2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省中山市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同2．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（

）

A． B．C． D．3．直线和直线，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（

）A． B． C．8 D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C．在数列中第8个数是D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为10．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（

）A．与的夹角为 B．C． D．11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（）A．的最小值为0B．当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为C．当的重心在轴上时，的面积为D．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．已知过点和的直线与斜率为的直线平行，则的值为．13．若圆与圆只有唯一的公共点，则.14．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.16．已知圆．(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．17．如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点M在线段上，且,平面，求出M点的坐标.18．已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围.19．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形的面积为多少？（3）求到两条线段、距离相等的点的集合，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中，，，，，.

答案1．【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.2．【正确答案】A【详解】由题可知，故选：A3．【正确答案】B【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，故选：B．4．【正确答案】D【详解】由已知得，因为直线l的方向向量为，所以点到直线l的距离为故选：D5．【正确答案】B由题意和椭圆性质可得当时，；当时，.解不等式后即可得解.【详解】由，，可得：当时，，由条件知，解得；当时，，由条件知，解得.故选：B.6．【正确答案】A【详解】解：依题意，设双曲线方程为，因为，则，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是，解得，所以双曲线的方程为.故选：A7．【正确答案】D【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由点在圆上或圆内即可构造不等式求得结果.【详解】由得：，由得：，即直线恒过定点，当点在圆上或圆内时，直线与圆恒有公共点，，即，又，，即的取值范围为.故选：D.8．【正确答案】A【详解】设直线与直线的两个交点为，且设，则由题意可知，点关于点的对称点在上，所以，解得，所以，，所以,因为直线过点，，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即，联立：，解得的交点坐标为，所以到直线的距离为，所以这三条直线围成的三角形面积为.故选：A.9．【正确答案】BCD【分析】根据数列的定义即可判断A,根据通项公式即可求解项,可判断B,根据规律归纳数列的通项即可判断CD.【详解】对于A,数列中的项与顺序有关，故数列，0，4与数列4，0，是两个不同的数列，故A错，对于B,当时，，又是单调递增的数列，故110是该数列的第10项，故B正确，对于C,数列的一个通项公式是，故第8个数是，故C正确，对于D,数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为,故D正确，故选：BCD10．【正确答案】BD【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又，所以与的夹角为，故A错误；对于B，因为，，所以，，，故B正确；对于C，，，，，，，，.故C错误；对于D，，.故D正确.故选：BD.11．【正确答案】AC【详解】依题意可得，直线AB的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，．的准线方程为，设，

则，，所以，故A正确．当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，故B错误．的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得，的面积为，故C正确．当，，三点共线时，，，，所以，解得．由A分析知，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，所以，，解得或，当为钝角三角形时，且，所以，，解得且，所以点的纵坐标的取值范围为，故D错误.故选：AC.12．【正确答案】【详解】由题意可知，，解得．故答案为.13．【正确答案】或【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，圆的圆心为，半径为，由题意可知，两圆外切或内切，且，若两圆外切，则，即，解得；若两圆内切，则，即，解得.综上所述，或.故或.14．【正确答案】【详解】因为四棱柱的底面为菱形，底面，所以，，又因为，所以平面，所以，故在上取点，使得，连接，则，，在上取点，使得，设与的交点为，连接，在中，，，，在中，，，，所以，故，所以，故的边即为点的轨迹；而，，，则动点的轨迹长度为.故15．【正确答案】（1）或；（2）（1）直接对进行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通项公式【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以16．【正确答案】(1)x=−1或(2)【详解】（1）圆C的标准方程为:因为,所以点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离所以直线与圆C相切.(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即所以圆心C到直线的距离,由题意,解得,此时,即,终上所述,直线的方程为x=−1或.（2）设因为为DE的中点,所以,因为点E在圆C上，所以,即，即，所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,所以的轨迹的长度为.17．【正确答案】(1)证明见解析(2).(3)【详解】（1）因为平面，又平面,所以.因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面，从而平面.（2）因为是正方形，所以,又平面，DA，DC都在平面内，所以所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示.

因为与平面所成角为，即，所以.由，得,所以，又，.则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则.因为平面，所以为平面的法向量，.所以.所以所求角的余弦值为.（3）点M是线段上一个动点，设.则.因为平面，所以，即，解得.此时，点坐标为，即当时，平面.18．【正确答案】(1)(2).【详解】（1）由题意，又，椭圆C的方程为.（2）为线段的中点，，①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得，则；②当直线的斜率存在时，设直线，如下图所示：由，消去y，得，，即，，，，，化简得，经检验，成立，线段的中点，当时，，此时，当时，射线所在直线方程为，与椭圆联立，消去y得，，，，综上，的取值范围为.19．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设是线段上一点，表示出，根据二次函数性质，即可求出结果；（2）因为表示在线段上时，线段长度的最大值不超过1，由此得到点集所表示的图形是一个正方形和两个半圆组成，进而可求出其面积；（3）根据题意，得到两直线方程，确定直线之间关系，进而可得出结果.【详解】（1）设是线段上一点，则，，因此，当时，；（2）由题意，设的端点为，以所