2024-2025学年山东省鄄城县高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年山东省鄄城县高二上学期12月月考数学检测试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列中，，，则（）A.1 B.0 C. D.【正确答案】A解析：解：由等差数列的性质可知，所以．故选：A．2.若双曲线的离心率为，则（）A.2 B. C.1 D.【正确答案】D解析：由题意知，双曲线的离心率，所以．故选：D．3.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【正确答案】C解析：由向量，，且，得，则，则.故选：C4.若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（）A. B.C. D.【正确答案】D解析：由，，，，可得的一个通项公式为．故选：D．5.在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B解析：由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，点的轨迹方程为.故选：B.6.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（）A. B. C. D.【正确答案】A解析：因为平面，平面，平面均与直线垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故共有个不同的值．故选：A7.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（）A. B. C.2 D.【正确答案】B解析：解：中，，，所以，即，故左焦点为，而，故直线的方程为，联立得，，设，，由韦达定理得，，则由弦长公式得．故选：B．8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【正确答案】A解析：由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，由，故，即（负值舍去），故，故，则，故.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.直线：与圆：公共点的个数可能为（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】BC解析：圆：的圆心为，半径，当时，点到直线的距离，因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或．故选：BC．10.已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A. B.为递减数列C.数列中有两项的值最小 D.数列中有16项的值为负数【正确答案】CD解析：当时，，所以，A错误；由，得当时，，，…，，将上式相加，得，所以，由二次函数的性质可知，不为递减数列，B错误；因为，所以当或时，取得最小值，C正确；当时，，解得，，所以数列中有16项的值为负数，D正确.故选：CD11.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）A.若的纵坐标为2，则B.若直线过点，则的最小值为4C.若，则直线恒过定点D.若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为【正确答案】BC解析：由题意得，，，准线方程.A.由的纵坐标为2得，，故，选项A错误.B.如图，设直线方程为：，，由得，，∴，∴，当时，，选项B正确.C.如图，设直线方程为：，，由得，，∴，∴，解得，∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确.D.如图，设点在第四象限.由题意得，，则.由准线方程为得，，故，，∴，∴四边形的周长为，选项D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数列满足，若，则__________．【正确答案】##解析】由，得，，所以，．故13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为__________．【正确答案】解析：由题意知，，所以，设，则，由，得，故，所以当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，故的取值范围为．故14.已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的最小值是__________．【正确答案】解析：设，由，得，即点在圆上，圆心为，半径．圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，所以，解得，所以或，即的最小值为．故四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.设为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值及此时的值.【正确答案】（1）（2），，【小问1解析】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以的通项公式是.【小问2解析】由（1）知，所以，当时，取最小值.16.已知抛物线：准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2．（1）求的方程；（2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率．【正确答案】（1）（2）【小问1解析】由题意可知，准线的方程为，由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，，因为点在上，所以，整理得，，解得，故的方程为．【小问2解析】由（1）可知，，则，由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，，由，消去x整理得，则，可得，，所以，又因为的面积为3，则，即，解得，故直线的斜率为．17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【小问1解析】，所以得，又,所以，又，，平面，所以平面，【小问2解析】知，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则,0,,,1,,,0,,,,,,1,则,0,,,1,,,,，设平面的一个法向量,,，则有，令，则有，，平面的一个法向量,0,，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知椭圆：()左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积．【正确答案】（1）（2）【小问1解析】设椭圆的焦距为，根据题意可得，解得，，，所以椭圆的方程是．【小问2解析】设，，因为直线与圆：相切，则，可得，联立方程，消去y得，因为圆在椭圆的内部，所以恒成立，则，，可得，所以的面积，即，解得，此时直线轴，即，所以四边形的面积为．.19.在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.（1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;（2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围;②若直线的斜率分别为，证明：为定值.【正确答案】（1）证明见解析（2）①；②证明见解析【小问1解析】证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同