重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）（解析版）

重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）【题型细目表】题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、解答题1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线，交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为－1．（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据A、B两点关于二次函数的对称轴对称，求得点的坐标；（2）根据的坐标，求出的关系式，根据平移求出的坐标，代入二次函数，求得值．【详解】解（1）∵∴对称轴：直线∴∵点横坐标为－1∴（2）把代入得：，即∵平移线段CB，使C与D重合点∴B平移后得点∵点B在抛物线上∴解得∵∴【点睛】此题主要考查了二次函数的有关性质，涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（－1，0），B（5，0）．(1)求抛物线的表达式．(2)过点C（0，m）作直线轴交抛物线于点P，Q（点P在点Q的左侧），若，求m的值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）把点A（-1，0），B（5，0）代入抛物线表达式进行计算即可解答；（2）根据已知QC=3PC，可设点P（-n，m），点Q（3n，m），然后代入（1）中二次函数表达式即可解答．【详解】（1）把点A（-1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx-3中可得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）∵PQ∥x轴，QC=3PC，∴设点P（-n，m），点Q（3n，m），把点P（-n，m），点Q（3n，m）代入中可得：，解得：，∴m的值为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，．(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标．(2)求线段和的长度．【答案】(1)对称轴；点的横坐标是-3(2)；【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长．【详解】（1）抛物线的对称轴∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1∴点的横坐标是（2）抛物线的对称轴∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1∴点的横坐标是4∴把分别代入两个函数表达式，得即由题意，当时，，．∴【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对称轴对称．4．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．(1)分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标；(2)若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N；①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)l1的对称轴为x＝﹣3，和y轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标(0，5k)(2)不发生变化，见解析(3)①k为﹣1；②或﹣【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；（2）可令y1＝y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．（1）解：二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；（2）解：线段EF的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．∵k≠1，∴x2+6x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E在点F的左边，则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k），∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF的长度不发生变化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），解得：k＝﹣1，∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称；②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，∴|9k﹣9|＝12，解得k1＝，k2＝﹣，∴实数k为或﹣．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值．5．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长；(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为：；(2)是直角三角形(3)，的最小周长为：(4)存在，【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标；（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；（3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可；（4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点．【详解】（1）∵点在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为：；∵顶点坐标公式为：，∴点．∴抛物线的解析式为：；．（2）∵抛物线与轴交于点，∴，，∴，∵抛物线与轴交于点，点，∴，∴，，∴点，∴，，，∵；；，∴，∴是直角三角形．（3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上，∴此时，，三点在一条直线上，距离最短，；设的解析式为：，∴，解得：，∴当时，，∴点；∴点的坐标为，的最小周长为：．（4）存在，理由如下：∵以为底，∴，当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点，设直线的解析式为，∵，∴，即，∵直线与仅有一个交点，∴仅有一个实数根，∴，解得，∴直线的解析式为：，由，解得，∴点．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．6．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数和一次函数．（1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上；（2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含的代数式表示）；（3）已知，直线交二次函数的图象于点，交一次函数的图象于点，当时，求证：．【答案】(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解【分析】（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；（2）联立二次函数的解析式与一次函数的解析式，求出方程组的解即可；（3）表示出MN的长度再利用函数最值求出范围即可得出结论【详解】解：（1）证明：二次函数，顶点坐标为，把代入，中左边=-1，右边=-1∴左边=右边，∴二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上；（2）联立解析式得：解得x=0或x=-1当x=0时，y=a-1坐标为（0，a-1）当x=-1时，y=-1坐标为（-1，-1）∴交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）（3）证明：由题意可知，由（2）可知，当a＞0时，-1＜x＜0有＜∴=当时，∵∴【点睛】二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与一次函数交点确定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点．（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．【答案】（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，得．解得的值分别为．（2）①设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得解得所在直线的函数表达式为．由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，．∴点M的坐标是．②设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是．∵点P的横坐标为∴点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，∵抛物线的对称轴是直线轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是．（i）如图1，当点N在点M下方，即时，，，由平移性质得，∴∴，解得（舍去），．（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，即时，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，，，解得（舍去），．综上所述，m的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线经过两点，且与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；（3）点为的中点，若有一动点自点处出发，沿直线运动至轴上的某点(设为点)，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点)，最后又沿直线运动至点，则点运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，得到PH=CH，设P（），则，求出a即可；②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，求出OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，求出a即可；（3）做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F，此时点运动的总路程最短，由勾股定理求出，即可求出点P运动的路径得到答案．【详解】解：（1）将代入，得，解得，∴该抛物线的函数表达式是；（2）存在．①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC为等腰直角三角形，即PH=CH，设P（），则，解得（舍去），此时，∴P（1,4）；②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG为等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，解得（舍去），此时，∴P（-2，-5）；综上，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）如图3，做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F∴∵此时点运动的总路程最短∵点为的中点，C（0，3）∴∴∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C（0,3）∴∴，∴点P运动的路径，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．题型二：面积问题一、解答题1．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，抛物线经过点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与直线AC交于点F，直接写出BF的长．【答案】(1)(2)存在，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系数法解答；（2）设D（x，y），根据题意及利用三角形面积列出方程，求出y的值后代入抛物线的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC的长，再根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作x轴于点M，由平行线分线段成比例解得FM的长，求得点F的坐标，最后根据两点间的距离公式解答．【详解】（1）解：把点代入抛物线得（2）由题意可知设D（x，y），当y=3时，由解得：或此时点D的坐标为（1，3）或（2，3）；当y=-3时，由解得：或（舍去）此时点D的坐标为（5，-3）；综上所述，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）为直角三角形，即如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作x轴于点M，由题意得，．【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、平行线分线段成比例、两点间的距离公式等，关键是利用面积关系求出点D的坐标．2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，直接写出y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，（2）根据图象即可求出y的取值范围，（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．【详解】（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝+bx+c解得，抛物线的解析式为：，；（2），物线的对称轴为，开口向下，y的最大值为4，如图，0＜x＜3时，；（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，A（﹣1，0），B（3，0），，，解得，当时，，此时方程无解，当时，，解得，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式．(2)连接，，求．(3)拋物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）把，两点坐标代入解析式即可求解；（2）先求出C点坐标，即可得到，（3）根据求出，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：把，两点代入中，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：当时，，即，∴，∵，，∴，，∴，∴，即所求面积为6；（3）解：∵，∴，∵，∴，把代入抛物线表达式得：，解得；把代入抛物线表达式得：，解得；综述所述，点的坐标为或或或．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用．4．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数（b为常数）的图象相交于两点，点坐标为．(1)求的值以及二次函数的表达式；(2)根据图象，直接写出不等式的解；(3)若点为抛物线的顶点，连结，求的面积．【答案】(1)m=3，(2)或(3)3【分析】（1）由点在一次函数上，可将点的坐标代入即可求出，然后将求出的点坐标代入即可求出值；（2）观察图象找出二次函数图像在一次函数图像下方部分的自变量取值范围即可；（3）求出点的坐标及抛物线与轴的另一个交点坐标，先计算由点、点、点，及抛物线与轴的另一个交点所构成的四边形面积，然后减去由点、点，及抛物线与轴的另一个交点所构成的三角形面积即可．【详解】（1）解：因为点在一次函数上，所以满足，即时，可得：；将点代入得：，解得，故二次函数的表达式为：，综上所得，故答案为：m=3，．（2）解：由图象可知，一次函数与二次函数交于两点，观察图象可以看出在或时，的图象在图象的下方，所以当或时，，故答案为：或．（3）解：方法一：如图1所示，因为点为抛物线顶点，所以点坐标为：，抛物线与轴的另一个交点为点，点，则四边形的面积，的面积，的面积四边形的面积的面积，的面积为，故答案为：3．

方法二：如图2所示，过点作轴，垂足为，交于点，过点作，垂足为，，顶点，把代入直线方程中得：，，，的面积的面积的面积，.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，结合图像求几何图形的面积及解对应的一元二次不等式，关键是解题过程要始终运用数形结合的思想方法．5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B和点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），与一次函数y＝x＋a交于点A和点D．（1）求出a、b、c的值；（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．【答案】（1），，；（2）点E的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d最小值为5，此时F点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a的值；（2）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为，过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为.过点D作l的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D的坐标，再根据，得出含m的函数，根据函数图象，可知，当时，面积取得最大值，从而可得出E的坐标；（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，根据角平分线的性质可得：，即有，可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时，取得最小值，即可得出点F的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴解得：，二次函数解析式为：，∵点A（－1，0）在一次一次函数上，∴,∴，一次函数解析式为：；所以，，；（2）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为，过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为.过点D作l的垂线，垂足为T，将与联立组成方程组，解得点D的坐标为（3，4），所以∵函数图象开口向下，存在最大值，∴有最大值，当时，最大值为8，此时点E的坐标为（1，6）；（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，如图所示：∵点D的坐标为（3，4），点A坐标为（-1，0）∴，∴AD平分，∴，∴显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，最小，最小值为，此时点F的横坐标为1，代入得：F点的坐标为（1，2）．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．求四边形ADBC的面积．【答案】四边形ADBC的面积为8．【分析】先把抛物线解析式化成顶点式，求出C、D的坐标，然后求出A、B的坐标，最后根据进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴点C的坐标为（0，6），点D的坐标为（2，-2），令，则，∴，解得或，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），∴AB=2，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点坐标，四边形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．7．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过两点．（1）求b，c的值．（2）连结，，若P是第一象限内抛物线上一点，直线把的面积分成相等的两部分．①求直线的解析式．②将该抛物线沿着射线的方向平移m个单位，使其顶点落在的内部（不包括边界），求m的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）将代入中，列方程组求解即可．（2）直线把的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB中点，求出中点坐标求解即可．（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.【详解】（1）将代入，得解得：．（2）①取的中点C，∵∴又∵P是第一象限内抛物线上一点，且直线把的面积分成相等的两部分．∴直线OP必过AB的中点C∴直线OP的表达式为：②由（1）可得抛物线的一般式为：，将一般式转化为顶点式如下：∴顶点坐标为设过抛物线的顶点，且与直线平行的直线解析式为：将顶点代入，得，解得∴设，将，代入，得，解得∴联立：，得：，设直线与直线AB的交点坐标为点M，与x轴的交点坐标为N，则,抛物线顶点落在的内部，即顶点在点M，点N之间，如图：∴,∴【点睛】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）存在，；（3）点M的坐标为，，，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出C、D的坐标，设点，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E点坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用求出P点坐标，设设，则，，利用建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（2）当时，，所以点，当时，所以点设点所以当时，．（3）由（1）知，抛物线的解析式为；∴，抛物线的顶点，∴，设直线BD的解析式为，∴，∴∴直线BD的解析式为，设点，∵，，根据勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如图，作轴于F，∵，设，则，∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有，∴∴或，∴点M的坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝﹣x＋2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）点A的坐标为，点C的坐标为，并求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m的取值范围．【答案】（1）（0，2），（4，0），抛物线的解析式是；（2）四边形面积最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；（3）或【分析】（1）对直线，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B的坐标；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．设点M的横坐标为m，则MF的长可用含m的代数式表示，然后根据S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四边形ABCM关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形面积的最大值及点M的坐标；（3）当m＞0时，分旋转后点与点落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点与点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果．【详解】解：（1）对直线，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴是直线，C（4，0），∴点B的坐标为（﹣2，0）；故答案为：A（0，2），C（4，0），抛物线的解析式是；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．设M（m，），则F（m，），∴，∴S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC=，∵0＜m＜4，∴当m=2时，四边形面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；（3）若m＞0，当旋转后点落在抛物线上时，如图2，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；当旋转后点落在抛物线上时，如图3，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m，m），∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴当m＞0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；若m＜0，当旋转后点落在抛物线上时，如图4，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m，m），∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；当旋转后点落在抛物线上时，如图5，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；∴当m＜0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；综上，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：或．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．10．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k（k＜0）与x轴正半轴交于点C，与y轴的交点为A．（1）若抛物线经过点B（﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）无论k取何值，抛物线都经过定点M，求点M的坐标；（3）在（1）的条件下，点P是抛物线上的一个动点，记△ABP的面积为S1，△ABM的面积为S2，设S2＝nS1，若符合条件的点P有三个，求n的值．【答案】（1）；（2）点M的坐标为（2，-4）；（3）n的值为．【分析】（1）直接把点B（-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可；（2）由抛物线解析式为，则当时，，函数值与k的取值无关，由此即可得到答案；（3）设直线BM的解析式为，直线BM于y轴的交点为E，可求得直线BM的解析式为，得到E点坐标为（0，-2），从而求出；如图所示，在直线AB上方作直线∥AB，且直线与抛物线只有一个交点，对应的在直线AB下方作直线∥AB，其中直线与直线AB的距离等于直线与直线AB的距离，则（等底等高），根据除去，，这三个位置外，符合的P点的个数为4个或2个；推出，由此先求出直线AB的解析式为，则可设直线的解析式为，联立得，求得，从而求出点的坐标为（，），过点作x轴的垂线交AB于H，根据，求出即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线经过点B（-3，1），∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）∵抛物线解析式为，当时，，函数值与k的取值无关，∴点M的坐标为（2，-4）；（3）∵抛物线与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，4），设直线BM的解析式为，直线BM于y轴的交点为E，∴，∴，∴直线BM的解析式为，∴E点坐标为（0，-2），∴；如图所示，在直线AB上方作直线∥AB，且直线与抛物线只有一个交点，对应的在直线AB下方作直线∥AB，其中直线与直线AB的距离等于直线与直线AB的距离，∴（等底等高），∵除去，，这三个位置外，符合的P点的个数为4个或2个；∴，设直线AB的解析式为，∴，∴，∴直线AB的解析式为，∴可设直线的解析式为，联立得，∴=0，∴，∴，解得，∴点的坐标为（，），过点作x轴的垂线交AB于H，∴点H的横坐标为，∴点H的纵坐标为，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．11．（2023秋·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝；（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，从而确定A点坐标，利用对称轴公式求得抛物线对称轴；（2）分别求得B点和C点坐标，求得直线OD的解析式，然后通过求解△OBD的面积求得平行四边形的面积；（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B，点D及点C的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．【详解】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2，∵抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，∴A点坐标为（2，0），抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为直线=1，即A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，∴B点坐标为（1，-3），∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，∴点D的纵坐标为=，∴D点坐标为，设直线OD的解析式为，将D点坐标为代入，可得，解得：，∴直线OD的解析式为，当x=1时，，∴E点坐标为，∴==，∴S▱OBCD＝，故答案为：；（3）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，设B点坐标为（1，-b），D点坐标为（a，﹣a2+2a），∵点D在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C在抛物线上，四边形OBCD为平行四边形，∴OB=CD，OB∥CD，∵将点O向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后得到点B，∴将点D向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后可得到点C，∴C点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b），将C点坐标代入到y＝﹣x2+2x中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b，整理，可得：b=2a-1，设直线OD的解析式为，将D点坐标（a，﹣a2+2a），代入，可得，解得：，∴直线OD的解析式为，当x=1时，，∴E点坐标为，∴====，∵▱OBCD的面积是12，∴，解得：a1=-4（舍去）或a2=3，当a=3时，b=2×3-1=5，将a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中，∴C点坐标为（4，﹣8）．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，理解二次函数图象上的点的特征，掌握平行四边形的性质，利用数形结合思想解题是关键．12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．【答案】(1)(2)S的最大值为4(3)或或．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）设出M点的坐标，利用，即可进行解答；（3）由，则，是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，将，，三点代入函数解析式得：，解得，所以此函数解析式为：；（2）解：连接，∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为，∴，∵，当时，S有最大值为：．（3）解：设，根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为，则，由，得，整理得：所以或解得或或（不符合题意，舍去），∵，∴不可能是对角线∴由此可得：或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S=4S，求点P的坐标．③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．【答案】(1)点B的坐标为(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．【分析】（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．【详解】（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，、两点关于直线对称，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：①时，抛物线的对称轴为直线，，解得，将代入，得，解得，抛物线的解析式为；②抛物线的解析式为，抛物线与轴的交点的坐标为，，设点坐标为，，，即，，解得，当时，，当时，，点的坐标为或；③有最大值，点的坐标为，，设直线的解析式为，将，代入，得，，解得，即直线的解析式为，设点坐标为，，则点坐标为，，当时，有最大值，此时，．【点睛】本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．14．（2023·浙江·九年级专题练习）二次函数y1＝a（x﹣k）2+2k与二次函数y2＝a（x+k）2﹣2k的图象称为友好抛物线．(1)求证：无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在某一确定的直线上．(2)若a＝1，k＝2，当﹣2＜x＜2时，请比较y1，y2的大小．(3)已知a＝1，k＞0，友好抛物线：y1，y2交于点A，且y1，y2与y轴分别交于点B、点C，求的值．【答案】(1)见解析；(2)当﹣2＜x＜1时，y1＞y2，当1＜x＜2时，y1＜y2；(3)【分析】（1）先求出友好抛物线的顶点，再用待定系数法求函数解析式即可证明；（2）当a＝1，k＝2时，先求出交点坐标，再根据函数图象比较y1，y2的大小；（3）当a＝1，k＞0时，先求出友好抛物线的交点横坐标，再求出两条抛物线与y轴的交点纵坐标，用三角形面积公式求解即可．（1）证明：∵y1＝a（x﹣k）2+2k，∴y1的顶点为（k，2k），∵y2＝a（x+k）2﹣2k，∴y2的顶点为（﹣k，﹣2k），设过y1，y2顶点的直线为y＝mx+n，把（k，2k），（﹣k，﹣2k）代入得：，解得：，∴y＝2x，∴无论k取何值，友好抛物线y1与y2的顶点都在直线y＝2x上；（2）解：a＝1，k＝2时，y1＝（x﹣2）2+4，y2＝（x+2）2﹣4，令y1＝y2，则（x﹣2）2+4＝（x+2）2﹣4，解得：x＝1，∴y1＝y2＝5，∴交点坐标为（1，5），∴当﹣2＜x＜1时，y1＞y2，当1＜x＜2时，y1＜y2；（3）解：a＝1，k＞0时，令y1＝y2，则（x﹣k）2+2k＝（x+k）2﹣2k，解得：x＝1，∴x＝1，将x＝0代入y1，y2得，y＝k2+2k，y＝k2﹣2k，|BC|＝y﹣y＝4k，∴S△ABC＝×BC×|x|＝×4k×1＝2k，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用新型题，要先弄清楚友好抛物线间的关系，再在利用二次函数的性质解题，如用待定系数法求函数解析式，函数值大小的比较，三角形面积求解等问题．15．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标______．【答案】(1)(2)的最大值为17，此时点的坐标为(3)或或或【分析】（1）根据对称轴公式代入及点代入即可得到答案；（2）设，用m表示出面积，利用二次函数性质即可求出最大值；（3）根据平移性质得到新的抛物线解析式并求出点坐标，设出坐标，根据平移性质及菱形性质即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，，解得，∴抛物线解析式为：；（2）解：设，由题意可得，当时，，解得，，故，当时，，故，∵对称轴直线与轴交于点，∴，，∵，∴当时最大，最大值为，当时，，∴；（3）解：由题意可得，B点移动到了O点，即函数向左平移了6个单位，，当时，，∴坐标为：，设F点坐标为，当，，时，∵，，，根据平移的性质可得，∴，根据可得，，，∴或；②当，，时，∵，，，根据平移的性质可得，∴，根据，，解得：，，，综上所述M点坐标为：或或或．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数性质及动点围成菱形，解题的关键是求出二次函数解析式，设出动点根据性质及菱形性质求解．题型三：角度问题一、解答题1．（2022秋·浙江台州·九年级校联考阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；(3)对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出点的坐标，然后根据点在抛物线对称轴的右边来判断得出的点是否符合要求即可．（3）根据点坐标可求出直线的解析式，由于，由此可求出点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出点的坐标．求的面积时，可先求出，的长度即可求出的面积．【详解】（1）解：函数的图像与轴相交于，，，，（2）解：假设存在点，过点作轴于点，的面积等于6，，当，，解得：或3，，，即，解得：或（舍去）．又顶点坐标为：1.5，．，轴下方不存在点，点的坐标为：；（3）解：点的坐标为：，，，当，，设点横坐标为：，则纵坐标为：，即，解得或（舍），在抛物线上仅存在一点．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图像交点、图像面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴的下方，若点，．(1)求该抛物线的函数表达式．(2)若D是抛物线上一点，且满足，求点D的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把B、P两点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可；（2）分点D在点P左边和右边两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：如图1所示，当点D作点P的左边时，∵，∴，∴点D与点P关于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称，∵，∴；如图2所示，当点D在点P右边时，延长交x轴于Q，设点Q的坐标为，∵，∴，∴，∴，∴点Q的坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，联立，解得或（舍去），∴点D的坐标为；综上所述，点D的坐标为或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接，当时，求直线的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：解得：，∴二次函数的表达式为；（2）设与y轴交于点E，∵轴，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得，解得，，设所在直线表达式为解得∴直线的表达式为．（3）设与交于点N．过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为∴M点坐标为，由，可得，设，则，∴当时，有最大值0.8，此时P点坐标为．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．(1)求二次函数的表达式；(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【分析】（1）根据直线解析式求得与坐标轴的交点坐标，进而代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可；（2）根据tan∠ABC，求得∠ABC＝60°，∠ABP＝30°，过点P作PH⊥x轴于点H，由点P的横坐标为m，和tan∠ABP，求得m；（3）根据二次函数的对称性求得点的坐标，以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，设M（x，x﹣4），分以下情形讨论，①以CD为对角线时，MN垂直平分CD，②以CM为对角线时，CD＝MD，③以CN为对角线时，CM＝CD＝2，分别根据菱形的性质，勾股定理建立方程，解方程求解即可【详解】（1）由直线y＝x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4，∴C（0，﹣4），B（4，0），将点B、C代入y＝ax2﹣x+c得：，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）∵C（0，﹣4），B（4，0），∴OC＝4，OB＝4，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝2∠ABP，∴∠ABP＝30°，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点P的横坐标为m，∴BH＝4﹣m，PH＝|m2﹣m﹣4|，∴tan∠ABP＝，解得：m＝4（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴m的值为﹣或m＝﹣；（3）由y＝x2﹣x﹣4可知对称轴为直线x＝1，∵C（0，﹣4），∴D（2，﹣4），∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，设M（x，x﹣4），①如图2，以CD为对角线时，MN垂直平分CD，∴点M的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣4＝﹣3，∴M1（1，﹣3），∴N1（1，﹣5），②以CM为对角线时，CD＝MD，∵C（0，﹣4），D（2，﹣4），∴22＝（x﹣2）2+（x）2，解得：x＝0（舍）或x＝1，∴M2（1，﹣3），∴N2（﹣1，﹣3），③如备用图，以CN为对角线时，CM＝CD＝2，∴22＝x2+（x）2，解得：x＝1或x＝﹣1，∴M3（1，﹣3）或M4（﹣1，﹣5），∴N3（3，﹣3），N4（1，﹣5），综上所述，存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，解直角三角形，菱形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．5．（2023春·浙江·九年级专题练习）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为−3，与y轴交点C的纵坐标为−3，满足＝，称为友好函数．(1)判断是否为友好函数，并说明理由；(2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系；(3)若是友好函数，为锐角，求c的取值范围．【答案】(1)是友好函数，理由见解析；(2)；(3)或，且．【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，可直接根据友好函数的定义进行判断；（2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c，将代入，即可求出b与c之间的关系；（3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为，则，所以只需满足，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意．【详解】（1）解：是友好函数，理由如下：当时，；当时，或3，∴与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴是友好函数；（2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c,∵是友好函数，∴时，，即在上，代入得：，∴，而，∴；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：，即，显然当时，，即与x轴的一个交点为，则，∴只需满足，即∴；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足为锐角，∴，且；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，或，且．【点睛】本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是要有较强的理解能力及在第三问中注意分类讨论思想的运用等．题型四：特殊三角形问题一、单选题1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋【答案】A【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．【详解】令x=0，则y=-3，所以，点C的坐标为（0，-3），∵点D的坐标为（0，-1），∴线段CD中点的纵坐标为，∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为-2，∴x2-2x-3=-2，解得x1=，x2=，∵点P在第四象限，∴点P的横坐标为．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知抛物线y=a(x−1)(x+)与x轴交于点A(1，0)和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，则a的值为______．【答案】【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①a＞0，②a＜0时，列式计算即可．【详解】解：y=a（x-1）（x+）=（x-1）（ax+2），所以，抛物线经过点A（1，0），C（0，-2），AC=，点B坐标为（-，0），①a＞0时，点B在x轴负半轴上，由于点A始终在点B的右边，此情况不符合题意，舍去；②a＜0时，点B在x轴的正半轴，符合点A始终在点B的右边，只有AC=AB，则--1=，解得：a=，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键．3．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且为直角三角形，则____________．【答案】/0.5【分析】先求出A、B、C的坐标，然后分当时，此时点B与原点重合；当时，，据此求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴不妨设，当时，，∴，当时，此时点B与原点重合，则，∴此时点C也与原点重合，不能组成三角形，∴，当时，，∵，∴，解得（舍去）或，综上所述，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求出A、B、C的坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．4．（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线的“优美三角形”的斜边长为4，求a的值______．【答案】【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得为等腰直角三角形，得，从而得出点的坐标，将点的坐标代入顶点式表达式即可求解．【详解】解：设抛物线的顶点的坐标为，抛物线的顶点式为：，又抛物线的“优美三角形”，为直角三角形，根据抛物线的对称性质，可知，为等腰直角三角形，设与对称轴交于点，如图，，或，或，或，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键．三、解答题5．（2022·浙江·九年级自主招生）如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+4x(2)(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；（3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案．【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O．∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），解得：a=-1，∴二次函数的解析式为y=-x（x-4）=-x2+4x；（2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD，设直线OA的解析式为，把点A（3，3）代入，得：3=3k，解得：k=1，∴直线OA的解析式为y=x，∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上，∴P（m，-m2+4m），C（m，m），∴PD=-m2+4m，CD=m，∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m，∴当时，线段PC最大，最大；值为；（3）解：存在，理由如下：∵C（m，m），P（m，-m2+4m），∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，，，当0<m<3时，仅有OC=PC，由（2）得：PC=PD-CD=-m2+3m，∴，解得：或0（舍去），∴此时；当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m，当OC=PC时，，解得：或0（舍去），∴此时点；当OC=OP时，有OC2=OP2，∴，解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），∴此时点P（5，-5），当PC=OP时，，解得：m=4或0（舍去），∴此时点P（4，0）；综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度．6．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，，①求点的坐标；②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)①；②存在点或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，则，，

进而推出，由此求解即可；（3）①先由，得到，进而证明，得到，则，证明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，则；②设，则，，，然后分别讨论、、为直角顶点时，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：把、代入得∴，即，

∴∴抛物线的解析式为：；（2）解：令得，∴设直线BC的解析式为，∴

∴，∴直线BC的解析式为：

∵P的横坐标为t，轴，∴，，

∴，∵，∴当时，有最大值2，此时；（3）解：①∵、，∴，∵，∴，∵轴∴，，∴，∴，∴，又，，∴是等腰直角三角形

∴∵

∴∴，∵，∴

∴；②设，则，，，（Ⅰ）当时，，解得：（舍去）或，∴；（Ⅱ）当时，，解得：，

∴（Ⅲ）当时解得：（舍去）综上所述，存在点或使得为直角三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知二次函数的相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．（2022秋·浙江·九年级专题练习）抛物线W：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点P为x轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BCP是以CP为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)点P的坐标为（-4，0）或（，0）【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）存在，分两种情况：当CP=CB时，点P与点P1重合，即可得到点P1（-4，0）；当CP=BP时，点P与点P2重合，设OP2=x，则BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，求出x即可得到P2（，0）．【详解】（1）解：将点A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3中，得，解得，∴；（2）存在，当CP=CB时，点P与点P1重合，如图，∵OB=4，∴P1（-4，0）；当CP=BP时，点P与点P2重合，设OP2=x，则BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，解得x=，∴P2（，0），综上，点P的坐标为（-4，0）或（，0）时，△BCP是以CP为腰的等腰三角形．【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，属于基础题型，正确掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．8．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点Q的坐标为(1，3)或【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，求解即可；（2）求得直线BC的解析式，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），再分三种情况分别求解即可．【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：，解得：m＝1或m＝0（舍去），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关基础性质进行求解．9．（2022秋·浙江·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3(2)P（1，﹣2）【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标,由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得：，解得，∴y＝2x2﹣x﹣3；（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1）．∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P是CD垂直平分线与抛物线y＝2x2﹣x﹣3的交点,由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，∴，解得：x＝1或-，∵点P在第四象限，即x＞0，∴x＝1．∴P（1，﹣2）．【点睛】此题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式求点P的横坐标是解答的关键．10．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）yx2x；（2）P(2，﹣3)或(2，5)；（3）P(2，)或(2，﹣2)或(2，)或(2，)【分析】（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2，0），S△PCFPC×DF（2﹣m）（22）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5）x2x；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：ymx，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y，解得：x＝2，故点F（2，0），S△PCFPC×DF（|2﹣m|）（|22|）＝5，解得：m＝5或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF时，同理可得：m，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．11．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，设拋物线与轴交于A、两点，与轴交于点．点为该抛物线第四象限上的一点，过作轴交于点．(1)求直线的解析式；(2)求线段的最大值；(3)当面积最大时，求点的坐标；(4)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）先求出点B、C坐标，再用待定系数法求解即可；（2）设，则，所以，利用二次函数最值求解即可；（3）根据，根据一次函数的性质求解即可；（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解好戏可．【详解】（1）解：令，则，解得：，，，，令，则，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：设，则，，∵，∴当时，有最大值，最大值为；（3）解：，，，，随着增大而增大，由（2）知，当时，最大值为，∴当面积最大时，P点坐标为．（4）解：，且，是等腰直角三角形，，∵轴，，，设，当时，得，，轴，轴，，∴令，则，解得：，，；当时，，则，解得：，，；当时，则，解得：，(舍去），；综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与坐标轴交点，用待宣系数法求一次函数解析式，本题属二次函数综合题目，难度较大，属中考压轴题目．12．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）已知关于的二次函数．(1)证明：函数图像与轴有两个交点；(2)如果函数图像与轴交于点A，与轴分别交于、，且是直角三角形，求的值；(3)函数图像与轴交于A、两点，顶点为点，为等边三角形，求的值．【答案】(1)见解析(2)或(3)或【分析】（1）求出根的判别式的值，即可进行证明；（2）证明，则，将求出点A的坐标，即可表示出的长度；根据根与系数的关系，即可表示出，即可进行解答；（3）过点作高，将顶点C的坐标表示出来，即可得出，将方程的两个根表示出来，即可表示出，最后根据等边三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，∴，∴函数图像与轴有两个交点；（2）解：如图：当时，，即当时，，∴，∴，∵是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴即，解得（舍），，．（3）过点作高，∵点C为二次函数的顶点，∴，∴当时，，∴，∴，因为为正三角形，∴，∴令，∴，解得（舍），，即，解得或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数与x轴的交点问题，三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质．13．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点．(1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；(2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出当为直角三角形时点P的坐标．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，；(4)P的坐标为或或或．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据抛物线的对称性可知，当B，C，M共线时，的值最小，求出点坐标即可；（3）设，，过点作轴交于点，则，则，当时，的面积有最大值，此时，（4）设，分别求出，，，根据直角三角形斜边的情况分三种情况讨论即可．【详解】（1）解：令则，，令，则，，抛物线的对称轴为直线，，，将，代入中，，解得，；（2）解：由抛物线的对称性可知，，，当B，C，M共线时，的值最小，将代入中，得，；（3）解：存在点，使的面积最大，理由如下：设，，过点作轴交于点，则，，