8.2.4-三角恒等变换的应用-导学案

高中数学精选资源2/28.2.4三角恒等变换的应用考点学习目标半角公式及其运用运用三角恒等变换公式进行简单的三角恒等变换，理解半角公式的推导过程及简单应用积化和差和和差化积及其运用理解积化和差和和差化积的推导过程及其运用【学习重点】半角公式、积化和差和和差化积公式的推导及其应用【学习难点】半角公式、积化和差和和差化积公式的应用问题1：半角公式及其应用事实上，由可得，因此，即（1）类似的，因为所以有，即（2）（1），（2）两个等式左边、右边分别相除，即可得（3）例1.求证：（1）；（2）知识点1半角公式sineq\f(α,2)＝，coseq\f(α,2)＝，taneq\f(α,2)＝，根号前的正负号，由角eq\f(α,2)所在象限确定．推广公式：taneq\f(α,2)＝＝.练习.求的值。【对点快练】1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈(0，π)，则coseq\f(α,2)的值为()A．eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)2．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sineq\f(α,2)等于()A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3\r(3),10) D．－eq\f(3,5)例2.已知sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)<θ<3π，求coseq\f(θ,2)和taneq\f(θ,2).【变式练习】本例中将条件改为“π<θ<eq\f(3,2)π，且sinθ＝－eq\f(4,5)”，如何求解？问题2：积化和差和和差化积公式因为所以两式分别相加、相减之后整理可得（4）（5）类似地，由可得：（6）（7）（4）（5）（6）（7）地左边是积地形式，右边是和或者差地形式，因此被称为积化和差公式。根据（4）式可知，，因此可知的最大值为1.一般地，如果，则，从而（4），（5）,（6），（7）可分别改写为：这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式。知识点2积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式：sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)].(2)和差化积公式：sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).【对点快练】1．sin15°cos165°的值是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)2．把cos3a＋cos5a化为积的形式，其结果为例2.求函数的周期与最大值。【变式练习1】求函数f(x)＝sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域．【变式练习2】函数f(x)＝sin2xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的单调递减区间是____________．例3.求函数的周期和最大值。【变式练习1】函数y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1的最小正周期为____________．【变式练习2】函数y＝cosx＋c