职教高考 集合的概念及表示法含答案

1．1.1集合的概念及表示法[知识整合]基础知识1．集合的基本概念(1)集合：把具有某种属性的一些能够确定的对象看成一个整体，就构成一个集合．集合通常用大写英文字母A，B，C，…来表示，集合中的每一个对象叫作这个集合的元素．元素通常用小写英文字母a，b，c，…来表示．(2)集合中元素的性质：①确定性；②互异性；③无序性．(3)元素与集合的关系：若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(4)数集：以数作为元素的集合．常见数集的符号表示：①自然数集N；②正整数集N＋或N*；③整数集Z；④有理数集Q；⑤实数集R.(5)集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合；③空集：不含任何元素的集合，记做∅.2．集合的表示法(1)列举法：把集合的元素列举出来，写在大括号内表示集合的方法．集合的元素不多时可一一列举，集合的元素较多或无限集，在不发生误解的情况下，只列出几个代表元素，其他元素用省略号表示．(2)性质描述法：把集合的特征性质描述出来，写在大括号内表示集合的方法．①特征性质：集合A的特征性质p，是指属于集合A的元素具有性质p，而不属于集合A的元素不具有性质p.②性质描述法的一般形式：A＝{x∈U|p(x)}，竖线左边的x代表集合的任一元素及元素的取值范围，右边表示集合中的元素所具有的性质．③简略形式：{元素名称}，如{平行四边形}等．注意：“{}”表示“全体”的意思，一般情况下实数集记为R，不能写成{全体实数}或{R}．(3)文氏图示法：用平面内的一条封闭曲线的内部表示集合的方法，如圆、椭圆、平面多边形等．基础训练1．集合A＝{－1，0，7，9}中的元素个数为()A．1B．2C．3D．42．下列关系正确的是()A．0∈∅B．0∉∅C．0＝∅D．∅∈03．填空(用列举法表示集合)(1)大于3且小于10的偶数的全体________．(2)绝对值等于1的实数的全体________．(3)小于100的正偶数的全体________．(4)一年中有31天的月份的全体________．4．填空(用性质描述法表示集合)(1)绝对值等于2的实数的全体________．(2)方程x2－x－2＝0的解构成的集合________．(3)偶数的全体构成的集合________．(4)两边长分别为3，5的三角形中，第三边可取的整数的集合________．5．用符号“∈”或“∉”填空(1)x________{x，y，z}；(2)π________Q；(3)3________{x||x|<4}．[重难点突破]考点1集合与元素例1下列语句可以构成一个集合的个数为()①班上很瘦的同学；②方程x2＝9的所有的实数根；③某次期末考试前10名的学生；④全国著名学者的全体．A．1B．2C．3D．4【解析】根据集合的概念，由某些确定的对象组成的整体，才能构成集合，所以只有②是正确的，故选A.【变式训练】下列语句中，哪个可确定一个集合()A．与1接近的实数全体B．某班性格好的同学C．无穷大的所有整数D．大于2小于15的奇数的全体例2设集合A＝{x|x≤4}，a＝eq\r(13)，则正确的关系是()A．a⊆AB．a∈AC．{a}∈AD．a∉A【解析】∵a＝eq\r(13)<eq\r(16)＝4，∴a∈A，故选B.反思提炼：要正确理解集合与元素、集合与集合之间的关系，准确读懂∈、∉、⊆、这些符号的含义．【变式训练】用适当的符号(∈，∉，＝，)填空(1)x______{x，y，z}(2)0______N＋(3)1______N(4)0______∅(5)0______{0}例3已知集合A＝{x|ax2＋3x＋1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合．【解】有且只有一个元素，可知ax2＋3x＋1＝0的根只有一个，当a＝0时满足，b2－4ac＝9－4a＝0，得a＝eq\f(9,4)，综上所述得a组成的集合为{0，eq\f(9,4)}．反思提炼：因为集合A中元素的个数是方程解的个数，所以求集合中元素的个数问题可转化为求方程解的个数问题．【变式训练】已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R}，且集合A中元素至多有一个，求实数a的取值范围．例4已知x2∈{0，1，x}，求实数x的值．【解】∵x2∈{0，1，x}，∴x2必是0，1，x中的一个．(1)若x2＝0，则x＝0，与元素的互异性矛盾；(2)若x2＝1，则x＝±1，x＝1与元素的互异性矛盾，舍去，则x＝－1；(3)若x2＝x，则x＝0或x＝1，都不合题意，舍去．故x＝－1.反思提炼：含参数的集合问题多采用分类讨论思想解决，同时要注意集合中元素的互异性．【变式训练】已知x∈R，则集合{1，3，x}中的元素x应满足什么条件？考点2集合的表示法例5用适当方法表示下列集合：(1)两边长分别为4，5的三角形中，第三边取整数的集合；(2)坐标平面内第三象限内的点组成的集合；(3)所有正方形构成的集合．【解】(1){2，3，4，5，6，7，8}；(2){(x，y)|x<0且y<0}；(3){正方形}．反思提炼：表示集合的方法，依据对象的特点或个数多少采用不同的方法，有时不止一种．(1)中集合的个数较少，适合采用列举法，而(2)(3)都是无限集，适合采用描述法．【变式训练】按要求表示下列集合．(1)用描述法表示集合{1，3，5，7，9}；(2)用列举法表示小于8的质数；(3)分别用两种方法表示不超过10的非负偶数的集合．[课堂训练]1．下列语句能构成集合的是()A．与0接近的实数B．十分可爱的熊猫的全体C．全校所有女老师D．π的近似值2．以下集合中是有限集的是()A．{x∈N|x>1}B．{x|x＝2n，n∈Z}C．{四边形}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x2－2x＋1＝0))3．下列五个关系式：①eq\r(2)∈R；②|－1|∉N*；③eq\f(5,2)∉Q；④π∈Z；⑤0∈N中，不正确的个数为()A．1B．2C．3D．44．用列举法表示集合{x|x2＋5x＋6＝0}，结果是()A．{－2，－3}B．{－6，1}C．{6，－1}D．{2，3}5．若集合A＝{x∈N|－3<x<2}，则A为()A．{1}B．{0，1}C．{－2，－1，0，1}D．以上均不对6．用适当的符号填空(“∈”、“∉”、“＝”)：1______N；e______Q；π______R；{1，2，3}______{3，2，1}；0______{x|x2＝1}．7．如果集合A＝{x|x≤5，x∈N}，那么用列举法表示A＝____________．8．集合{1，4，9，16，25}用性质描述法表示为____________．9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集．(2)在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合．10．设集合B＝{x∈N|eq\f(6,2＋x)∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B的关系．(2)用列举法表示集合B.集合的概念及表示法答案知识整合基础训练1．D【解析】观察集合A，得出A中的元素有4个，故选D.2．B【解析】0是一个元素，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B.3．(1){4，6，8}(2){－1，1}(3){2，4，6，…，98}(4){1，3，5，7，8，10，12}4．(1){x||x|＝2}(2){x|x＝2或x＝－1}(3){x|x＝2k，k∈Z}(4){x|2<x<8，x∈Z}【解析】(1)由题意知|x|＝2，∴x＝2或x＝－2.(2)解方程x2－x－2＝0得x＝2或x＝－1，故此空填{x|x＝2或x＝－1}．(3)偶数的全体构成的集合为{x|x＝2k，k∈Z}．(4)由三角形的边的和与差的关系，设第三边为x，则x＋3>5，5＋3>x，5－x<3，x－3<5，5－3<x.解上述不等式可得2<x<8，故第三边可取的整数集合为{x|2<x<8，x∈Z}．5．(1)∈(2)∉(3)∈【解析】(3)∵{x||x|<4}＝{x|－4<x<4}，∴3∈{x||x|<4}．重难点突破【例1】【变式训练】D【解析】构成集合的元素应当具有“确定性”，由于“与1接近的实数全体”、“某班性格好的同学”、“无穷大的所有整数”都无法确定其元素，所以不能构成集合，故“大于2小于15的奇数的全体”能确定，选择D.【例2】【变式训练】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈【例3】【变式训练】【解】当a＝0时，方程为－3x＋2＝0，方程有唯一解x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，Δ＝9－8a≤0，解得a≥eq\f(9,8)；综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．【例4】【变式训练】x≠1且x≠3.【例5】【变式训练】【解】(1){x|x＝2n＋1，0≤n≤4，n∈N}；(2){2，3，5，7}；(3){0，2，4，6，8，10}或{x|x＝2n，0≤n≤5，n∈N}．课堂训练1．C【解析】四个选项中，只有C选项具有“确定性”，故选C.2．D【解析】∵{x∈Req\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2)))－2x＋1＝0}＝{1}，由有限集的概念可知，该集合为有限集，A、B、C均为无限集，故选D.3．C【解析】①⑤正确，②③④错误，故选C.4．A【解析】x2＋5x＋6＝0⇔(x＋2)(x＋3)＝0，解得x1＝－2，x2＝－3，用列举法表示成{－2，－3}，故答案选A.5．B【解析】大于－3小于2的自然数有0，1，故选B.6．∈，∉，∈，＝，∉【解析】1是自然数，e是无理数，π是实数，{1，2，3}和{3，2，1}相等，x2＝1⇒x＝±1，故0∉{x|x2＝1}．7．{0，1，2，3，4，5}【解析】小于等于5的自然数有0，1，2，3，4，5，故A＝{0，1，2，3，4，5}．8．{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}【解析】由题可看出1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，故可表示为{x|x＝n2，1≤n≤5，n∈N}．9．【解】(1)因为方程x(x2＋2x＋