2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.下列几何体的三视图相同的是（）A B.C. D.3.下列命题中，真命题（）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4.如图，直线ABCDEF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A B. C. D.5.一元二次方程的根的情况是（）．A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根6.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法中正确的是（）A.连续抛一枚均匀硬币次必有次正面朝上B.连续抛一枚均匀硬币次都不可能正面朝上C.连续抛一枚均匀硬币次一定出现正面朝上次D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7.如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（）A. B. C. D.8.如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到的图形是（）A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.以上都不对9.若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（）A. B.1 C.1或 D.或010.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）个A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.的解是______________________．12.如果，那么=__________．13.在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________．14.一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面长的竹竿的影长为，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上．经测量，留在墙上的影高，落在地面部分影长，则树高_________15.如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共54.0分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.解方程：（1）；（2）．17.琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．（1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；（2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．18.如图：（1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标（_____，____）；（2）若点与点关于轴对称，则_____、_____；（3）求的面积．19.如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光下的投影，已知该笔筒底面圆的直径，笔筒的高，点在灯光下的投影为点，点在灯光下的投影为点，过点作于点，，点，，，在同一直线上．（1）求的长；（2）求点到距离．20.某樱桃种植基地2020年种植樱桃64亩，到2022年樱桃的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率；（2）某超市调查发现，当樱桃售价为8元/斤时，每周能售出400斤，每斤的售价每上涨1元．每周销售量减少20斤，已知该超市樱桃的进价为6元/斤，为了维护消费者利益，物价部门规定，该樱桃售价每斤不能超过15元．若使销售樱桃每周获利2240元，则每斤的售价应上涨多少元？21.如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．22.如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．（1）求证：；（2）求的度数；（3）如果，求的值．

2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A．是一元二次方程，故选项符合题意；B．，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意；C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；D．是分式方程，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2.下列几何体的三视图相同的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】三视图是主视图、左视图、俯视图，能根据各自的定义去观察即可．【详解】A：长方体的三视图都是矩形，但是矩形形状并不全等，选项错误；B：圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，选项错误；C：三棱锥的俯视图是三角形，左视图和主视图都是矩形，选项错误；D：球体的三视图都是直径形同的圆形，选项正确．故选：D【点睛】本题考查立体图形的三视图，根据定义解题是关键．3.下列命题中，真命题是（）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题考查命题与定理的知识，利用矩形、菱形及正方形的判定方法逐一判断后即可确定正确的选项．解题的关键是掌握矩形、菱形及正方形的判定方法，【详解】解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意；C．四个角相等的菱形是正方形，则原命题是真命题，故此选项符合题意；D．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，则原命题是假命题，故此选项不符合题意．故选：C．4.如图，直线ABCDEF，若AC=3，CE=4，则值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．【详解】解：∵ABCDEF∴∵AC=3，CE=4∴，故选C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．5.一元二次方程的根的情况是（）．A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】算出一元二次方程根的判别式的值，根据它的值进行判断即可．【详解】，，，∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：．【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．6.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法中正确的是（）A.连续抛一枚均匀硬币次必有次正面朝上B.连续抛一枚均匀硬币次都不可能正面朝上C.连续抛一枚均匀硬币次一定出现正面朝上次D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【答案】D【解析】【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．解题的关键是理解：大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．【详解】解：A．连续抛一枚均匀硬币次有可能次正面朝上，次正面朝上，次正面朝上，故此选项不符合题意；B．连续抛一枚均匀硬币次，有可能正面都朝上，故此选项不符合题意；C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每次出现正面朝上的次数不确定，故此选项不符合题意；D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故此选项符合题意．故选：D．7.如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：与是位似图形，点O为位似中心，且，，，又，．故选：C．【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关性质是解题的关键．8.如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连结四边形各边中点得到的图形是（）A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线定理和四条边都相等的四边形是菱形即可得答案．【详解】如图，E、F、G、H分别是各边的中点，连接EF、FG、GH、HE，∵E、F为CD、AD边中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF=AC，同理：FG=BD，GH=AC，HE=BD，∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选A.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．9.若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（）A. B.1 C.1或 D.或0【答案】A【解析】【分析】把代入方程计算即可求出k的值．【详解】解：把代入方程得：，即，开方得：或，∵，即，∴．故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）个A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确.【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵，∴，∴CF=2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③正确；∵∴，∵设，则，S四边形CDEF=∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.的解是______________________．【答案】．【解析】【分析】等式先移项，再系数化为1，直接开平方问题得解．【详解】解：，移项得：，系数化为1得：，两边直接开平方得：，所以：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：直接开平方法法，注意答案有正负两个．12.如果，那么=__________．【答案】.【解析】【详解】解：∵，∴，∴，∴=．故答案为．13.在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________．【答案】【解析】【分析】利用频率估计概率，根据频率公式先求出摸到黄球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案．【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有400次摸到黄球，∴摸到黄球的概率为，∴袋中的黄球大约有（个），故答案为：．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14.一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面长竹竿的影长为，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上．经测量，留在墙上的影高，落在地面部分影长，则树高_________【答案】4【解析】【分析】过点C作交于点E，可得四边形是平行四边形，再由，即可求解．【详解】解：如图，过点C作交于点E，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵某一时刻直立于地面长的竹竿的影长为，∴，即，解得：，∴．故答案：4【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，根据题意得到是解题的关键．15.如图，正方形的边长为6，点E是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】过点G作交的延长线于点I，设，则，证明，求出，根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：如图，连接，过点G作交的延长线于点I，设，则，∵四边形和都是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴面积，∵，∴的面积有最大值，最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共54.0分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，（1）首先确定、、的值，然后再利用公式法解方程即可；（2）首先把等号右边代数式移到左边，再把左边分解因式，然后可得或，再解一元一次方程即可；解题的关键是掌握四种解方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）并根据方程特点正确选准方法即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，，，∴，∴，∴，；【小问2详解】，，，∴或，解得：，．17.琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．（1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；（2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；（2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．【小问1详解】；故答案为：；【小问2详解】用Q1、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：糖果味道Q1Q2NSQ1——————Q1Q2Q1NQ1SQ2Q2Q1——————Q2NQ2SNNQ1NQ2——————NSSSQ1SQ2SN——————共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：．【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率．18.如图：（1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标（_____，____）；（2）若点与点关于轴对称，则_____、_____；（3）求的面积．【答案】（1）作图见解析；；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查作图—轴对称变换，关于轴对称点的坐标特征，（1）根据轴对称的性质即可画出进而可得点的坐标；（2）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得出关于、的方程组，求解即可；（3）根据网格，用矩形的面积减去周围的三个直角三角形的面积即可；解题的关键是掌握轴对称的性质．【小问1详解】解：如图，即为所作，∴点的坐标为，故答案为：；；【小问2详解】∵点与点关于轴对称，∴，解得：，故答案为：；；【小问3详解】，∴的面积为．19.如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光下的投影，已知该笔筒底面圆的直径，笔筒的高，点在灯光下的投影为点，点在灯光下的投影为点，过点作于点，，点，，，在同一直线上．（1）求的长；（2）求点到的距离．【答案】19.20.【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．【小问1详解】解：∵笔筒的高，即，，∴，，∴，∴，∴，∵，，点，，，在同一直线上，∴，∴经检验，是原方程的解且符合题意，答：的长为；【小问2详解】根据题意：，∴，，∴，∴，∵笔筒的高，，∴，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意，∴．答：点到的距离为．20.某樱桃种植基地2020年种植樱桃64亩，到2022年樱桃的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率；（2）某超市调查发现，当樱桃的售价为8元/斤时，每周能售出400斤，每斤的售价每上涨1元．每周销售量减少20斤，已知该超市樱桃的进价为6元/斤，为了维护消费者利益，物价部门规定，该樱桃售价每斤不能超过15元．若使销售樱桃每周获利2240元，则每斤的售价应上涨多少元？【答案】（1）该基地这两年樱桃种植．积的年平均增长率为25%（2）每斤的售价应上涨6元【解析】【分析】（1）该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年种植面积=该基地2020年种植面积×（1+该基地这两年樱桃种植面积的平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价应上涨y元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【小问1详解】解：设该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为x，依题意，得，解得（不合题意，舍去）．答：该基地这两年樱桃种植面积的年平均增长率为25%．【小问2详解】设每斤的售价应上涨y元，则每天可售出斤，依题意，得，整理，得，解得．∵该樱桃售价每斤不能超过15元，∴，答：每斤的售价应上涨6元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.如图，已知