高等数学（经济类）课后习题及答案第十一章 级数习题答案

i

习题11-1(A)

1.写出下列级数的前5项:

8n8（一1尸

(2)z⑶旺・,⑷£午.

⑴Zl+n23〃

〃=|n=l〃=1〃♦/1=|〃

+3+2+L

解：⑴Z，+2

1+n225101726

8(T尸11111.

---------1—；-------H—r+L.

39333435

n=l3"

(3)

trn\2!3!4!5!

§2刀一1,3579.

(4)=l+/k/+&+L

2.根据级数收敛于发散的定义判定下列级数的敛散性：

8I001

（1）y-j=_<=；（2）

占+«ytr-（2〃--1-）（2-〃-+-1）

00100

⑶X--；⑷力[a+（〃-l）d].

解：(1)由于〃“=I-----j=-Vn+T-4n,故有

y/n+\

Sn=〃]+〃2+L+wn

二(&-1)+(6-扬+(石-6)+1^4n-4n^\)+(y/n+i-y[n)

=J.+l-1.

由于limS“=limGTT-1=8,所以此级数发散.

(2)由于〃=-------------=—(―--）,故有

(2〃-1)(2〃+1)22n-\2〃+1

Sn=〃]+〃2+L+wn

]

2n-\2n+\

n

2n+\

n|

由于limS“=lim-----=-,所以此级数收敛.

2〃+12

2

(3)由于〃—=---i---=-----,故有

n+n〃("+1)nn+\

Sn=u}+u2+L+un

,11111,11

=1---1------1------FLT-----

22334nn+\

n+\〃+l

由于limS〃=lim—=H所以此级数收敛.

W-HOn-^x)n+l

(4)由于〃-=〃+(〃-l)d,故有

S”=%+4+L+以

=a+(a+d)+(a+2d)+L+a+(〃-l)d

2

皿二Dd=8,所以此级数发散.

由于limS“=limna+

H->00W—>*X)2

3.判定下列级数的敛散性:

3323333””

(1)--+£T-£T+L+(-ir—+L；

442434”

L3+L+"；

3693〃

1111

-+-T=4--7=+TL+-T=+LT；

3V3V3近

552535"

(4)丁不+不+L4----FL

1L」+L；

(5)+L+

24再再(2"4"

(6)L"+LL+L-L+L.

2104202"10〃

3〃33

解：⑴由于此级数的〃〃=(-1)"下，所以此级数为首项4=,公比9=一二的等比级数，且

44

3

同<1,故此级数收敛于5=

3

18[1SI8]

(2)级数L+'+L+L+—+L=y—由于级数x上是调和级数，且是发散的,

3693〃雷3〃3算〃七！几

所以原级数发散.

1且lim以=lim-1=l¥O,故原级数发散•

(3)级数的一般项以

?3J1—>00W—KO03

S〃55

(4)由于此级数的以二/，所以此级数为首项4=彳，公比夕=：的等比级数，且目>1,故

此级数发散.

1

s11

由于z「是首项为上,公比同二gvl的等比级数，故此级数收敛于s

±2°2

2

之二是首项为1，公比0=2<1的等比级数，故此级数收敛于b=—标=』，有性质2可知原

£4"4114\-q3

I2

级数收敛于1一±二士.

33

00181

(6)由于LLLLL+L-L+Ly—+Y—,故有

2104202"10/?白2”占10〃

级数si收敛于，7二屋级嵯击

发散，所以原级数发散.

白2”J

2

4.若级数£(1+5)收敛，求极限limw”.

n-xx>

/1=1

解:由于数Z(1+〃“)收敛，故由级数收敛的必要条件可知lim(1+/)=0,所以lim〃=-1.

n=\nx

5.设银行存款的年利率为10%,若以年复利计算，应在银行中一次存入多少资金才能

保证从存入之后起，以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直至永远.

解：设r=10%为年复利率，由于以后每年需要支付500万元直至永近，故在银行存入的资金总额

为

500500500+L+工+L空500

-------------------+-----该幕级数是公比为"17rLi

1+r(1+r)2(1+r)(1+rf

所以该级数的和函数5(/)=产器=5000.

即银行应一次性存入5000万元才能保证以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直至永远.

4

习题ll-l(B)

1.判定下列级数的敛散性：

00".81

(1)E(J〃+2-2y]n+l+G)；(2)Z-j——

“in>i4〃-1

00

(3)Z〃ln\+n

W=12+^

(4)-+-+—+—=-^-—+—=+L.

23468616%

解：(1)级数的一般项〃“二而5―2jH+〃=/1/-/1/，该级数的部

A/〃+2+，〃+1Vn+1+Vn

分和

S〃=场+/+L+%

I11111

=_+_+Lr+-=^^^=—=^^=r_____

x/3+>/2X/2+\T5/44-5/3\/3+>/2J.+2+J.+1+

=———1^―+—1

&+WJ-+2+5/〃+1

=1-72+.1.

。〃+2+>/〃+1

因此，lim5H=lim(l-x/2+..)=l->/2.

e,»V/I+2+VH+1

所以该级数收敛.

(2)级数的一般项

11II1

H=----------=-----------------------=-(----------------------)

"4/Z2-1(2/7+1)(2/?-1)22H-12/14-1

故该级数的部分和

11111

S„=W|+W2+L+W„=-一+---+----+L+

4335572/1-12/?+1J

木)

1(I

因此,limS„=lim—1-

〃T8n/l->、0O2cI2/2+1

所以该级数收敛.

(3)级数的一般项

5

1+n

=;?ln

2+〃

故

1+77\

=limln=Inlim2+〃J=Inlim1+

”->oon-xx>2+〃

2+/i2+w

=Inlim14--=lne-1=-1^0.

g2+n

所以该级数发散.

（4）该级数可以写成

LLLU+4+4+"+L」+L

248163右近内2n也

令%=：，为=士，由于级数£>”=£:收敛，发散，由级数的性质可知该

—73/i=in=\—n=ln=l73

级数发散.

6

习题11-2（A）

1.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的收敛性：

9ron1

(1)Y—?—；(2)f」一

七3〃+5£3〃+2

81§n+1

(3)(4)

z〃一

/l=l21

8O

(5)>--------(-6--)-----

£(九+1)(〃+4)

⑺£ta吟;(8)

n-13

2

解：（1）由于lim4=lim驾±=Hm二^=2,又因为级数f是发散的，由比较审敛法

….匕rt-xo工”-83"+53Z?n

n

的极限形式可知，级数£一■二是发散的.

念3〃+5

118]

（2）由于/=-----V—=匕，级数£二是等比级数且是收敛的，由比较审敛法可知级数

H3"+23""念3"

之士是收敛的•

〃=1D十N

11111次]

（3）由于%=—!—>」-=上」=上匕，级数工一是调和级数且是发散的，由比较审敛法可知

2/1-12n2n2篙〃

级数£」一是发散的.

n=\2〃-1

♦11

/,、士十「―/12+1..n2+ni81

(4)由于hm-uhm〃丁1=hm=——=1,又因为级数£一是发散的，由比较审敛法的极限

n=l〃

形式可知，级数之字1是发散的.

念〃+1

1130]s1

（5）由于以=------------<==匕，级数•是夕呦数，且p=2>l,故级数•是收

5+1）5+4）H2〃占〃2

"1

敛的，由比较审敛法可知级数£------------是收敛的.

£5+1）（〃+4）

(6)由于lim殳=lim怏+3=.誓=2,又因为级数之1是级数，且〃=之>1,

"_>°y〃T81”T8〃〃+3喜弓2

-n2

后

是收敛的，由比较审敛法的极限形式可知，级数£j是收敛的.

n\ln+3

兀

tan-00

(7)由于limMulim......-=1,又因为级数是等比级数且是收敛的，由比较审敛法的极

M=i3

F

限形式可知，级数£

tan-jj•是收敛的.

n=l3”

/\W//1V8]

(8)由于-<A|=1=Vj,级数是等比级数且是收敛的,由比较审敛

\2n+\)\2n)\2)“=12

00(、”

法可知级数£」一是收敛的.

trl2n+lj

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:

(4)£(〃+l)sin牛.

”=o3

u(〃4113向4"”nV4

解：(1)由于lin)3=limi=—-=lim.............—•—白二一>1，由比值审敛法可知该

…Uni…(〃+1>3向4”3

7F

级数发散.

(〃+1)2

.〃+15+1)22"1

(2)由于limu3=iim——=lim"二一<1,由比值审敛法可知该级数收敛.

un00

“isn"eI2n2

F

(3)由于

2〃s•(〃+])!

M+,n

r5+1严r2.(/:+1)!n2.12।

lim=lim-------乙-----=hm---------------------=2lim--------——=—<1,

«->»2Mn\〃T8(〃+l)"2"〃！丁]+与1e

nnn

由比值审敛法可知该级数收敛.

8

(〃+1)乃

(〃+2)sin3〃+

(4)由于lim&=lim=-＜1,由比值审敛法可知该级数收敛.

“T8〃〃-,、.n]3

(zn+l)sin—

习题11-2(B)

1.用适当的方法判定下列级数的收敛性

8I01

(1)（2）y—（。＞0）；

M=l

8an(4)£001

(3)E户TTs>°)；

n=la十1(2〃一1)(2〃)

£(J/+1-\ln2:*”4

(5)(6)y------

士5+1)!

n=l

解：⑴由于

£，=]+[+!+...+_L+...G+』+4+…+_L+...=i+£_L.

2233nn22232ny2"

又因为是等比级数，是收敛的，由比较判别法可知原级数收敛.

n=22

（2）由于

1

“11H---

a+1[.an

lim-=lim0——：——=hm——^―

n->ooy1a+1

a+

F+ia"

*I1

当。＞1时,lim"=lim—^-=-<1,由比值审敛法可知该级数收敛;

00

I〃,，1%十_!_a

dl

当。=1时,级数发散;

当Ova<1时，lim〃”=lim----=-1^0,所以级数发散.

/-1

（3）由于

1+4

Jin.\，〃+1,…

//2/1+2.ia+1a+。

|im-2tL=lim-^~=lim------=hm——lim——

nW-HX>a"W-KOa2n+2+lan"fga2+1

QH---1~_

a2,,+\“2〃+1

9

n_2/iI

当时，lim3=lim—=-<l,由比值审敛法可知该级数收敛;

"Too〃rr->co1/7

〃a+^—r

当。=1时，级数发散；

2；|+1

当Ovavl时，lim3~=lim“_"=avl,所以级数收敛.

-a+1

111力]

(4)由于以=——5—<------5-------=—且级数£—J是收敛的，故原级

(2/1-1)2/?2(n-l)2(n-l)4(〃一±4(〃-

数收敛.

2

(5)由于〃“=J/+1—yJn-----------y-------------

2

]im%=lim页辿遥!ZL=lim/2〃

…乙…5j〃2+i+j〃2_]

81

且z上是发散的，由比较判别法的极限形式可知原级数是发散的.

，』n

(6)由于

5+1)4

..%+|..(〃+2)!5+1)45+1)!..5+1)4八/

hm-2^=hm-~~-^―=hm------------------=hm-----------=O<1,

"廿un28n"->»(/?+2)!nz8(〃+2)〃

5+1)!

故由比值判别法可知原级数收敛.

2.若正项级数”收敛，证明级数名旦与级数£>：都收敛.

«=1"=11+〃n=l

叫

证：(1)由于limLd=lim/1,且级数收敛，由比较审敛法的极限形式可知级数

“TOO]+n

"T8Unn=l

W"'〃〃n,,

y—M攵敛.

急i+〃

2

(2)由于lim-~二lim〃“，且级数£〃“收敛，故lim以=0,所以lim*=lim/=0,由比较

w-»ooifZTTOOn->ooun-^x：

审敛法的极限形式可知级数£u；收敛.

n=\

3.若存在，证明：正顶级数£〃”收敛.

w-»+oo

“=1

10

证：由于lim=]im?=A,又因为级数之二

是收敛的，由比较判别法的极限形式可知正

n-»4J<1oT+COn->+coJ〃-

W=1n

项级数£〃“收敛.

«=1

4.求下列极限

⑴想^(2)limY

〃。+火2）（2+公）・

解：⑴考虑级数鬻由J35LQI),且

”2-5-8-L(3〃-1)

limjn/35LQ+D2581(3〃-1]而汕=。,

f°un2-5-8-L(3〃+2)1-3-5L(2n-l)"-3〃+23

故级数£L35L（2〃—1）是收敛的.由级数收敛的必要条件可知

±2581（3〃-1）

帚35】(2”「)二0

I002-5-8L(3〃-1)

s]11x1

考虑级数石而EV由于上而而收敛，由比较审敛

“1

法可知级数Z—3—丁收敛，不妨记其和为s,因此

£（1+产）（2+公）

————-=limfIxJ―-

〃(1+尸)(2+/)〃*(〃分(]+/)(2+左2)

I»1

lim—limV-----------—=0x5=0,

(念(1+公)Q+女2),

1

所以lim£=0.

，(1+公)(2+公)

11

习题11-3(A)

1.讨论下列交错级数的收敛性:

2n2n1

(1)⑵自㈠严sm苏

f(T)"2

n=l3n+2〃+1

2/i

解：⑴由于lim|〃J=lim声0,故此级数发散.

12

n—>oon-KO3n+2/14-1

(2)所给级数为交错级数满足〃“=sin」-Nsin——-——=wn+l,limwM=limsin—=0,满足

2n2(〃+1)2n

莱布尼茨定理的条件，故此级数收敛.

2.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

1

(1)----r+

*T+*导…+(T严(2n)2

⑵士(-1尸9(3)y(-i)n—^―；

£2〃+l

n»l乙

8

1〃乃

(4)Z----cos——(5)y(-I)M(I-COS-)

/|=0H+1---2n=l"

S1

⑺，(T)"tan-.

n=lk〃n=l

I1i不।

解：(1)由于(-If1—r=-7因为级数£二是收敛的，所以原级数是绝对收敛的.

(2研(2号)241占〃2

714-1

(2)由于lim"=lim"=工<1,故原级数绝对收敛.

n—>00〃JJT8n2

T

(3)由于lim」一二1工0,故原级数发散.

"T82〃+12

800

由于£1•二(-1)”1

(4)w+T

n=02357w=02n+l

w

又y(-i)—?—=y—发散;

占2H+1占2〃+1

」一，因为111S1

而对于Z(-1)"2〃+1>2(〃+1)+1,lim--=0,所以Z(T)"：；—收敛•

〃=02〃+12〃+1M2〃+1

所以原级数条件收敛.

12

i1

l-cos—[

1又器收敛,

(5)由于cos—=\(l-cos—),而limn_

1~2

nn=l,"n

所以原级数绝对收敛.

Inf1+-

所以自ln(l+：)发散；而

(6)由于1+-,又lim=1,

1

n=l

n

对于£(—l)"】nn+\,有ln1+，可+总(1、

JimIn1+—=0,

n=ln"TOO

所以£(7)"Inn+l

收敛.故原级数条件收敛.

n=\

1e1所以巧发散，而对于

(7)由于X(—D〃tan=Ltan-r，

忑n=\7nw=l>/〃

111limtan^==0

E(-DMtan,有tan->tan-j—,

yjnyjn+\

所以f(T)"tan—】条件收敛.

n=iy/n

习题11-3(B)

1时，级数£(—〉L㈤绝对收

1.已知级数收敛，对于任意常数2>0,证明：当a>

a

w=lMJn+k

敛.

证:小。〃为国汁工修㈤111

2+-----

na+k

00001GO

\f1

而收敛，£丁丁(。>1,&>0)收敛，所以工二+--收--敛-.

念念暧+k念2(na+k

所以级数£(-1)”同

当a>1时绝对收敛.

n=l4rf+k

2.若lim//存在，证明：级数“绝对收敛.

n=l

2|〃2〃“卜Jimn2|M|=|a|,(0<\a\<-H»)

证：因为lim存在，可设limnuH=a,limZJ

/1T2〃一>也n—>-bx

13

〃0000

即,如一二时,又1收敛，所以B收敛，因此绝对收敛.

"__n=l曾/>■1n=l

2

n~

b3n

3.证明：lim----=0.

田n\an

户

证：若。=0,则lim------=0成立；

若力，0,考察级数因为lim驯=lim华二0,

^\nlan\28同“T8(〃+l)!。"*h3n

所以级数宫分

绝对收敛，所以lim=0.

4.判断级数=•是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛?

叫2"+(T)〃

11061X

解：由于而2万=是发散的，所以发散;

J〃+(—1)"v2Mn«iy/2H〃・i

由于该级数是交错级数，不满足莱布尼茨定理，故用定义考虑

进一步's*=一七+(爰一击)+…+(•一言什看.

所以S?”为单调减少且有下界的数列，从而limS2〃=s,又因为lim〃2“+i=0,所以

所以之JR条件收敛.

limS“=s,故原级数收敛

〃=1yjn+(-\y)

14

习题11-4(A)

1.求下列幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域:

⑴*⑵£天⑶Z孤

n=l”=1幺“=0(〃+1)

X'

(4)XH--------1-+---•-•-•-+--l-3-5---(2n-l)+，，，：

1-31-3-5

8(x-2)n

(5)⑹z

n=i

〈（一1）匕为8nx2n+l

(7)(8)X

"+1

2nn=\

解：（1）因为lim-=lim3=l,所以收敛半径R=l,收敛区间为（一1,1）；

当％=1时，级数为发散，当x=T时，级数为力发散，所以级数的收敛域为

n=ln=l

(-1,1).

(2)因为lim-=.〃—=-,所以收敛半径R=2,收敛区间为（一2,2）；

"廿anis2"•(九+1)2

当x=2时，级数为之1发散，当尢=一2时，级数为之（一1）〃2收敛，

所以级数的收敛域为12,2）.

（3）因为Iim4a=lim生土•"»-=8,所以收敛半径R=0,级数只在x=0收敛,

Z8Qn"T8（〃+2）~n\

所以级数的收敛域为x-o.

(4)因为lim&旦=lim—'35-(2〃-1)_二0,所以收敛半径R=8,收敛域为

〃T8an135…(2〃-1)(2〃+1)

(-oo,+oo).

(5)因为lim®=lim―现一•匕==2，所以收敛半径/?=-,收敛区间为(-L3；

Tq|—(〃+1)+12〃222

1s]1x1

当时，级数为收敛，当工=一上时，级数为£（一1）"——收敛,

2£r+12仁"+]

所以级数的收敛域为[-9].

15

..\ln1

(6)因为lim=lim----=1所以收敛半径R=l，收敛区间为(1,3)；

ZJ-X*\/n+]

当x-2=1,级数为之3发散，当工-2=-1,级数为9-收敛,

n=lS?n=lyjn

X1

当x=3时，级数为发散，当％=i时，级数为z(-收敛,

n=lV〃

所以一1«无一2<1,即1<x<3时级数收敛，所以级数的收敛域为［1,3).

(]严B+2

〃向(幻277+2

(7)因为lim=lim二厂，

w„(x)

2n

(T)”一

故尤2<1时收敛，原级数绝对收敛;时，原级数发散.

/1■!In

所以级数的收敛半径尺=1,收敛区间为(-1,1)；

当x=l时，级数为收敛，当x=T时，级数为£点收敛,

n12〃„=12n

所以级数的收敛域为

(〃+1产3

(n+l)2+l

2

(8)因为limlim=x，

W-XCW—>00

/z2+l

(7)"/

故d<l时W收敛，原级数绝对收敛；d>i时，原级数发散;所以级数的收

n=l2n

敛半径R=l,收敛区间为

800

当X=1时