压缩映射原理的性质和应用

1、 压缩映射原理的性质和应用 摘 要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下： 第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。 第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。 第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映

2、射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a syst

3、ematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping prin

4、ciple, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.

5、 The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove

6、this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes t

7、he methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth

8、 chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilist

9、ic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compres

10、sion mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要IABSTRACTII第一章绪论11.1写作动机11.2不动点理论背景知识，历史渊源21.3压缩映射原理的简介3第二章压缩映射定理的证明思路探究52.1定理内容和证明62.2一个例子62.3本章总结8第三章压缩映射原理的推广103.1推广的背景：103.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明10本章总结12第四章压缩映射原理的应用举例134.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明134.2积分方程组

11、的解的存在与唯一性证明144.3本章总结16第五章概率度量空间中的压缩映射原理175.1基本概念的构造175.2随机压缩映射原理的构造175.3概率度量空间的背景知识195.4概率度量空间中的基本概念195.5：范数的概念及其性质215.6概率度量空间上的压缩映射原理215.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理245.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用265.9本章总结26结论28参考文献2932 / 36第一章 绪 论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分

12、析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么了解，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。另外我在考研究生参加复试的时候，当时一位老师问我一个问题，问题是这样的：在旅游景点甚至在学校内的大门口经常会见到有平面的小地图，由此请问说明在小地图上的一点适合大地图上的一点是重合的。由此我觉得我和压缩映射原理十分有缘，也对这个定理产生了浓厚的兴趣。要讨论这个定理首先要从它的证明说起，第一次见到压缩映射原理的证明也是在泛函分析的书上，但是书上并没有严格的证明，至少我是接受不了，其中有一个关键步骤是极限要和映射交换顺序，

13、在数学分析中，极限和函数交换顺序是要有条件限制的，比如函数是连续的，当然现在我已经用其他的方法证明出极限与压缩映射是可以交换的了，由此得到了一个完善的证明压缩映射原理的方法。事实上，这个证明方法中涉及到的迭代法在数值分析课程中也有提到，可以构造一系列迭代关系，从而去求得方程的近似解等数值分析的问题，这也算是由压缩映射原理得到的一个非常重要的应用吧。证明了压缩映射原理后，下面的问题自然是推广压缩映射原理，也可以说是压缩映射原理推论吧，就像数学分析中将洛尔定理推广到拉格朗日定理，再将拉格朗日定理推广到柯西定理那样，在证明推广的定理时，证明的方法和最开始的压缩映射原理非常相似，至少在大的方向上是一样

14、的，根据具体的条件会有所差异。后来进行深入的了解我发现之前的压缩映射原理另一个名称是不动点原理，也就是说不动点定理有很多很多，应用也更是千变万化，压缩映射原理只是其中的一种类型，也就是压缩型的不动点原理，即使是压缩型的不动点原理也有很多很多中，形式由线性的可以推广到非线性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的压缩映射原理的基础上，将一些定义在新的形式下重新定义，同样的大思路进行新的压缩映射原理的证明。根据我的深入了解压缩映射原理在概率方向也有着非常大的应用，例如利用概率的知识模仿度量空间定义概率度量空间，定义概率中的范数范数，由此得到概率空间上的不动点原理。另一个比较有用的应用是在随机泛函分

15、析中，结合随机变量的相关性质给出随机算子，随机不动点的定义，从而建立随机压缩映射原理。传统的研究方向是将压缩映射原理应用在求数列极限，微分方程，积分方程，或者方程组解的存在唯一性等问题上，数列，微分方程，积分方程也是千变万化，但只要可以根据具体条件构造出压缩映射，就可以应用压缩映射原理说明问题。我的论文这次就是要写这些问题，首先将压缩映射原理完整的证明一下，之后利用这个证明方法去推广压缩映射定理，从而可以得到一些其他条件下的压缩映射原理，接下来如常微分方程中所要做的一样，将方程推广到方程组，从而可以解决更多的实际问题，再之后，我将用我所学到的实变函数与概率论知识，在概率空间中讨论压缩映射原理及

16、其应用，由于时间紧迫，加上我本人现阶段知识也是十分贫乏，暂时决定就先做出这些方面的研究，随着不断的学习我相信今后我会得出更多的成果。1.2不动点理论背景知识，历史渊源随着对压缩映射原理的深入了解，我知道了泛函书中的压缩映射原理只是在年提出的第一个代数型的压缩映射原理，压缩映射原理还有其他各种各样条件下的各种各样的形式。法国数学家在年至年，在“庞加莱的最后定理”中，把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题，首先使用了不动点的概念。1910年，证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点，从而开启了不动点理论研究的先河。特别是波兰数学家在年使用迭

17、代方法证实了压缩映射原理之后，由于其结果的优美性和成功的解决了像隐函数存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大的应用问题，使得不动点理论成为数学宝库中的一朵奇葩，促使数学家们对其进行了深入和广泛的研究。特别是近几十年来，随着计算机的发展，人们使用各种各样的迭代方法去逼近非线性映射的不动点并应用其解决了某些是问题。不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，因为它可以应用到有限维拓扑空间，所以成为一般不动点定理的基石。不动点定理说明：在一个拓扑空间中，满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，不动点定理的一个简单的函数形式是对一个从某个圆盘映射到它自身的函数。推广的定理则对任意从某个空间的

18、凸紧子集映射到它自身的函数都能成立。建立不动点定理是一项突出的贡献这个定理表明：在二维球面上，任意一个映到自身的一一连续映射，存在至少有一个点是固定不变的。这一结果推广到高维球面就是在维球内任意映到自身的连续映射至少存在一个不动点。在这个定理的证明中，引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，我们就可以解决一个流形上的向量场的奇点等问题。随后，揭示了不同的与空间的一一对应关系。研究出了把单位线段连续映入正方形的方法这两个成果不禁使人们猜想：在拓扑映射中，维数可能是不变的。年，布劳威尔对于任意的证明了这个猜想：维数的拓扑不变性在证明过程中，构造了连续拓扑映射

19、下的单纯逼近的概念，主要是一系列线性映射的逼近的概念，他还构造了映射的拓扑度的概念，即一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数。这些概念在解决一些有关不变性的问题时变得非常有用。例如，就借助它界定了维区域，科学家则用它证明了数的不变性，而压缩映射原理则是不动点理论中非常重要的一类定理。1.3压缩映射原理的简介根据参考文献1，4，7中记载，按照压缩条件的不同，压缩映射原理可以进行如下分类：设为度量空间，映射，称为满足下列第个条件的映射为第类压缩映射，记为年，对于任意的有。年，存在单调函数使得。年，对于任意的，有<。年，。年，对于任意有。年，有。年，单调减少，有。年，对于任意，有，。年，对于任

20、意的，有。年，有。，存在，对于任意的有+。年，对于任意有。年，对于任意有。年，存在，其中单调减少，对于任意有。年，对于任意有。年，对于任意的，有<。在这些压缩映射中，若改为存在某个自然数，使满足相应条件，则又可得到个压缩映射定理，如果改为存在某两个自然数，使得满足不等式条件，又可得到个压缩映射定理，如果存在某个函数，使得满足压缩映射条件，又可得到个压缩映射定理，若存在函数，使得满足压缩映射条件，又可得到个压缩映射定理，现在已经有种压缩映射定理了，如果将映射改为映射对，又可得到个压缩映射定理，若改为映射序列，又有无数个压缩映射定理了，度量空间满足什么性质，映射满足什么条件，这些压缩映射定理

21、会成立呢？它们又会有哪些应用呢？这些都是在论文中我要讨论的问题。第二章压缩映射定理的证明思路探究2.1定理内容和证明参考文献2中记载有压缩映射定理:设为完备的度量空间，且满足，则在内有唯一的不动点。证明定义为中任意取定的一点，则根据压缩映射条件得，所以得,，所以为列。因为为完备的度量空间，所以存在满足，所以。唯一性，略。注释:之所以把这个定理证明一遍是因为定理的证明方法同样适用于其他类型的压缩映射原理下面的例子就要说明这个问题。2.2一个例子设，其中，定义域内是单调递减的，对于，有+，则在内存在唯一不动点。分析：根据压缩映射原理的证明可以得到如下证明思路:（1） 令为中任意取定的一点;（2）

22、通过证明，进一步证明为列;（3） 证明的极限点是不动点;（4） 证明唯一性.下面就根据上述分析证明这个例题.证明定义为中任意取定的一点,接下来该证明，根据压缩映射条件得,+，其中记，记。交换与的位置可得另一不等式为,，两个不等式相加得,，整理得,，即单调递减。下面利用反证法证明,先假设，下面证明。定义，所以，所以，这与矛盾，所以。下证为列. 因为。整理得，。所以，即为列。设满足，下证。根据极限的唯一性，也即证，因为，整理得，由此可得，即。2.3本章总结通过上面的讨论，总结出了一套证明压缩映射原理的方法，从证明的例子中也可以看出：只要涉及到递推问题的压缩映射原理，都可以按照上述步骤，用类似方法进

23、行证明，虽然许多细节处不尽相同，但主要的套路是不变的。通过对证明方法的分析，也使我对压缩映射原理理解的更为深刻。理解了证明，在此基础上构造出新的压缩映射原理也会变得容易。第三章压缩映射原理的推广3.1推广的背景：在第一章中列举有代数型压缩映射原理共计类，根据参考文献3，年，数学家提出了六个公开问题：(1) 若为第16类压缩映像，在中连续而且若存在, 而且有聚点，那么是否有不动点？(2) 若（1）是错误的猜想，那么修改成为什么条件可以保证有不动点？(3) 当是第（61）至（64）类的压缩映像之时，会有怎样的结论？(4) 当是第（68）至（80）类的压缩映像之时，会有怎样的结论？(5) 局部压缩能

24、否推广到（10）（26）（42）（58）（74）？(6) 上面的5个问题对于映像对，序列时的情况又有什么样的结论？对于上述问题，科学家的出了很多成果，本文主要是对证明方法的应用，所以下面在种类繁多的压缩映射原理中任选一个进行证明。3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明下面根据之前总结的方法，证明参考文献5中的一个定理。定理：若为第九类压缩映射时，即满足连续，若存在是的聚点，则是的唯一不动点，且。证明因为是的聚点，所以可以设，下面分三步证明，第一步，如果存在使得，因为，所以。第二步：与第一步中条件互补，即如果对于，令,那么满足非负连续，因为为第九类压缩映射，所以对于，因为，所以对于。因为，所以

25、，使得。因为单调递减，非负，所以。因为连续，所以。因为连续，所以，所以，(极限的唯一性)，所以，(否则，)。第三步：下面证明。情况一，如果，那么当，所以情况二，否则对于有因为，所以，所以对于时，有。所以当时，有。所以。3.3本章总结本章内容是对第二章内容的更深层次的推广，但用到证明的核心思想和上一章是一样的，通过对类似问题的研究使我明白看问题不能只看表面，不能被问题的外表吓住，由此让我对递推法有了更加深刻地理解，能够熟练应用递推法的话确实可以解决许多看似十分困难的问题，而且不仅是在数学上，在应用计算机解决实际问题时，如果可以熟练应用递推法的话，也能够尽可能化简复杂的算法。第四章压缩映射原理的应

26、用举例4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明下面来证明非线性的积分方程的解的存在与唯一性定理，定理内容取自参考文献6。设函数上面连续，且满足条件，那么对于，在中有唯一的解，并且对于，有在上一致收敛于那个存在的唯一解。构造一：令则有，若，则原方程存在唯一解，即在中存在唯一解，其中。构造二：令，因为，所以与等价，所以。由于，所以也满足压缩映射原理。注释：当连续，而且函数关于满足条件，那么满足初值条件在上存在唯一解。通过上面的证明自然会想到对于方程组的情况需要什么样的条件，怎样的证明？4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明先研究两个微分方程的情况，即在什么条件下存在唯一解。这样就引入了非线性

27、压缩映射原理的相关理论，在非线性压缩映射原理中有这样的一个定理：设是完备的度量空间，是连续的映射，并且使得，那么在上存在唯一不动点。根据这个定理可以构造如下条件：且为连续映射，且。使得且对于满足。其中为空间，定义为,定义为为上确界范数在上述条件下就可以证明上面的方程组存在唯一解证明与单个微分方程证明类似，利用等价范数则。然后根据上面提到的非线性压缩映射原理，得证微分方程组解的存在唯一性原理。注释：当时，有许多科学家做过研究，由于微分方程组的形式多样，因此也得到了许多形式的压缩映射原理，这些神奇的理论我都收集在了参考文献中，由于时间问题我很难在现有基础上进行创新，所以就不把那些别人的结果写在正文

28、里了。4.3本章总结本章使举例来说明压缩映射原理在解微分方程上的应用，将压缩映射原理应用到了微分方程这一外表下，由于微分方程形式是多样的，对于不同的形式要自己构造映射，然后自己证明是压缩映射，之前的章节一直都是在证明别人构造的映射，所以难度有所增加，对于不同的形式，构造也不一样，选取的范数也不一样，因此不是那么容易了，现在好多科学家也在研究这一方面的各种形式下的问题，我现在的水平连初窥门径也还不够。第五章概率度量空间中的压缩映射原理5.1基本概念的构造在概率度量空间上也有着压缩映射原理的应用，下面先解释几个后文中要用到的基本概念，完备可分的度量空间称为空间。称为随机元，如果。算子称为随机算子，

29、若为随机元。称为随机算子的随机不动点，如果是随机元，而且。称为随机压缩算子，如果存在非负实值随机变量，使得，。以上概念皆选自参考文献8中。5.2随机压缩映射原理的构造在中这些概念下可以构造出随机压缩映射原理：几乎处处的连续的随机压缩算子存在唯一的随机不动点。首先证明一个引理：设为完全测度空间，为空间，随机算子满足在上几乎处处为随机压缩算子，则存在唯一的随机不动点。证明设是上的随机压缩算子，所以对于使，即对于存在唯一的,使。令，其中是其中的一个固定值，下面证明为随机元，对于，令，则为随机元列，而且有，所以为随机元，所以在上存在唯一的随机的不动点。由此引理下面就可以证明随机压缩映射原理了。由于在不

30、断的变化，所以，也可能会随之发生变化，这也是该定理与引理的区别所在，所以证明的思路就是构造出和引理类似的，则此定理就证明出来了。证明令，则令，则，因为是可分的，设是的可数稠密子集，则令,，下面证明，显然；反之，对于，而且，所以因为在上连续，所以在不等式中令得所以，即，再令，则即为满足引理要求的。5.3概率度量空间的背景知识概率度量空间（简记为空间）,是度量空间把两点间距离用一个统计量来进行，描述的一种空间。自从年，首次提出空间以来，首创序贯分析的世界著名科学家，前苏联著名科学家以及布拉格学派的杰出科学家，在这一领域做了大量的奠基性工作，科学家们对其进行的研究进展一直很慢，直到世纪年代的时候，美

31、国科学家，等研究了空间的拓扑结构，才是这一理论得到了扩充以及较大的发展。在国内，西安交通大学已故的著名科学家游兆永教授首先开始研究这一领域，游教授在年发表了国内第一篇研究空间的学术论文，在这之后国内的龚怀云，张石生，丁协平等教授也开始从事这个领域的研究，但是直到现在，这一理论下还是有很多问题有待研究。最近几年，等科学家尝试着修改最基本的定义，这项工作在火热的进行中。还是要先介绍几个非常基础的概念，这些基本概念取自参考文献9中。5.4概率度量空间中的基本概念记用来表示所有左连续的分布函数构成的集合，为的子集合，记，是一种特殊的分布函数，下面会起到很大作用。我们把有序对称为空间，其中(记)而且对于

32、满足以下条件：对于当且仅当时成立。如果，那么。注释1：具体一点的说可以近似的理解为之间的距离小于的概率，这样的显然满足中要求。注释2：如果空间还构成了一个记为的度量空间，那么一般情况下定义，在这样定义下的下面验证也是满足中要求。证明，的证明都十分显然，下面证明条件，已知条件，所以注释3：条件可以推出。证明，已知，令，则，因为对于，有，所以对于，又因为，所以。5.5：范数的概念及其性质称为范数，如果对于满足。，其中。注释：在解决实际问题时要利用一些具体形式的范数，下面举几个常用的例子。5.6概率度量空间上的压缩映射原理下面将研究概率度量空间上的压缩映射原理，一般的度量空间，只要具有完备性，就可以

33、找到对应的压缩映射原理，但是根据参考文献8，我了解到在年科学家举出了反例，所以在空间中探讨压缩映射原理时，需要加入更强的条件，按照泛函分析中的方法和技巧，首先要在概率度量空间上定义收敛，压缩映像，不动点的概念，然后寻找适当的条件，构造出概率度量空间下的压缩映射原理，经过本人对参考文献的研究这些概念在概率度量空间下和之前探讨的相同概念在形式上有很大的不同，但在本质上还有方法上还是很相似的。几个重要的概念如下所示：被称为压缩映像，如果满足对于，。被称为的不动点，如果，对于成立。设称收敛到，如果对于成立。注释：如果按照正常的对极限的理解，会有如下定义：如果对于对于,，成立，那么称收敛到。实际上可以证

34、明这两个概念是等价的。证明，已知即有成立，即成立。已知有成立，即，亦即，对于成立。另一方面当，所以对于成立基本概念大致就这些，下面就可以开始研究压缩映射下的不动点问题了。在一般的度量空间里不动点可以有好多个，比如对于函数，它定义域内的所有的点都是不动点，而由于在概率度量空间上受到现实问题的约束，因此概率度量空间下的压缩映射不动点就会有一些规律。例如对于概率度量空间中任意压缩映像，它的不动点至多只有一个。证明从结论上看证明比较适合用反证法，因此设为压缩映射的两个不一样的不动点，则，所以，所以，所以。在这里要讲述一个非常有用的定理，它的证明方法也在后面会很有用，这个定理的内容和证明都出自于参考文献

35、10。任取，记，设是一个完备的概率度量空间，其中满足对于，为压缩映射，那么下面两个结论必定会成立其中一个：存在唯一的不动点。对于成立。对这种问题的证明思路就是否定其中一个然后去证明另一个。证明，设，所以，所以，对于，关于一致成立，所以存在。下面证明为的不动点，因为，所以。因为连续，所以，即。在之前的内容里，列举了好多个范数的例子，从中任取一个来构造一个压缩映射原理，例如当时，存在唯一的不动点。证明，已知，所以，因为使得，所以，所以根据上面所述参考文献中的定理知，存在唯一的不动点。5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理与一般度量空间中的讨论一样，研究了基本的压缩映射原理之后，就要继续研究应用更

36、加广泛的非线性的情况，在不同的条件下会得到不同的压缩映射原理，从之前探究的证明方法入手，证明下面这个非线性的压缩映射原理，该定理取自参考文献11。定理：设是一个完备的概率度量空间，是型的范数，并且在处连续，函数满足这三个条件，其中。映射满足的压缩条件为对于，有，则压缩映射存在唯一不动点。证明记，则对于，都成立。任取，记，则，所以。下面用反证法证明对于成立，此时，所以，因为，所以，所以，所以，所以，但这与矛盾，所以成立，所以，所以，因为显然成立，所以下面用数学归纳法证明成立，假设时成立，下面证明时成立，因为，所以，即时也是成立的。下面该证明是列，因为，所以，所以是列，所以，使得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即是的不动点。最后要证明唯一性，设使得，因为，所以，即。5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用按之前讨论其他的空间的方法，接下来该是压缩映射原理的应用阶段，在参考文献中，有许多这方面的应用，由于本人水平有限，暂时无法写出不重复的应用，主要是对这个方面的问题掌握还不熟，很多理论知识还未学透，但是概率度量空间上的压缩映射原理的确是一个很有发展空间的领域。5.9本章总结本章是我写的这篇论文的核心部分，将压缩映射原理建立在概率度量空间的一系列概念上，无