专题04 二次函数系数之间的关系（原卷版）

第四讲二次函数系数之间的关系

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必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一二次函数各系数之间的关系.............................................................................................................1

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必备知识点

知识点1二次函数图像和系数的关系

1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口

就越小．

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简

称：左同右异）

3.常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

4.抛物线与x轴交点个数．

（1）△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点

（2）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点

（3）△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

考点一二次函数各系数之间的关系

1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

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2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a

﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个

（）

A．1B．2C．3D．4

3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b

＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中，正确结论

的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为x＝1，则下列结论正确的是（）

A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．5a+3b+2c＜0D．4ac﹣b2＞0

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同

学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其

中正确的个数为（）

A．4B．3C．2D．1

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6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜

0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，根据图象判断，下

列结论中正确的是（）

A．abc＜0B．b2﹣4a＞4acC．a+b+c＞0D．2a+b＜0

8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：

①a﹣b+c＜0②2a+b＞0③b＞a＞c④3|a|+|c|＜2|b|．

其中，正确结论的结论是（）

A．①②③B．①③C．②④D．①②④

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a

＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

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10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A．abc＜0B．a+b＞m（am+b）（m≠1）

C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1

11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0；②a+b

＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结

论的个数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m

222

为任意实数，则a+b＞am+bm；④3a+c＜0；⑤若ax1+bx1＝ax2+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其

中正确结论的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b

＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正确的是（）

A．①③④B．①②③C．①③D．②③

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14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，现有下列结论：

①abc＞0；②a＜﹣；③4a+2b+c＜0；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．正确的个数是

（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④

a+b≤t（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个

数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，

有下列结论：

2

①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞

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4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；

其中，正确结论的个数是（）个．

A．4B．3C．2D．1

18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：

①abc＜0；

2

②方程ax+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；

2

③若直线y＝2与y＝ax+bx+c的图象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）两点则x1、x2、

x3、x4的大小关系是x1＜x2＜x3＜x4；

④当y＞0时，﹣1＜x＜3；

⑤a﹣b+c＞0，

其中正确的说法有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有

以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则

y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；

⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，

则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

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2

20．二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是

该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①4a﹣2b+c＞0；

②若y2＞y1，则x2＞4；

③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．

其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，

它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：

22

①abc＜0；②4ac﹣b＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是

2

方程ax+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝