2024-2025学年广西河池市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西河池市高二上学期12月联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到焦点的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知直线，则与的距离为（）A．1 B．2 C． D．3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．4．已知两个向量，且，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．85．已知直线平分圆的周长，则（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共1小题）9．已知直线，，则下列说法正确的是（）A．当时，直线的倾斜角为 B．当时，C．若，则 D．直线始终过定点三、单选题（本大题共1小题）10．如图，正方体的棱长为1，是上的中点，以下说法正确的是（）

A．的面积是定值 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量是四、多选题（本大题共1小题）11．已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值 D．的取值范围为五、填空题（本大题共3小题）12．已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为．13．已知圆与直线相切，则．14．双曲线的离心率为．六、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点分别为．(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线所在直线的方程．16．已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长以及三角形AOB面积．17．如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的正弦值．18．已知圆，圆．(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；(2)已知过点0,1的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率．19．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2．(1)求抛物线的方程；(2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：．

答案1．【正确答案】C【详解】解：由焦半径公式得：．故选：C．2．【正确答案】C【详解】由题意得，与的距离，故选：C3．【正确答案】B【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，所以，又，则，所以椭圆方程为，故选：B.4．【正确答案】A【详解】因为，所以，解得，所以.故选：A.5．【正确答案】A【详解】由，可得圆心为，因为直线平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，则，解得．故选：A6．【正确答案】D【详解】已知抛物线的准线为，所以双曲线的一个焦点为，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：D．7．【正确答案】B【详解】底面ABCD为等腰梯形，，如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H，以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得平面的一个法向量为，设到平面的夹角为，则，可得，所以到平面的夹角余弦值为.故选：B．8．【正确答案】B【详解】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线，连接，，，，，则四边形为矩形，所以，，

由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.9．【正确答案】ABD【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确；对于B，等价于，解得，故B正确；对于C，若，则且，故，故C错误；对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确.故选：ABD.10．【正确答案】C【详解】对A：在上且，到AC的距离等于到AC的距离，则为定值1，，故A选项错误；对B：因为建立不同的空间直角坐标系，与同向的单位向量的表示方法会不同，所以B选项错误；同理，D选项也不对.如图所示建系，，

对C：，，故C选项正确；故选：C11．【正确答案】AD【详解】对于A中，由椭圆，可得，由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点，所以存在4个点M，使得，A选项正确；对于B中，设，则，且，可得，则为定值，所以B选项错误．对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误．对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于，如图所示，则，因为，且，可知，即，当与重合时，等号成立，所以，所以，所以D选项正确.故选：AD．12．【正确答案】1【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，直线1的纵截距为1．故1．13．【正确答案】【详解】由已知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，依题意，.故答案为.14．【正确答案】2或【详解】当，,所以．当，故2或．15．【正确答案】(1)(2)．【详解】（1）设中点的坐标为，则，，所以，边的中线过点两点，所以，所以所在直线方程为，即；（2）因为的斜率，所以的垂直平分线的斜率，所以的垂直平分线所在直线的方程为，即．16．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，则，由离心率，得，得，所以椭圆C的方程为.（2）由消去得，解得，则弦长；原点O到直线l：距离为：，所以三角形AOB面积：17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设与交点为，连接，则，所以平面，所以，，三条直线两两互相垂直，以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，则，，，，，E0,0,1，，，设平面EAD的法向量为，，可取，又，则点C到平面EAD的距离：；（2），，，，设平面PBC的法向量为，则，可取，所以，所以平面PBC与平面EAD夹角的余弦值为，所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为.18．【正确答案】(1)证明见解析，(2)或．【详解】（1）如图：圆化成标准方程为，圆心，半径，圆化成标准方程为，圆心，半径，由，所以两圆相交，两圆方程作差得．即公共弦所在直线的方程为．圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：，所以公共弦长为.（2）由题可知，设Ax1,①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线l方程为：，将代入，得，整理得，，，由