人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.11圆的方程》同步测试题及答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.11圆的方程》同步测试题及答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.4．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是5．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.6．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

(2)圆关于点对称

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

(3)圆关于直线对称

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.7．与圆有关的最值问题(1)与圆的代数结构有关的最值问题

①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)与圆的几何性质有关的最值问题①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r；

④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.【题型1圆的方程的求法】【方法点拨】(1)圆的标准方程的求法①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.(2)圆的一般方程的求法待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点A(0,0),B(23,0),C(0,−2)的圆的方程为（A．x−32+C．x−32+【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（

）A．x2+yC．x−22+y−2【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆x2+y2−4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，C3,0，则△ABCA．x2+yC．x2+y【题型2二元二次方程表示圆的条件】【方法点拨】判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.【例2】（2022·江苏·高二课时练习）设甲：实数a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线C：x2+y2+2ax−4ay−10a=0A．−2,0 B．−C．−2,0 D．−【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程x2+y2−4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(−∞,1) C．【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．−∞,9 B．−∞,−9 C．【题型3点与圆的位置关系】【方法点拨】点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（

）A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点M2,−4、N−2,1与圆C:xA．点M在圆C外，点N在圆C外B．点M在圆C内，点N在圆C内C．点M在圆C外，点N在圆C内D．点M在圆C内，点N在圆C外【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0A．−3,−2∪2,+∞C．−2,+∞ D．【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点(a,2)在圆x2+yA．−∞,94 B．94,+【题型4圆有关的轨迹问题】【方法点拨】求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点M(−2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是（

）A．x2+yC．x2+y【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（

）A．(x−2)2+(y−2)C．(x−3)2+(y−3)【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆C:x2+y2−2x−4y+3=0上的两个动点，P为弦A．(x−1)2+(y−2)C．(x+1)2+(y+2)【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为（A．(x+4)2+y2=16 B．(x−4)2【题型5与圆有关的对称问题】【方法点拨】(1)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(2)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆(x+2)2+y2=5A．(x−2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆x2−2x+y2=0与圆C关于直线x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆(x−1)2+(y−2)2=1A．(x+5)2+(y−4)C．(x−5)2+(y+4)【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆C1:(x−1)2+y2=9和圆A．y=−2x−3 B．y=−2x+3C．y=−12x−【题型6与圆有关的最值问题】【方法点拨】与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.【例6】（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆x2+y2=9上两动点，点P(1,1)，且PA⊥PBA．3−2 B．3+2 C．4−2【变式6-1】（2022·河南·高二阶段练习）若x，y满足x2+y2−2x+4y−20=0A．5 B．5−5 C．30−105【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点m,n在过−2,0点且与直线2x−y=0垂直的直线上，则圆C：x−352+y+12A．1 B．2 C．5 D．3【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线y=kx+mk≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，AB=22，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点1,1A．42 B．32 C．22 参考答案【题型1圆的方程的求法】【方法点拨】(1)圆的标准方程的求法①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.(2)圆的一般方程的求法待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点A(0,0),B(23,0),C(0,−2)的圆的方程为（A．x−32+C．x−32+【解题思路】根据三点在坐标系的位置，确定出△ABC是直角三角形，其中BC是斜边，则有过三点的圆的半径为BC的一半，圆心坐标为BC的中点，进而根据圆的标准方程求解.【解答过程】由已知得，A(0,0),B(23,0),C(0,−2)分别在原点、x轴、∴AB⊥AC，∴经过三点圆的半径为r=1圆心坐标为BC的中点23+02∴圆的标准方程为x−3故选：C.【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（

）A．x2+yC．x−22+y−2【解题思路】根据题意直接写出圆的标准方程即可.【解答过程】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为x2故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆x2+y2−4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【解题思路】设所求圆的方程为x2+y2−4x+6y+m=0【解答过程】依题意，设所求圆的方程为x2由于所求圆过点1,−1，所以1+1−4−6+m=0，解得m=8，所以所求圆的方程为x2故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，C3,0，则△ABCA．x2+yC．x2+y【解题思路】利用待定系数法进行求解即可.【解答过程】设圆的一般方程为x2因为A1,1，B4,2，所以有12故选：B.【题型2二元二次方程表示圆的条件】【方法点拨】判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.【例2】（2022·江苏·高二课时练习）设甲：实数a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由方程表示圆可构造不等式求得a的范围，根据推出关系可得结论.【解答过程】若方程x2+y2−x+3y+a=0∵a<3⇏a<52，∴甲是乙的必要不充分条件.故选：B.【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线C：x2+y2+2ax−4ay−10a=0A．−2,0 B．−C．−2,0 D．−【解题思路】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.【解答过程】由x2得x+a2由该曲线表示圆，可知5a解得a>0或a<−2，故选：B.【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程x2+y2−4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(−∞,1) C．【解题思路】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.【解答过程】因为方程x2所以−42+2故选：B.【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．−∞,9 B．−∞,−9 C．【解题思路】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【解答过程】由x2得x+32+y故选：A.【题型3点与圆的位置关系】【方法点拨】点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（

）A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【解题思路】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个.【解答过程】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：(m−2)2+4>2恒成立，故点故选：A.【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点M2,−4、N−2,1与圆C:xA．点M在圆C外，点N在圆C外B．点M在圆C内，点N在圆C内C．点M在圆C外，点N在圆C内D．点M在圆C内，点N在圆C外【解题思路】本题可将点M、N代入方程左边，通过得出的值与0的大小关系即可判断出结果.【解答过程】将M2,−4代入方程左边得2则点M在圆C内，将N−2,1代入方程左边得−2则点N在圆C外，故选：D.【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0A．−3,−2∪2,+∞C．−2,+∞ D．【解题思路】由x2+y2+mx−2y+2=0表示圆可得m2+【解答过程】由题意，x2故m2+(−2)2点A（1，2）在圆C：x2故12+故实数m的取值范围为m>2或−3<m<−2即m∈故选：A.【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点(a,2)在圆x2+yA．−∞,94 B．94,+【解题思路】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.【解答过程】由点在圆外知a2+22−2a⋅a−3×2+又x2+y解得a<94，故故选：D.【题型4圆有关的轨迹问题】【方法点拨】求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点M(−2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是（

）A．x2+yC．x2+y【解题思路】设P(x,y)，根据kMP【解答过程】设P(x,y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP即yx+2⋅y因为P为直角三角形的直角顶点，所以x≠±2，故所求轨迹方程为x2故选：C.【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（

）A．(x−2)2+(y−2)C．(x−3)2+(y−3)【解题思路】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程.【解答过程】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即x−2故选：A.【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆C:x2+y2−2x−4y+3=0上的两个动点，P为弦A．(x−1)2+(y−2)C．(x+1)2+(y+2)【解题思路】在直角三角形中利用几何关系即可获解【解答过程】圆C即(x−1)2+因为CA⊥CB,所以AB=又P是AB的中点,所以CP=所以点P的轨迹方程为(x−1)故选：B.【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为（A．(x+4)2+y2=16 B．(x−4)2【解题思路】直接设Mx,y，根据两点间距离公式|AB|=【解答过程】∵|MA||MB|=2设Mx,y，则x+42故选：B．【题型5与圆有关的对称问题】【方法点拨】(1)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(2)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆(x+2)2+y2=5A．(x−2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【解题思路】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心B的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．【解答过程】解：圆(x+2)2+y2=5圆心A(−2,0)关于原点(0,0)对称的圆的圆心B(2,0)，故对称圆的方程为(x−2)2故选：A．【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆x2−2x+y2=0与圆C关于直线x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【解题思路】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程.【解答过程】圆x2−2x+y2=0的标准方程为因为(1,0)关于直线x+y=0对称的点为(0,−1)，所以圆C的方程为x即x故选：C.【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆(x−1)2+(y−2)2=1A．(x+5)2+(y−4)C．(x−5)2+(y+4)【解题思路】求出圆心(1,2)关于(−2,3)的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1.【解答过程】圆(x−1)2+(y−2)因为点(1,2)关于点(−2,3)对称的点为(−5,4)，所以对称圆的圆心为(−5,4)，又因为半径不变，所以所求圆的标准方程为(x+5)2故选：A.【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆C1:(x−1)2+y2=9和圆A．y=−2x−3 B．y=−2x+3C．y=−12x−【解题思路】由题意可知直线l即为线段C1C2的中垂线，求出线段C1C【解答过程】解：因为圆C1:(x−1)2+所以直线l即为线段C1C1则线段C1C2的中点坐标为−1,−1所以直线l的斜率k=−2，所以直线l的方程是y+1=−2x+1，即y=−2x−3故选：A.【题型6与圆有关的最值问题】【方法点拨】与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.【例6】（2022·山西·高三阶段