安徽省淮南市凤台县部分学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

-2025学年九年级上学期数学素养检测一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列音符中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF，其中∠DAE＝15°．那么旋转角的度数是（）A．15° B．75° C．90° D．105°3．关于反比例函数，下列说法正确的是（）A．函数图象经过点（1，4） B．函数图象位于第一、三象限 C．当x＞4时，﹣1＜y＜0 D．y随x的增大而增大4．一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（）A． B． C． D．5．若点（﹣6，y1）、（﹣2，y2）、（5，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则有（）A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y26．若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+x﹣2＝0有两个实数根，则整数k的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．27．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为36m、宽为22m的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为700m2，则小路的宽为多少米？若设小路的宽为xm，根据题意可列方程（）A．（36﹣x）（22﹣x）＝700 B．（36﹣x）（22﹣2x）＝700 C．（36+x）（22+2x）＝700 D．（36﹣2x）（22﹣x）＝700（第7题图）（第8题图）（第9题图）8．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（）A．80° B．85° C．90° D．95°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°10．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2024，则t的取值范围为（）A．2023≤t≤2024 B．2020≤t≤2021 C．2021≤t≤2022 D．2022≤t≤2023二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11.半径为1的圆O中，扇形OAB的圆心角为120°，则扇形OAB的面积为．12．如图，PA、PB分别为⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若△PEF的周长为18，则PA长是．(第12题图）（第13题图）13．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是．14．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1），若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是．三．解答题（共9题，15～18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，第23题14分）15．解方程：（1）x2﹣5x+6＝0；（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，1），B（4，1），C（5，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A、B、C分别对应A1、B1、C1；（2）将△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°，点A、B、C分别对应A2、B2、C2，请画出旋转后的图形△A2B2C2．某商店进了一批皮鞋进货价为150元/双，若按照每双200元出售，则可销售200双，若每双皮鞋提价5元出售，则其销售量就减少10双，现在预计要获得11200元利润，应按每双皮鞋多少元出售？这时应该进多少双皮鞋？18．（1）发现比较4m与m2+4的大小，填“＞”“＜”或“＝”：①当m＝3时，4mm2+4；②当m＝2时，4mm2+4；③当m＝﹣3时，4mm2+4；（2）论证无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系？试说明理由；（3）拓展：试通过计算比较x2+2与2x2+4x+6的大小．19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，且CA＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DE＝2，求⊙O的半径长．20．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）．（1）小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是；（2）小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产．求两人恰好选中同一幅图的概率？21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．（1）求桥拱的半径；（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由.22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求P点坐标．23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值（直接写出答案）．3

参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1～10DCCBABBCBD1．D．2．C．3．C【解答】解：A、令x＝1，则y＝﹣4，所以函数图象不经过点（1，4），原说法错误，不符合题意；B、由k＝﹣4＜0可知该反比例函数的图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意；C、由k＝﹣4＜0可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而增大，所以当x＞4时，﹣1＜y＜0，正确，符合题意；D、由k＝﹣4＜0可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意，故选：C．4．B【解答】解：列表如下：红白绿红（红，白）（红，绿）白（白，红）（白，绿）绿（绿，红）（绿，白）共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种，∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．故选：B．5．A【解答】解：∵点（﹣6、y1），（﹣2、y2），（5、y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，∴y1＝﹣，y2＝﹣，y3＝，∵k＜0，∴＜0＜﹣＜﹣，即y2＞y1＞y3．故选：A．6．B【解答】解：由题知，因为关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+x﹣2＝0有两个实数根，所以Δ＝12﹣4×（k﹣3）×（﹣2）≥0，解得k≥，所以整数k的最小值是4．故选：B．7．B【解答】解：如图所示：将小路平移到边上，∴（36﹣x）（22﹣2x）＝700，故选：B．8．C【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜45°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝30°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝75°，∴∠C＝∠E＝60°，∴∠AFE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，故选：C．9．B【解答】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，故选：B．10．D【解答】解：由题意方程组只有一组实数解，消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，由题意得Δ＝0，∴（b﹣1）2﹣4a＝0，∴4a＝（b﹣1）2，即a＝（b﹣1）2，∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为（b﹣1）2x2+（b﹣1）x+1＝0，即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，∴x1＝x2＝，∴C（，），∵点C在第一象限，∴1﹣b＞0，∵2≤[C]≤4，∴2≤||+||≤4，∴1≤≤2，解得：﹣1≤b≤0，∵t＝2b2﹣4a+2024，∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2024＝b2+2b+2023＝（b+1）2+2022，∵﹣1≤b≤0，∴t随b的增大而增大，∵b＝﹣1时，t＝2022，t＝0时，t＝2023，∴2022≤t≤2023．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：扇形OAB的面积＝＝π，故答案为：．12【解答】解：∵⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，∴EC＝EA，FC＝FB，∵PA、PB切⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，∵△PEF的周长为18，∴PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝PA+PB＝2PA＝18，∴PA＝9，故答案为：9．13．-6【解答】解：连接OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．14．1≤a＜或a≤﹣2．【解答】解：由点A、B的坐标得，直线AB为y＝x+，抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，∴Δ＝9﹣8a＞0，∴a＜．①当a＜0时，则，解得a≤﹣2，故a≤﹣2；②当a＞0时，则，解得a≥1，∴1≤a＜．综上所述：1≤a＜或a≤﹣2，故答案为：1≤a＜或a≤﹣2．三．解答题（共10小题）15．【解答】解：（1）原方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0，x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3；（2）原方程移项得：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，解得．16．【解答】解：（1）∵A（1，1），B（4，1），C（5，3）关于x轴对称的对称点坐标A1（1，﹣1），B1（4，﹣1），C1（5，﹣3），画图如下：（2）∵A（1，1），B（4，1），C（5，3）旋转后的坐标A2（1，﹣1），B2（1，﹣4），C2（3，﹣5），（A1，A2重合）画图如下：17．【解答】解：设售价应提高x元，依题意得（50+x）（200﹣2x）＝11200，解这个方程，得x1＝30，x2＝20，当x＝30时，200+30＝230，当x＝20时，200+20＝220，11200÷（230﹣150）＝140（双），11200÷（220﹣150）＝160（双），答：每双皮鞋220元时，购进160双，每双皮鞋230元时，购进140双．18．【解答】解：（1）①当m＝3时，4m＝12，m2+4＝13，则4m＜m2+4，②当m＝2时，4m＝8，m2+4＝8，则4m＝m2+4，③当m＝﹣3时，4m＝﹣12，m2+4＝13，则4m＜m2+4．故答案为：＜；＝；＜；（2）无论m取什么值，判断4m与m2+4有4m≤m2+4，理由如下：∵（m2+4）﹣4m＝（m﹣2）2≥0，∴无论取什么值，总有4m≤m2+4；（3）拓展：x2+2﹣2x2﹣4x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x2+4x+4）＝﹣（x+2）2≤0，故x2+2≤2x2+4x+6．19.【解答】（1）证明：连接OC．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA＝30°．∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝30°．∴∠ACE＝120°．∴∠OCE＝∠ACE﹣∠OCA＝120°﹣30°＝90°∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．（2）解：连接CD．由（1）证可得，∠E＝∠A＝30°．∵AD为直径，∴．∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，∴∠DCE＝∠CDA﹣∠E＝60°﹣30°＝30°．∴∠DCE＝∠E．∴CD＝DE＝2．∴AD＝2CD＝4．∴AO＝DO＝2，即⊙O的半径为2．20．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中潮俗皮影戏的结果有1种，∴小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是．故答案为：．（2）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有4种，∴两人恰好选中同一幅图的概率为．21.【解答】解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，（1）设桥拱的半径是rm，∵OC⊥AB，∴AN＝AB＝×16＝8（m），∵拱高CN为4m，∴ON＝（r﹣4）m，∵OA2＝ON2+AN2，∴r2＝（r﹣4）2+82，∴r＝10，∴桥拱的半径是10m；（2）不需要采取紧急措施，理由如下：如图，连接OD，∵CO⊥DE，∴DM＝DE＝×12＝6（m），∴OM＝＝＝8（m），∵CM＝OC﹣OM＝10﹣8＝2（m），∵2m＞1.5m，∴不需要采取紧急措施．22．【解答】解：（1）∵一