省模拟)有一个质量为4kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是()A．质点做匀变速直线运动B．质点所受的合外力为22NC．t＝2s时质点的速度大小为6m/sD．零时刻质点的速度大小为5m/s答案D解析由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向，在x轴方向上的初速度大小为3m/s，在y轴方向上的速度大小为4m/s，则初速度大小v0＝eq\r(32＋42)m/s＝5m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5N＝6N，故B错误；t＝2s时质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4m/s，则合速度大小为v＝eq\r(62＋42)m/s>6m/s，故C错误。6.在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，现A物体以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时(如图所示)，B物体的速度vB为(绳始终有拉力)()A.eq\f(v1sinα,sinβ)B.eq\f(v1cosα,sinβ)C.eq\f(v1sinα,cosβ)D.eq\f(v1cosα,cosβ)答案D解析将两物体的速度分别沿绳方向和垂直绳方向分解，两物体沿绳方向的分速度大小相等，则有v1cosα＝vBcosβ，解得B物体的速度为vB＝eq\f(v1cosα,cosβ)，故选D。7.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是()A．水流方向向右，大小为v0cosαB．甲船沿岸方向水平位移为eq\f(dcosα,sinα)C．甲乙两船不会在NP上某点相遇D．两船同时到达河对岸，渡河时间均为eq\f(d,v0sinα)答案AD解析由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cosα，故A正确；设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsinα，甲船水平位移x甲＝(v0cosα＋v水)t，联立解得x甲＝eq\f(2dcosα,sinα)，故B错误；由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误；两船在垂直河岸方向的分速度都为v垂直＝v0sinα，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝eq\f(d,v垂直)＝eq\f(d,v0sinα)，故D正确。8．(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是()答案D解析以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。9.(2024·山东泰安市模拟)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为()A.eq\f(vLsin2θ,h) B.eq\f(2vLcosθ,h)C.eq\f(vLcos2θ,h) D.eq\f(vcosθ,h)答案A解析当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于物块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsinθ，则杆的角速度ω＝eq\f(vB,rOB)＝eq\f(vsinθ,\f(h,sinθ))＝eq\f(vsin2θ,h)，小球A的线速度大小vA＝Lω＝eq\f(vLsin2θ,h)，故选A。10.(2023·黑龙江哈尔滨市九中二模)如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆上套有一质量为m的物块，杆与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5。对小车施加一水平力，同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t时刻小车的速度为v＝gt，g为重力加速度，不计空气阻力和地面摩擦。则t时刻物块的速度大小为()A.eq\r(2)gtB.eq\f(\r(5),2)gtC．2gtD.eq\r(5)gt答案B解析由于t时刻小车的速度为v＝gt，可知小车的加速度大小为g，方向水平向右，对物块在水平方向有FN＝mg，在竖直方向有mg－μFN＝ma，vy＝at，则t时刻物块的速度大小vt＝eq\r(v2＋vy2)，解得vt＝eq\f(\r(5),2)gt，故选B。11.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：(1)小球离A、B所在直线的最远距离；(2)A、B两点间的距离；(3)小球的最大速率vmax。答案(1)eq\f(mv02,2F)(2)eq\f(2m2gv02,F2)(3)eq\f(v0,F)eq\r(F2＋4m2g2)解析(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，解得xmax＝eq\f(mv02,2F)。(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝eq\f(v0,ax)由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1竖直方向上有y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(2m2gv02,F2)。(3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0，vy＝gt，则vmax＝eq\r(vx2＋vy2)＝eq\f(v0,F)eq\r(F2＋4m2g2)。

第2课时抛体运动目标要求1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。考点一平抛运动的规律1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3．研究方法：化曲为直(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动。4．规律(1)平抛运动物体的速度变化量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。(2)基本规律如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。(3)两个推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tanθ＝2tanα。1．平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(√)2．做平抛运动的物体单位时间内速度变化量越来越大。(×)3．相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(×)例1(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。eq\f(E2,E1)等于()A．20B．18C．9.0D．3.0答案B解析摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝eq\f(1,2)gt12，可解得v1＝eq\r(\f(gh,2))，动能E1＝eq\f(1,2)mv12＝eq\f(mgh,4)；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝eq\f(1,2)gt22，解得v2＝3eq\r(gh)，动能E2＝eq\f(1,2)mv22＝eq\f(9,2)mgh，故eq\f(E2,E1)＝18，B正确。例2(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是()A．运动的时间都相同B．速度的变化量不相同C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍D．若小面圈刚被抛出时初速度为v0，则Leq\r(\f(g,2h))<v0<3Leq\r(\f(g,2h))答案AD解析所有小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))，可知所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；所有小面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，根据Δv＝gt可知所有小面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；若小面圈刚被抛出时初速度为v0，根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距离最小值为L，最大值为3L，有L＝vmint，3L＝vmaxt，t＝eq\r(\f(2h,g))，则Leq\r(\f(g,2h))<v0<3Leq\r(\f(g,2h))，小面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍，但是竖直速度相等，根据速度的合成v＝eq\r(v02＋vy2)，可知落入锅中时，最大速度小于最小速度的3倍，C错误，D正确。1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时；(2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。考点二与斜面或圆弧面有关的平抛运动

已知条件情景示例解题策略已知速度方向从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。已知速度的方向垂直于斜面分解速度tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。已知速度方向沿该点圆弧的切线方向分解速度tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)已知位移方向从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。已知位移的方向沿斜面向下分解位移tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。已知位移方向垂直斜面分解位移tanθ＝eq\f(x,y)＝eq\f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq\f(2v0,gt)利用位移关系从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。已知位移大小等于半径Req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝R＋Rcosθ,x＝v0t,y＝Rsinθ＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2＝R2))例3(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)，求：(1)运动员在空中飞行的时间；(2)运动员落在B处时的速度大小；(3)运动员在空中离坡面的最大距离。答案(1)3s(2)10eq\r(13)m/s(3)9m解析(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，由题图可知tanθ＝eq\f(y,x)联立解得t＝eq\f(2v0,g)tanθ＝3s(2)运动员落在B处时有vx＝v0，vy＝gt所以vB＝eq\r(vx2＋vy2)＝10eq\r(13)m/s(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy′＝v0sinθ＝12m/say＝－gcosθ＝－8m/s2当vy′＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝eq\f(0－vy′2,2ay)＝9m。拓展1．AB的距离l为多少？答案由x＝v0t得x＝60m，l＝eq\f(x,cosθ)＝75m。2．若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？答案由(1)问知t＝eq\f(2v0,g)tanθ，可知t∝v0，故在空中飞行时间变为原来的eq\f(1,2)倍。由l＝eq\f(x,cosθ)＝eq\f(v0t,cosθ)＝eq\f(2v02tanθ,gcosθ)可知l∝v02，故在斜面上飞行距离变为原来的eq\f(1,4)倍。3．初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？答案落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。例4如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为()A.eq\r(\f(3\r(3)gR,2)) B.eq\r(\f(3gR,2))C.eq\r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq\r(\f(\r(3)gR,3))答案A解析小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝eq\f(tan30°,2)＝eq\f(\r(3),6)，由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(y,\f(3,2)R)，可得竖直方向的位移y＝eq\f(\r(3),4)R，而vy2＝2gy，tan30°＝eq\f(vy,v0)，联立解得v0＝eq\r(\f(3\r(3)gR,2))，选项A正确，B、C、D错误。考点三斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动。4．基本规律以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。(1)初速度可以分解为v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cosθ)tvx＝v0x＝v0cosθ在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－eq\f(1,2)gt2＝(v0sinθ)t－eq\f(1,2)gt2vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时①射高：h＝eq\f(v0y2,2g)＝eq\f(v02sin2θ,2g)。②斜抛运动的飞行时间：t＝eq\f(2v0y,g)＝eq\f(2v0sinθ,g)。③射程：s＝v0cosθ·t＝eq\f(2v02sinθcosθ,g)＝eq\f(v02sin2θ,g)，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝eq\f(v02,g)。例5(2023·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25m，与篮板的水平距离L1＝1.17m，篮圈离地的高度h2＝3.05m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45m，若篮球的直径d＝0.24m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。答案2.1m/s解析运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝eq\f(1,2)gt12，L1－eq\f(d,2)＝v0t1代入数据解得v0＝2.1m/s。逆向思维法处理斜抛问题对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。例6(2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60m，灭火弹出膛速度v0＝50m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8。(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；(2)已知电容器储存的电能E＝eq\f(1,2)CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3kg，电容C＝2.5×104μF，电容器工作电压U应设置为多少？答案(1)60m(2)1000eq\r(2)V解析(1)灭火弹做斜上抛运动，则水平方向上有L＝v0cosθ·t竖直方向上有H＝v0tsinθ－eq\f(1,2)gt2代入数据联立解得H＝60m(2)根据题意可知Ek＝ηE＝15%×eq\f(1,2)CU2又因为Ek＝eq\f(1,2)mv02，联立解得U＝1000eq\r(2)V。课时精练1.(多选)如图，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则()A．a的飞行时间比b长B．b和c的飞行时间相等C．a的水平速度比b的小D．b的初速度比c的大答案BD解析平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y＝eq\f(1,2)gt2，ya＜yb＝yc，所以b和c的飞行时间相等且比a的飞行时间长，A错误，B正确；因x＝vt，xa＞xb＞xc，ta＜tb＝tc，故va＞vb＞vc，C错误，D正确。2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是()A．将击中P点，t大于eq\f(L,v)B．将击中P点，t等于eq\f(L,v)C．将击中P点上方，t大于eq\f(L,v)D．将击中P点下方，t等于eq\f(L,v)答案B解析由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝eq\f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝eq\f(L,v)，故选B。3．(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是()A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B．谷粒2在最高点的速度小于v1C．两谷粒从O到P的运动时间相等D．两谷粒从O到P的平均速度相等答案B解析抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。两谷粒从O点运动到P点的水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。4.(2023·江苏徐州市三模)如图所示，在海边的山坡上同一位置以相同大小的初速度v0抛出两个石子，速度方向与水平方向夹角均为θ，两石子在同一竖直面内落入水中，不计空气阻力。两石子抛出后()A．在空中运动时间相同B．在空中同一高度时速度方向相同C．落至水面时速度大小不同D．落至水面时的水平射程相同答案B解析由斜上抛运动的对称性可知，斜上抛的石子落回到与抛出点同一高度时，竖直方向的分速度与斜下抛的竖直分速度大小v0sinθ相同，方向也相同。如图，从A点经过相同高度，斜上抛石子的状态与斜下抛石子的状态相同，故B正确，C错误；两石子在空中运动的时间差为斜上抛石子在抛出点上方运动的时间，A错误；落至水面时水平射程x＝v0cosθ·t，因两石子运动时间不同，故落至水面时的水平射程不同，D错误。5．(2024·福建宁德市一模)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是()A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大D．小球落在a点和b点时的速度方向不同答案A解析设斜面倾角为θ，则tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，可得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确；两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误；根据题意知，落在a点的小球竖直位移比落在b点的小，根据h＝eq\f(1,2)gt2，可知落在a点的小球运动的时间小于落在b点的，根据Δv＝gt可知，落在a点的小球速度变化小于落在b点的，故C错误；设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝2tanθ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。6.(2024·陕西汉中市联考)某次试飞中，轰－20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：(1)炸弹在空中运动的时间t；(2)A点到山坡底端的距离d。答案(1)eq\r(\f(2H－h,g))(2)eq\r(2Hh－h2)解析(1)炸弹在竖直方向做自由落体运动，则有H－h＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(\f(2H－h,g))(2)设炸弹的水平位移为x，如图，则有eq\f(h,x)＝eq\f(x,2H－h)，d2＝x2＋h2解得d＝eq\r(2Hh－h2)。7.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为()A．0B．0.1mC．0.2mD．0.3m答案C解析小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝eq\f(1,2)mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，联立解得x＝2eq\r(H－hh)，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1m－0.8m＝0.2m，故C正确。8.(2023·福建宁德市模拟)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则()A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1答案C解析由题意可得，对球1，有tanα＝eq\f(\f(1,2)gt12,v0t1)＝eq\f(gt1,2v0)，对球2，有tanβ＝eq\f(v0,gt2)，又tanα·tanβ＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确。9．(多选)(2023·广东广州市实验中学模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼俗和宴饮游戏，如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(sin37°＝0.6，sin53°＝0.8)()A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙小D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所投的箭落入壶口时速度比乙大答案AC解析根据题意，设位移与水平方向的夹角为θ，速度与水平方向的夹角为α，由平抛运动规律有tanθ＝eq\f(h,x)＝eq\f(1,2)tanα，若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有h甲>h乙，由h＝eq\f(1,2)gt2可得t＝eq\r(\f(2h,g))可知，甲所投的箭在空中运动时间长，由x＝v0t可知，甲所投箭的初速度较小，故A正确，B错误；若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有x甲<x乙则甲所投箭的初速度较小，由vy＝gt可知，甲、乙所投的箭落入壶口时竖直速度相等，则由v＝eq\r(v02＋vy2)可得，甲所投的箭落入壶口时速度比乙小，故C正确，D错误。10．(2023·山东菏泽市期中)2022年第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区，OB段为倾角α＝30°的着陆坡。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成θ＝30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以20m/s的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取g＝10m/s2。求：(1)运动员在空中运动的最高点到起跳点O的距离；(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小；(3)OC的距离。答案(1)5eq\r(13)m(2)20m/s(3)80m解析(1)从O点起跳的水平速度vx＝v0cos30°＝10eq\r(3)m/s竖直速度vy＝v0sin30°＝10m/s运动员到达空中最高点时竖直速度减为零，则所用时间t＝eq\f(vy,g)＝1s，水平位移x＝vxt＝10eq\r(3)m竖直位移y＝eq\f(vy2,2g)＝5m运动员在空中运动的最高点到起跳点O的距离s＝eq\r(x2＋y2)＝5eq\r(13)m(2)沿垂直着陆坡面方向的初速度vy′＝v0sin60°＝10eq\r(3)m/s平行着陆坡面的速度vx′＝v0cos60°＝10m/s垂直着陆坡面的加速度大小ay＝gcos30°＝5eq\r(3)m/s2平行着陆坡面的加速度大小ax＝gsin30°＝5m/s2，经时间t1离着陆坡面最远t1＝eq\f(vy′,ay)＝2s此时速度大小为v＝vx′＋axt1＝20m/s(3)设OC的距离为L平行着陆坡面方向运动员做匀加速直线运动，有L＝vx′t2＋eq\f(1,2)axt22，又t2＝2t1，解得L＝80m。11.(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为()A．v＝5m/s B．v＝3eq\r(2)m/sC．d＝3.6m D．d＝3.9m答案BD解析设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v0竖直2＝2g(H－h)代入数据得v0竖直＝eq\r(2×10×8.45－1.25)m/s＝12m/s则v0水平＝eq\r(132－122)m/s＝5m/s网球击出点到P点水平方向的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·eq\f(v0竖直,g)＝6m根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·eq\f(4,5)＝4m/s平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·eq\f(3,5)＝3m/s反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3m/s则反弹后的网球速度大小为v水平＝eq\r(v水平⊥′2＋v0水平∥2)＝3eq\r(2)m/s网球落到地面的时间t′＝eq\r(\f(2H,g))＝eq\r(\f(2×8.45,10))s＝1.3s着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9m故B、D正确，A、C错误。

第3课时实验五：探究平抛运动的特点目标要求1.知道平抛运动的轨迹是抛物线，能熟练操作器材，会在实验中描绘其轨迹。2.会通过描绘的平抛运动轨迹计算物体的初速度。考点一实验技能储备1．实验思路用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线并求出小钢球的初速度。2．实验器材末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、重垂线、三角板、铅笔等。3．实验过程(1)安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用重垂线检查背板是否竖直。(2)安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否水平，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能静止在直轨道上的任意位置，则表明斜槽末端已调水平，如图。(3)描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，挤压复写纸，会在白纸上留下印迹。取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹。(4)确定坐标原点及坐标轴：选定斜槽末端处小球球心在白纸上的投影点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴。4．数据处理(1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线如图所示，在x轴上找出等距离的几个点A1、A2、A3…，把线段OA1的长度记为l，则OA2＝2l，OA3＝3l，由A1、A2、A3…向下作垂线，与轨迹交点分别记为M1、M2、M3…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式y＝ax2(a是待定常量)，用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax2求出a，再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax2，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线。(2)计算平抛运动物体的初速度情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝eq\f(1,2)gt2即可求出多个初速度v0＝xeq\r(\f(g,2y))，最后求出初速度的平均值，就是做平抛运动的物体的初速度。情景2：若原点O不是抛出点①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示。A到B与B到C的时间相等，设为T。②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB。③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝xeq\r(\f(g,yBC－yAB))。5．注意事项(1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了。(2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等。(3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点。例1用如图所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。(1)下列实验条件必须满足的有________。A．斜槽轨道光滑B．斜槽轨道末端水平C．挡板高度等间距变化D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或者“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或者“不需要”)y轴与重垂线平行。b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则eq\f(y1,y2)________eq\f(1,3)(选填“大于”“等于”或者“小于”)。可求得钢球平抛的初速度大小为______(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)。(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是________。A．用细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹(4)伽利略曾研究过平抛运动，他推断：从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体________。A．在水平方向上做匀速直线运动B．在竖直方向上做自由落体运动C．在下落过程中机械能守恒答案(1)BD(2)a.球心需要b．大于xeq\r(\f(g,y2－y1))(3)AB(4)B解析(1)因为本实验是研究平抛运动，只需要每次实验都能保证钢球做相同的平抛运动，即每次实验都要保证钢球从同一高度无初速度释放并水平抛出，没必要要求斜槽轨道光滑，因此A错误，B、D正确；挡板高度可以不等间距变化，故C错误。(2)a.因为钢球做平抛运动的轨迹是其球心的轨迹，故将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为坐标原点(平抛运动的起始点)；在确定y轴时需要y轴与重垂线平行。b.由于平抛的竖直分运动是自由落体运动，故相邻相等时间内竖直方向上位移之比为1∶3∶5∶…，故两相邻相等时间内竖直方向上的位移之比越来越大，因此eq\f(y1,y2)＞eq\f(1,3)；由y2－y1＝gT2，x＝v0T，联立解得v0＝xeq\r(\f(g,y2－y1))。(3)将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，由于铅笔受摩擦力作用，且不一定能始终保证铅笔水平，铅笔将不能始终保持垂直白纸板运动，铅笔将发生倾斜，故不会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹，故C不可行，A、B可行。(4)从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，可认为做平抛运动，因此不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样，这实际上揭示了平抛物体在竖直方向上做自由落体运动，故选项B正确。例2(2022·福建卷·11)某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹。上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值。O1O2O3O4O5O6y/cm2.956.529.2713.2016.6119.90x/cm5.958.8110.7412.4914.0515.28x2/cm235.477.6115.3156.0197.4233.5(1)根据上表数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线。(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成____________(填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝____________(用斜率k和重力加速度g表示)。(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是____________________________。答案(1)见解析图(2)线性(3)eq\r(\f(g,2k))(4)水平射出点未与O点重合解析(1)根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示(2)由y－x2图线为一条过原点的倾斜直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系。(3)根据平抛运动规律可得x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2联立可得y＝eq\f(1,2)g(eq\f(x,v0))2＝eq\f(g,2v02)x2可知y－x2图像的斜率为k＝eq\f(g,2v02)解得小球平抛运动的初速度为v0＝eq\r(\f(g,2k))(4)y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。考点二探索创新实验常见的创新实验类型实验器材创新利用喷水法、频闪照相法、用传感器和计算机都可以描绘物体做平抛运动的轨迹实验过程创新间隔相等距离后移挡板数据处理创新用图像法进行数据处理例3某实验小组利用如图甲所示装置测定平抛运动的初速度。把白纸和复写纸叠放在一起固定在竖直木板上，在桌面上固定一个斜面，斜面的底边ab与桌子边缘及木板均平行。每次改变木板和桌边之间的距离，让钢球从斜面顶端同一位置滚下，通过碰撞复写纸，在白纸上记录钢球的落点。(1)为了正确完成实验，以下做法必要的是________。A．实验时应保持桌面水平B．每次应使钢球从静止开始释放C．使斜面的底边ab与桌边重合D．选择与钢球间的摩擦力尽可能小的斜面(2)实验小组每次将木板向远离桌子的方向移动0.2m，在白纸上记录了钢球的4个落点，相邻两点之间的距离依次为15.0cm、25.0cm、35.0cm，如图乙。重力加速度g＝10m/s2，钢球平抛运动的初速度大小为________m/s。(3)图甲装置中，木板上悬挂一条铅垂线，其作用是____________________________________。答案(1)AB(2)2(3)方便调整木板，使其保持在竖直平面上解析(1)实验过程中要保证钢球水平抛出，所以要保持桌面水平，故A正确；为保证钢球抛出时速度相同，每次应使钢球从同一位置由静止释放，故B正确；只要每次钢球水平抛出时速度相同即可，斜面底边ab与桌边重合时，钢球不是水平抛出，而钢球与斜面间的摩擦力大小对于本实验无影响，故C、D错误。(2)每次将木板向远离桌子的方向移动0.2m，则在白纸上记录钢球的相邻两个落点的时间间隔相等，钢球抛出后在竖直方向上做自由落体运动，根据Δy＝gT2可知，相邻两点的时间间隔T＝eq\r(\f(25.0－15.0×10－2,10))s＝0.1s，钢球在水平方向上做匀速直线运动，所以钢球平抛的初速度为v＝eq\f(x,T)＝eq\f(0.2,0.1)m/s＝2m/s。(3)悬挂铅垂线的目的是方便调整木板，使其保持在竖直平面上。课时精练1.(2024·广东省模拟)采用如图所示的实验装置做“研究平抛运动”的实验。(1)实验时需要下列哪个器材________。A．弹簧测力计B．重垂线C．打点计时器(2)做实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。下列一些操作要求，正确的是________。A．每次必须由同一位置静止释放小球B．挡板每次必须严格地等距离下降记录小球位置C．小球运动时不应与木板上的白纸相接触D．记录的点应适当多一些(3)若用频闪摄影方法来验证小球在平抛过程中水平方向是匀速运动，记录下如图所示的频闪照片。在测得x1，x2，x3，x4后，需要验证的关系是________。已知频闪周期为T，用下列计算式求得的水平速度，误差较小的是________。A.eq\f(x1,T)B.eq\f(x2,2T)C.eq\f(x3,3T)D.eq\f(x4,4T)答案(1)B(2)ACD(3)x4－x3＝x3－x2＝x2－x1D解析(1)实验时需要重垂线来确定竖直方向，不需要弹簧测力计和打点计时器，故选B。(2)实验时每次必须由同一位置静止释放小球，以保证小球到达轨道最低点的速度相同，选项A正确；挡板每次不一定严格地等距离下降记录小球位置，选项B错误；小球运动时不应与木板上的白纸相接触，否则会改变运动轨迹，选项C正确；记录的点应适当多一些，以减小误差，选项D正确。(3)因相邻两位置的时间间隔相同，则若小球在平抛过程中水平方向是匀速运动，则满足：x4－x3＝x3－x2＝x2－x1；由小球最后一个位置与第一个位置的水平距离计算求得的水平速度误差较小，则用eq\f(x4,4T)计算式求得的水平速度误差较小，故选D。2．(2023·浙江6月选考·16Ⅰ(1))在“探究平抛运动的特点”实验中(1)用图甲装置进行探究，下列说法正确的是________。A．只能探究平抛运动水平分运动的特点B．需改变小锤击打的力度，多次重复实验C．能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点(2)用图乙装置进行实验，下列说法正确的是________。A．斜槽轨道M必须光滑且其末端水平B．上下调节挡板N时必须每次等间距移动C．小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下(3)用图丙装置进行实验，竖直挡板上附有复写纸和白纸，可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端，钢球从斜槽上P点静止滚下，撞击挡板留下点迹0，将挡板依次水平向右移动x，重复实验，挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点，竖直向下建立坐标轴y，各点迹坐标值分别为y1、y2、y3、y4。重力加速度为g。测得钢球直径为d，则钢球平抛初速度v0为______。A．(x＋eq\f(d,2))eq\r(\f(g,2y1)) B．(x＋eq\f(d,2))eq\r(\f(g,y2－y1))C．(3x－eq\f(d,2))eq\r(\f(g,2y4)) D．(4x－eq\f(d,2))eq\r(\f(g,2y4))答案(1)B(2)C(3)D解析(1)用如题图甲所示的实验装置，只能探究平抛运动竖直分运动的特点，故A、C错误；在实验过程中，需要改变小锤击打的力度，多次重复实验，故B正确。(2)为了保证小球做平抛运动，需要斜槽末端水平，为了保证小球抛出时速度相等，每一次小球需要从斜槽M上同一位置静止释放，斜槽不需要光滑，故A错误，C正确；上下调节挡板N时不必每次等间距移动，故B错误。(3)竖直方向，根据y1＝eq\f(1,2)gt12水平方向x－eq\f(d,2)＝v0t1联立可得v0＝(x－eq\f(d,2))eq\r(\f(g,2y1))，故A错误；竖直方向：y1＝eq\f(1,2)gt12，y2＝eq\f(1,2)gt22水平方向：x－eq\f(d,2)＝v0t1，2x－eq\f(d,2)＝v0t2联立可得v0＝eq\r(\f(gx3x－d,2y2－y1))，故B错误；竖直方向：y4＝eq\f(1,2)gt2，水平方向：4x－eq\f(d,2)＝v0t联立可得v0＝(4x－eq\f(d,2))eq\r(\f(g,2y4))，故D正确，C错误。3．(2021·全国乙卷·22)某同学利用图(a)所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图(b)所示(图中未包括小球刚离开轨道的影像)。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为5cm。该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图(b)中标出。完成下列填空：(结果均保留2位有效数字)(1)小球运动到图(b)中位置A时，其速度的水平分量大小为____________m/s，竖直分量大小为____________m/s；(2)根据图(b)中数据可得，当地重力加速度的大小为________m/s2。答案(1)1.02.0(2)9.7解析(1)小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，因此速度的水平分量大小为v0＝eq\f(x,t)＝eq\f(0.05,0.05)m/s＝1.0m/s；竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于该段位移的平均速度，因此小球在A点速度的竖直分量大小为vy＝eq\f(8.6＋11.0,0.05×2)cm/s≈2.0m/s。(2)由竖直方向为自由落体运动可得g＝eq\f(y3＋y4－y2－y1,4t2)，代入数据可得g＝9.7m/s2。4．(2023·陕西省西安中学模拟)在做“研究平抛运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图甲所示的装置。实验操作的主要步骤如下：A．在一块平木板上钉上复写纸和白纸，然后将其竖直立于斜槽轨道末端槽口前，木板与槽口之间有一段距离，并保持板面与轨道末端的水平段垂直B．使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，小球撞到木板在白纸上留下痕迹AC．将木板沿水平方向向右平移一段距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，小球撞到木板在白纸上留下痕迹BD．将木板再水平向右平移同样距离x，使小球仍从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，再在白纸上得到痕迹C若测得A、B间距离为y1，B、C间距离为y2，已知当地的重力加速度为g。(1)关于该实验，下列说法中正确的是________。A．斜槽轨道必须尽可能光滑B．每次释放小球的位置可以不同C．每次小球均需由静止释放D．小球的初速度可通过测量小球的释放点与抛出点之间的高度h后再由机械能守恒定律求出(2)根据上述直接测量的物理量和已知的物理量可以得到小球平抛的初速度大小的表达式v0＝________。(用题中所给字母表示)(3)另外一位同学根据测量出的不同x情况下的y1和y2，令Δy＝y2－y1，并描绘出了如图乙所示的Δy－x2图像。若已知图线的斜率为k，则小球平抛的初速度大小v0与k的关系式为________。(用题中所给字母表示)答案(1)C(2)xeq\r(\f(g,y2－y1))(3)v0＝eq\r(\f(g,k))解析(1)为了能画出平抛运动轨迹，首先保证小球做的是平抛运动，所以斜槽轨道不一定要光滑，但必须是水平的，故A错误；为保证抛出的初速度相同，应使小球每次从斜槽上相同的位置由静止释放，故B错误，C正确；因为存在摩擦力，故不满足机械能守恒定律，故D错误。(2)竖直方向根据自由落体运动规律可得y2－y1＝gT2，水平方向由匀速直线运动规律得x＝v0T，联立解得v0＝eq\f(x,\r(\f(y2－y1,g)))＝xeq\r(\f(g,y2－y1))。(3)因为Δy＝y2－y1＝gT2，x＝v0T，联立可得Δy＝eq\f(g,v02)x2，所以Δy－x2图像的斜率为k＝eq\f(g,v02)，解得v0＝eq\r(\f(g,k))。5．(2023·重庆市第一中学期中)在探究平抛运动规律实验中，利用一管口直径略大于小球直径的直管来确定平抛小球的落点及速度方向(只有当小球速度方向沿直管方向才能飞入管中)，重力加速度为g。(1)实验一：如图(a)所示，一倾角为θ的斜面AB，A点为斜面最低点，直管保持与斜面垂直，管口与斜面在同一平面内，平抛运动实验轨道抛出口位于A点正上方某处。为让小球能够落入直管，可以根据需要沿斜面移动直管。某次平抛运动中，直管移动至P点时小球恰好可以落入其中，测量出P点至A点距离为L，根据以上数据可以计算出此次平抛运动在空中飞行时间t＝________，初速度v0＝________。(用L、g、θ表示)(2)实验二：如图(b)所示，一半径为R的四分之一圆弧面AB，圆心为O，OA竖直，直管保持沿圆弧面的半径方向，管口在圆弧面内，直管可以根据需要沿圆弧面移动。平抛运动实验轨道抛出口位于OA线上可以上下移动，抛出口至O点的距离为h。上下移动轨道，多次重复实验，记录每次实验抛出口至O点的距离，不断调节直管位置以及小球平抛初速度，让小球能够落入直管。为提高小球能够落入直管的成功率及实验的可操作性，可以按如下步骤进行：首先确定能够落入直管小球在圆弧面上的落点，当h确定时，理论上小球在圆弧面上的落点位置是__________(填“确定”或“不确定”)的，再调节小球释放位置，让小球获得合适的平抛初速度平抛至该位置即可落入直管。满足上述条件的平抛运动初速度满足v02＝__________(用h、R、g表示)。答案(1)eq\r(\f(Lcosθ,gtanθ))eq\r(Lgsinθ)(2)确定eq\f(R2－4h2,2h)g解析(1)由抛出到P点过程，根据平抛运动规律有tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)，Lcosθ＝v0t，解得t＝eq\r(\f(Lcosθ,gtanθ))，v0＝eq\r(Lgsinθ)(2)h一定时，设落点与O点连线与水平方向夹角为α，根据位移规律tanα＝eq\f(h＋\f(1,2)gt2,v0t)，落点处速度方向的反向延长线过O点，则tanα＝eq\f(gt,v0)，联立解得h＝eq\f(1,2)gt2，h一定，则用时一定，则竖直方向下落高度一定，则落点位置是确定的。由以上分析可知，竖直方向下落高度为eq\f(1,2)gt2＝h，用时t＝eq\r(\f(2h,g))，根据几何关系有(h＋h)2＋(v0t)2＝R2，解得v02＝eq\f(R2－4h2,2h)g。

第4课时圆周运动目标要求1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。考点一圆周运动的运动学问题1．描述圆周运动的物理量2．匀速圆周运动(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动叫作匀速圆周运动。(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。(3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。3．离心运动和近心运动(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。(2)受力特点(如图)①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)2．物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的。(×)3．物体做匀速圆周运动时，其所受合外力是变力。(√)4．向心加速度公式在非匀速圆周运动中不适用。(×)思考