2024高考数学一轮复习专练40空间几何体的表面积和体积含解析理新人教版

PAGE专练40空间几何体的表面积和体积命题范围：空间几何体的表面积与体积[基础强化]一、选择题1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π2．[2024·浙江卷]祖暅是我国南北朝时代的宏大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．3243．[2024·唐山摸底]已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A．1－eq\f(π,4)B．3＋eq\f(π,2)C．2＋eq\f(π,4)D．44．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π5．[2024·全国卷Ⅰ]已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π6．[2024·华中师大附中高三测试]已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的全部内接圆柱中，全面积的最大值是()A．2πR2B.eq\f(9,4)πR2C.eq\f(8,3)πR2D.eq\f(3,2)πR27．[2024·湖南张家界高三测试]某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为()A．8＋eq\f(4\r(3)π,3)B．8＋eq\f(2\r(3)π,3)C．4＋eq\f(4\r(3)π,3)D．4＋eq\f(8\r(3)π,3)8．[2024·长沙高三测试]某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．4eq\r(7)D．89．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)二、填空题10．[2024·全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．11．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB相互垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．12.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D专练40空间几何体的表面积和体积1．B设圆柱的底面半径为r，由题意得高h＝2r，∴(2r)2＝8，得r＝eq\r(2)，∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝4π＋8π＝12π.2．B本题主要考查空间几何体的三视图及体积，考查考生的空间想象实力及运算求解实力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝eq\f(1,2)×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故选B.3．D由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一个以1为底面圆的半径，高为1的圆柱的eq\f(1,4)，如图所示，故其表面积S＝1×1＋1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×1－\f(π,4)))＋eq\f(2π,4)×1＝1＋1＋2－eq\f(π,2)＋eq\f(π,2)＝4.4．C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π×12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).5．A如图，由题知△ABC为等边三角形，圆O1的半径r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq\r(3)＝OO1，在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半径R＝OB＝4，则S球O＝4πR2＝64π.故选A.6．B设内接圆柱的底面半径为r(0<r<R)，母线长为h，则eq\f(r,R)＝eq\f(3R－h,3R)，即h＝3R－3r，则该圆柱的全面积为S＝2πr(r＋3R－3r)＝2π(－2r2＋3Rr)，因为S＝2π(－2r2＋3Rr)＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3R,4)))2＋\f(9R2,8)))，所以当r＝eq\f(3R,4)时，内接圆柱的全面积的最大值为eq\f(9,4)πR2.7．A8．C由三视图可知，该几何体为如右图所示的三棱锥，其中PB⊥平面ABC，底面三角形为等腰三角形，且AB＝4，PB＝4，CD⊥AB，CD＝2eq\r(3)，所以AB＝BC＝AC＝4，由此可知四个面中面积最大的为侧面PAC，取AC中点E，连接PE，BE，则AC⊥平面PBE，所以PE⊥AC，PE＝eq\r(BE2＋PB2)＝2eq\r(7)，S△PAC＝eq\f(1,2)·AC·PE＝4eq\r(7)，故选C.9．C如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,)1－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故选C.10.eq\f(\r(2),3)π解析：如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图．其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq\r(2)－r，∴r＝eq\f(\r(2),2).∴该圆锥内半径最大的球的体积V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3).11．8π解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.12.eq\f(1,3