2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-1．5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词[目标]1.理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的概念；2.能精确地运用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的数学内容．[重点]对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题．[难点]全称量词命题与存在量词命题的真假推断．学问点一全称量词和全称量词命题[填一填](1)全称量词：短语“全部的”“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称量词命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．②一般形式：全称量词命题“对M中随意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对随意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．[答一答]1．常见的全称量词有哪些？提示：常见的全称量词除了“全部的”“随意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等．2．全称量词命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的全部元素满意的性质．如“随意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥03．如何推断全称量词命题的真假呢？提示：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，须要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；假如在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．学问点二存在量词和存在量词命题[填一填](1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在量词命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．②一般形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．[答一答]4．常见的存在量词有哪些？提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．5．如何推断存在量词命题的真假呢？提示：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成马上可；假如在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．类型一全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)圆周上随意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)至少有一个三角形没有外接圆；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直．【分析】首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则依据量词确定命题是全称量词命题或者是存在量词命题；若没有，要结合命题的详细意义进行推断．[解](1)可以改写为全部的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题．(2)是全称量词命题，“随意”为全称量词．(3)是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词．(4)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称量词命题．推断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：1首先推断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.2若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.3当命题中不含量词时，要留意理解命题含义的实质.4一个全称量词命题或存在量词命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合详细问题多加体会.[变式训练1]下列命题中，是全称量词命题的是①②③，是存在量词命题的是④(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．类型二用量词表示命题【例2】用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)有理数都能写成分数形式；(2)整数中1最小；(3)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(4)有一个质数是偶数．【分析】eq\x(分析命题中所述对象的特征)→eq\x(适当添加全称量词或存在量词)[解](1)随意一个有理数都能写成分数形式．(2)全部的整数中1最小．(3)存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8＝0成立．(4)存在一个质数是偶数．由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，假如能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清楚明白.[变式训练2]用量词符号表述全称量词命题．(1)随意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对随意实数x，都有x3>x2.解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.类型三全称量词命题与存在量词命题的真假推断【例3】推断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，随意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x0，使等式xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝0成立．[解](1)真命题．(2)真命题．函数f(x)＝0就是满意要求的函数．(3)假命题．如：边长为1的正方形的对角线长eq\r(2)，它的长度就不是有理数．(4)假命题．因为xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,2)))2＋eq\f(31,4)>0，所以等式xeq\o\al(2,0)＋x0＋8＝0不成立．1推断全称量词命题∀x∈M，px是真命题，要对集合M中的每个元素x，证明px成立；推断全称量词命题为假命题只须要在集合M中找到一个元素x，使得px不成立，即找反例.2推断存在量词命题∃x∈M，px是真命题，只需在集合M中找到x，使得qx成马上可，即举例加以说明；推断存在量词命题为假命题，须要证明集合M中使得qx成立的元素不存在.[变式训练3]有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：对于①，这是全称量词命题，∵Δ＝9－32＝－23<0，∴∀x∈R,2x2－3x＋4>0是真命题；对于②，这是全称量词命题，当x＝－1时，2x＋1<0，故该命题为假命题；对于③，这是存在量词命题，当x0＝0时，xeq\o\al(2,0)≤x0成立，该命题为真命题；对于④，这是存在量词命题，当x0＝1时，x0为29的约数，该命题为真命题．故选C.类型四素养提升依据全称量词命题、存在量词命题求参数的范围【例4】已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R)．(1)当a＝－3时，求证：对随意x∈R，都有3ax2＋6x－1≤0；(2)假如对随意x∈R，不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)证明：当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1，因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，所以对随意x∈R，都有y≤0.(2)因为3ax2＋6x－1≤4x恒成立，所以3ax2＋2x－1≤0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,4＋12a≤0，))解得a≤－eq\f(1,3)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－\f(1,3))).1若含有参数的不等式y≤m在范围D上能成立，则ymin≤m；若含有参数的不等式y≥m在范围D上能成立，则ymax≥m.2若含有参数的不等式y≤m在范围D上恒成立，则ymax≤m；若含有参数的不等式y≥m在范围D上恒成立，则ymin≥m.3存在量词命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称量词命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决.[变式训练4]已知函数y＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋x2－2x＋5>0对于随意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)>0成立，求实数m的取值范围．解：(1)存在．理由：不等式m0＋x2－2x＋5>0可化为m0>－(x2－2x＋5)，即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0>－(x－1)2－4对于随意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．故存在实数m0使不等式m0＋x2－2x＋5>0对于随意x∈R恒成立，此时需m0>－4.(2)不等式m－(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)>0可化为m>xeq\o\al(2,0)－2x0＋5，若存在一个实数x0使不等式m>xeq\o\al(2,0)－2x0＋5成立，只需m>(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)min.∵xeq\o\al(2,0)－2x0＋5＝(x0－1)2＋4，∴(xeq\o\al(2,0)－2x0＋5)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是{m|m>4}．1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3解析：“∀”和“任选一个”都是全称量词．2．既是存在量词命题，又是真命题的是(B)A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析：如x＝0时，x2＝0，满意x2≤0.3．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(ABD)A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数解析：A中，x＝－1时，满意x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为全部实数的肯定值非负，所以C是假命题．故选ABD.4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是①②③，既是存在量词命题又是真命题的是④⑤(填上全部满意要求的序号)．解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③是全称量词命题，即：随意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是真命题；⑥是存在量词命题，是假命题，因为随意三角形内角和为180°.5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并推断真假．(1)肯定有整数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立．(2)全部的有理数x都能使eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．(3)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立．解：(1)∃x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．(2)∀x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；真命题．(3)∃(x，y)，x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．——本课须驾驭的两大问题1．理解全称量词命题及存在量词命题时应留意的问题：(1)全称量词命题就是陈述某集