工科数学分析 上册（第2版）课件：常系数线性非齐次微分方程

《工科数学分析》常系数线性非齐次微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程二、欧拉（Euler）方程

---特殊类型的变系数线性微分方程三、常系数线性微分方程组解法举例二阶常系数非齐次线性微分方程型

小结二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1利用欧拉公式“上帝创造的公式”

注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.解对应齐次方程通解作辅助方程代入辅助方程所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例2解对应齐次方程通解作辅助方程代入辅助方程例3所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意解对应齐次线性方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例4三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐次方程特解.思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）欧拉方程欧拉方程小结解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.一、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子

自变量的次方数相同．作变量变换将自变量换为用微分算子表示对自变量求导的运算上述结果可以写为将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后,把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解．解作变量变换原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为二、小结欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量代换注意：欧拉方程的形式．常系数线性微分方程组解法举例微分方程组常系数线性微分方程组的解法小结一、微分方程组微分方程组

由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．

注意：这几个微分方程联立起来共同确定

了几个具有同一自变量的函数．常系数线性微分方程组

微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程的微分方程组叫做常系数线性微分方程组．步骤:１．从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．二、常系数线性微分方程组的解法２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数．避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系．例1

解微分方程组

由(2)式得设法消去未知函数，解两边求导得，把(3),(4)代入(1)式并化简,得解之得通解再把(5)代入(3)式,得原方程组的通解为用表示对自变量求导的运算例如，用记号可表示为注意:是的多项式可进行相加、相乘的运算．例2

解微分方程组解类似解代数方程组消去一个未知数,消去(１)(２)(３)(４)(５)即非齐线性方程其特征方程为解得特征根为求得一个特解于是通解为(６)将(６)代入(３)得(３)方程组通解为注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分．三、小结２．注意求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积